现代数字信号处理习题

ry
0
1 2
2 0
S
y
w
dw
1 2
S w0 w w dw
w0 w
当频率宽度
w
0
时，上式可表示为
ry
0
1
S
w0
w
0
由于频率 w0 是任意的，所以有 S w 0
3 、 已 知 ： 状 态 方 程 x(n) F(n, n 1)x(n 1) (n, n 1)1(n) 观 测 方 程
z(n) C(n)x(n) 2 (n)
100%的可信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian
Noise ）， 也 就 是 这 些 偏 差 跟 前 后 时 间 是 没 有 关 系 的 而 且 符 合 高 斯 分 配 （ Gaussian
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Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值
步骤 2 由观测信号 z(n)计算新息过程，即
(n) z(n) zˆ(n | n1 ) z(n) C(n)xˆ(n | n1 ) C M*1
步骤 3 一步预测误差自相关矩阵
P(n, n 1) F (n, n 1)P(n 1)F H (n, n 1) (n, n 1)Q1 (n 1) H (n, n 1) C N*N 步骤 4 新息过程自相关矩阵 A(n) C(n)P(n, n 1)C H (n) Q2 (n) C M*M 步骤 5 卡尔曼增益 K (n) P(n, n 1)C H (n) A1 (n) C N*M 或 K (n) P(n)C H (n)Q21 (n) 步骤 6 状态估计 xˆ(n | n ) xˆ(n | n1 ) K (n) (n) C N*1 步骤 7 状态估计自相关矩阵 P(n) [I K (n)C(n)]P(n, n 1) C N*N 或 P(n) [I K (n)C(n)]P(n, n 1)[I K (n)C(n)]H K (n)Q2 (n)K H (n)
1 1
1 j2f 1 j2f 1 4 2 f 2
由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得
Py ( f )
H ( f ) 2 Px ( f
)
N0
1 4 2
f
2
输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有
Cy ( ) Px ( f )e j2f df
1
N0 j4 2 f
e j2f df
Rˆ(m)
1
N 1 m
x(n)x(n m)， N
1 m
N
1
N n0
②对自相关函数在（-M，M）内作 Fourier 变换，得到功率谱：
M
Sˆ() Rˆ (m)(m)e jm mM
式中，一般取 m N 1，(m) 为一个窗函数，通常可取矩形窗。
可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。
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步骤 8 重复步骤 1-7，进行递推滤波计算
4、经典谱估计方法：
直接法：又称为周期图法，它把随机序列 x(n)的 N 个观测数据视为一能量有限的序列，直
接计算 x(n)的离散傅里叶变换，得到 X(k), 然后再取其幅值的平方，并除以 N，作为序列
x(n)的真实功率普估计
自相关法 ：1949 年，Tukey 根据 Wiener—Khintchine 定理提出了对有限长数据进行谱
E[
1
(n)
H 1
(n)]
Q1
(n)
E[ 2 (n) 2 H (n)] Q2 (n)
滤波初值 x(0 | 0 ) E[x(0)] P(0) E{[ x(0) E[x(0)]][ x(0) E[x(0)]] H }
请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。
x 解：步骤 1 状态一步预测，即 (n | n1 ) F (n, n 1)xˆ(n 1 | n1 ) C N*1
的冲激响应为
et , t 0 h(t)
0, else
求输出 y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协方差函数。
解：由题知，系统的传递函数为
H ( f ) h(t)e j2ft dt et e j2ft dt
1
0
1 j2f
有此得 H ( f ) 2 H ( f )H ( f ) 1
估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，从
而得到谱的估计。1958 年，Blackman 和 Tukey 在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了
自相关谱估计法，所以自相关法又叫 BT 法。
5、假定输入信号{x(t)}是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为 Px ( f ) N0 ，且线性系统
离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
Sx (e j ) Rx (m)e jm m
Rx (m)
1 2
Sx
(e
j
)e
jmd
8、举例说明卡尔曼滤波的应用场景。
答：假设要研究的对象是一个房间的温度。根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就
是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设用一分钟来做时间单位）。假设经验不是
会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的预测值（系统的预测值）
2
N0 2
e
6、BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。
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答：（1）相关图法又称 BT 法，BT 谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，
来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。
（2）此方法的具体步骤是：
①给出观察序列 x(0), x(1),...,x(N 1) ，估计出自相关函数：
.
1.设 u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱 S w 0 。 证明：将 u n 通过冲激响应为 h n 的 LTI 离散时间系统，设其频率响应 H w 为
H
w
1, 0,
w-w0 w w-w0 w
输出随机过程 yn 的功率谱为 Sy w H w 2 S w
输出随机过程
yn
的平均功率为
7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。
答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
Sx ()
Rx
(
)e
j
d
F (Rx ( ))
Rx ( )பைடு நூலகம்
1
2
S
x
(
)e
j
d
(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：