高中数学 无穷等比级数范例例题

n。
解■ (3) 若｜S－Sn｜＜10100

4－4 33
1－
1 4
n

＝43．
1 4
n
＜1 1000


1 4
n
＜3 4000
n＝5
时，
1 4
5
＝1＞3 1024 4000
；n＝6
时，

1 4
6
＝1＜3 4096 4000
(1) 试求无穷等比级数 1＋13＋91＋217＋……＋3n1－1＋…… 的和。 解■ (1) 公比 r＝ 1 ，满足－1＜r＜1，
3 此无穷等比级数收敛，故可以求和 由求和公式得 1＋13＋19＋……＋3n1－1 ＋……＝1－1 1＝32
3
例题 3 无穷等比级数的求和
(2) 试求无穷等比级数n＝1－34 n 的和。
1
1－
1 4
n
1－1

＝4
3
1－
1
n

4

4
(2)
S＝1－1 1
＝4 34例题 4来自无穷等比级数的求和设无穷等比级数
1＋
1＋ 1 4 42
＋1 43
＋……的和为
S，且前
n
项的部分和
为 Sn，试求：
(3)
若欲使｜S－Sn｜＜
1 ，试求最小的自然数 1000
(4)
1 n 2
。
解■ (1) 〈4〉：因－1＜r＝1 1，故数列收敛 (2) 〈(－1)n〉：因 r＝－1 －1，故数列发散 (3) 〈2n〉：因 r＝2＞1，故数列发散
(4)
1 n 2
：因－1＜r＝ 1 1，故数列收敛 2
上一题 下一题
例题 3 无穷等比级数的求和
＋ 32
1
＋ 43
1
＋ 5
＋1 n（n＋2）
＝1 2
11－13

＋1 2

1－1 24
＋12

1－1 35

＋
＋1 2

1－ 1 n n＋2

＝1 2


1－1 13
＋
1－1 24

＋
1－1 35

＋
＋

1－ 1 n n＋2
n
例题 1 Sn 与无穷级数求和
试求下列无穷级数的前 n 项部分和 Sn，若无穷级数可求和， 则亦求出此和：
(2) 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＋ 。
13 2 4 35
n（n＋2）
解■
(2)
因
1 ＝1 k（k＋2） 2

1－ 1 k k＋2

，故级数前
n
项的部分和为
Sn＝11
故最小的自然数 n＝6
上一题 下一题
例题 5 无穷等比级数的几何应用
如右图，已知正三角形 ABC 之边长为 8。今将
△ABC 之三边中点连线得△A1B1C1，设其面积为 S1；再将△AB1C1 之三边中点连线得△A2B2C2， 设其面积为 S2；……依此继续做下去，可得无穷 多个三角形（如阴影部分）。试求这些三角形的
主题 1 无穷级数的和
例题 1 Sn 与无穷级数求和
试求下列无穷级数的前 n 项部分和 Sn，若无穷级数可求和， 则亦求出此和： (1) 3＋7＋11＋……＋（4n－1）＋……。
解■ (1) 由等差级数的前 n 项求和公式，级数的前 n 项的部分和为 Sn＝3＋7＋11＋……＋（4n－1） ＝ n（3＋4n－1）＝n（2n＋1） 2 因为 lim n（2n＋1）没有极限，故此级数无法求和
数，其公比为 3，故级数发散
上一题 下一题
例题 4 无穷等比级数的求和
设无穷等比级数 1＋ 1＋ 1 ＋ 1 ＋……的和为 S，且前 n 项的部分和 4 42 43
为 Sn，试求： (1) 前 n 项的部分和 Sn。 (2) 此无穷等比级数的和 S。
解■
(1)
公比
r＝ 1 4

前
n
项的部分和
Sn＝

＝1 2
11＋12－n＋1 1－n＋1 2

例题 1 Sn 与无穷级数求和
试求下列无穷级数的前 n 项部分和 Sn，若无穷级数可求和， 则亦求出此和：
(2) 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＋ 。
13 2 4 35
n（n＋2）
解■
因為
lim
n
Sn＝nlim
1 2

S1＋S2＋……＝1－S1r
＝4 3 1－1
＝16 3
3
4
故所求三角形的面积总和为 16 3 3
上一题 下一题
主题 3 循环小数
例题 6 循环小数化分数
将下列循环小数化为分数： (1) 0.72。
解■ (1) 0.72＝0.7272……＝0.72＋0.0072＋…… ＝ 72 ＋ 72 ＋ 100 10000 72 ＝ 100 ＝72＝ 8 1－ 1 99 11 100
(3) 试求无穷等比级数 1＋3＋9＋27＋……＋3n－1＋……的和。
解■ (2) n＝1－34 n＝－34＋196－2674＋……
这是一个首项为－3 ，公比为－3 的收敛无穷等比级数
4
4
由求和公式得
－3 4
＝－3
1－－34
7
(3) 1＋3＋9＋27＋……＋3n－1＋……为无穷等比级

1＋1－ 1 － 1 1 2 n＋1 n＋2
＝43
故 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＋ ＝3
13 2 4 35
n（n＋2）
4
下一题
主题 2 无穷等比数列与无穷等比级数
例题 2 无穷等比数列的收敛与发散
判断下列各无穷等比数列是否收敛：
(1) 〈4〉。
(2) 〈(－1)n〉。
(3) 〈2n〉。
例题 6 循环小数化分数
将下列循环小数化为分数： (3) 0.4。 解■ (3) 0.4＝0.444……
＝0.4＋0.04＋0.004＋…… ＝ 4 ＋ 4 ＋ 4 ＋……
10 100 1000 4
＝ 10 ＝4 1－ 1 9 10
上一题
面积总和 S1＋S2＋……。
解■ 正三角形的面积为
3 a2，其中 a 为边长
4
△ABC面积为 3 82＝16 3
4
又△A1B1C1
之面积
S1＝
1 4
△ABC
之面积

S1＝
1 4
16
3 ＝4
3
（利用相似形性质：面积比＝边长平方比）
例题 5 无穷等比级数的几何应用
如右图，已知正三角形 ABC 之边长为 8。今将
例题 6 循环小数化分数
将下列循环小数化为分数：
(2) 3.417。
解■ (2) 3.417＝3.41717…… ＝3＋0.4＋0.017＋0.00017＋…… ＝3＋ 4 ＋ 17 ＋ 17 ＋…… 10 1000 100000 17 ＝ 3＋140＋1－10010 100 ＝3＋ 4 ＋ 17 10 990 ＝3383 990
△ABC 之三边中点连线得△A1B1C1，设其面积为 S1；再将△AB1C1 之三边中点连线得△A2B2C2， 设其面积为 S2；……依此继续做下去，可得无穷 多个三角形（如阴影部分）。试求这些三角形的
面积总和 S1＋S2＋……。
解■
同理，S2＝ 14
S1＝
1 4

4
3＝
3

公比
r＝
S2 ＝1 S1 4