高数下第十一章曲线积分与曲面积分 ppt课件

f (x, y)ds f[(t),(t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
注意:
1. 定积分的 一下 定限 要小 ; 于上
2. f(x,y)中 x,y不彼此 , 而 独 是 立 相.互
例1 求 IL xy ,L d :椭 s x y圆 b a s citto ,,n (第 s象 ).限
R[(t), (t),(t)](t)}dt
例3 求I x2ds, 其中 为圆周 x2 y2 z2 a2, x yz 0.
解 由对称性, 知 x2d s y2d sz2d.s
故 I1 (x2y2z2)ds
3
a 2 3
ds
2a3 . 3
(2a ds,球面大圆)周
练习题
1、 e x2 y2 ds,其中 L为圆周 x 2 y 2 a 2 ,直线 y x L 及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
6、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
y2 4x
其L 中 :y24x,从 (1,2)到 (1,2)一.段
解 I 2 y 1(y)2dy0.
2
2
例3 求 Ixy,z其 d s:中 xaco , s yasi ,n
zk 的.一 (0 段 2 )
解
2
I a 2 co sis k na 2 k 2 d
0
1ka2 a2k2. 2
2、 x 2 yzds,其中 L为折线 ABCD,这里 A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
3、 ( x 2 y 2 )ds,其中 L为曲线 L
x a(cos t t sin t)
y
a(sin
t
t
cos
t
)
(0 t 2 )；
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
解 I2 a cto b ssti( n a sti)2 n (b cto )2 dst 0
a2 b sitc ntoa 2 ss2 itn b 2c2 o tdst 0
a2abb2
au2du (令 ua2si2tn b 2c2 o t)s
b
ab(a2
abb2) .
3(ab)
例2 求 ILyd, s
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
其中 P(x,y), Q(x,y)叫做被积 , L叫函 积分数 弧段.
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x,y)dxLQ(x,y)dy LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFd.s
其 F P i Q j ,中 d d i s d j . x y
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L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
x(t) (3)推广 : y(t), t起点 ,终点 .
z(t)
Pdx Qdy Rdz
{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[(t), (t),(t)] (t)
第十一章 曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念
1. 定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分
n
Lf(x,y)dsli m 0i1f(i,i)si.
y
B
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
练习题答案
1、ea (2 a) 2； 4
2、9；
3. 22a3 (1 22 )；
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义:
2. 函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 x 的曲线
积分
n
LP(x,y)dxli m 0i1P(i,i)xi
n
类似地定义 LQ (x,y)d yl i0m i1Q (i, i) yi.
函数 f(x,y,z)在空间曲 上线 对弧 长 曲线积分为
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
4.性质
( 1 ) L [ f ( x , y ) g ( x , y ) d ] L f s ( x , y ) d L g s ( x , y ) d . (2 )L k(x f,y )d s k L f(x ,y )ds (k 为)常 . 数
( 3 )f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L
L 1
L 2
(LL 1L 2).
5、对弧长曲线积分的计算
定理
设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连,续
L的参数方程为xy ((tt)),, ( t )其中 (t),(t)在[, ]上具有一阶连续导, 数 且
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2.存在条件：
当 f(x,y)在光滑L上 曲连 线, 续 弧时
对弧长的 Lf曲 (x,y)线 d存 s积 .在 分
3.推广