两角和与差二倍角公式求值

两角和与差二倍角公式
()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±
()βαβαβαsin sin cos cos cos =±
()β
αβαβαtan tan 1tan tan tan ±=± （二）倍角公式
βααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
αα22tan 1tan 2tan -= 例1、求值
() 555sin 1 ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-125tan 2π 例2设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-βαβα,20,2
πβπαπ<<<<().cos βα+求
(二),公式逆用
sin1630sin2230+sin2530sin3130
例3 已知()(),4
3tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且(),0cos >+βπ求()πβ3sin -
(三).用用边角关系的公式解三角形
例4、在三角形ABC 中,角A..B.C 对边a,b,c
222sin():sin a b A B C
c --=证明
(四)综合
例5、(0,),sin sin sin 2
cos cos cos ,παβγαγββγαβα
++∈+=+=-求
三角函数式的求值
(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。

找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角
例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。

练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
“给值求值”
例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值
练习:)6sin(,212tan
παα+=求已知
例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。

练习：设cos(α2β
-)=91-，sin(βα-2)=32,且2
0,2πβπαπ<<<<，求cos(α+β)
“给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。

在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解
例4、若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=-
=βα，求α+2β。

练习:已知α，β为锐角，tan α=1/7 sin β=10
10,求2α+β的值
“给式求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。

例5、已知3
1)sin(,21)sin(=-=+βαβα，求tan α:tan β的值。

练习: 已知sin α+sin β= m 已知cos α+cos β= n(mn ≠0).
求⑴cos(α-β); ⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)
三角函数的化简与证明最值
化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。

例1：（1）已知α为第四象限角，化简：α
αααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- （2）已知 360270<<α，化简α2cos 2
1212121++
求三角函数的最值的类型与方法：
1．形如y=asinx+b 或y=acosx+b ，可根据sinx ，cosx 的有界性来求最值；
2．形如y=asin 2x+bsinx+c 或y=acos 2x+bcosx+c 看成是关于sinx 或cosx 的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k 或y=a(cosx+m)2+k ，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤
1
【例1】 求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合．
例2、试求函数Y=sinx+cosx+2sinx cosx +2 的最大值,最小值. 若[0,
]2x π∈呢?
练习：a,b 为何值时，函数()x b a x b a y 22cos 2
sin ++-=的值为2？(a=3,b=1)
例3、sin(2)sin :2cos()sin sin αββαβαα
+-+=求证
练习、求证：()x x x x 4cos 14cos 32tan 1tan 22-+=+
1．=12
cos 125sin ππ_________, = 75sin 30sin 15sin _________, = 80cos 40cos 20cos ________,
2．已知αββαππβπαsin ,13
5cos ,6533)sin(),,2(),2,0(则且-==+∈∈的值是 （ ） A ．6533- B ．53 C ．6536- D ．65
33 3．已知)4tan(,41)tan(,542)tan(παπββα+=-=
+那么的值是 （ ） A ．1813 B ．223 C ．22
13 D ．183 4．已知x x x x tan ),0[,5
1cos sin 则π∈=+的值是 （ ） A ．43- B ．34- C ．34± D ．43-或3
4- 5．._____________)sin()sin(,2
1sin ,31sin =-+==βαβαβα则已知 6．已知θθ且,2524sin -=是第三象限的角，求_______,2sin _______,)6
sin(θπθ=+ 7．ΔABC 中，,sin 33cos A A -=则A 的值为 （ ）
A ．6π
B ．2π
C ．32π
D ．6
π或2π 8．若三角形的一个内角α满足sin α+cos α=12
7，则这个三角形一定是 （ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能
9．在ΔABC 中，∠A>∠B ，是sin A > sin B 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即非充分又非必要条件
10．在ΔABC 中，∠C=60°，则cos A cos B 的取值范围是 （ ）
A ．]41,21(-
B ．]4
1,0[ C ．]41,43[- D ．以上都不对
11．在ΔABC 中，C=90°，则sin(A －B )+cos2A =___________. 12．函数]4
,4[sin cos )(2ππ-+=在区间x x f 上的最小值是______________. 13．x =_________时，函数)4
sin()4sin(ππ-++=x x y 的最大值为_____________. 14．已知2α+β=π，求y = cos β－6sin α的最大值_____________，最小值是_____________.
15．函数f (x ) = sin x + cos x 在区间[0，π]上的最大值是____________，最小值是__________.
16．已知 x 2 + y 2 = 4，求A = x 2 + xy + y 2的最大值和最小值.
17．求函数y = (1 + cos x ) sin x 在区间[0，π]内的最大值。