空间解析几何与向量代数知识讲解

空间解析几何与向量
代数论文
空间解析几何与向量代数
呼伦贝尔学院
计算机科学与技术学院
服务外包一班
2013级
2014.5.4
小组成员：
宋宝文
柏杨白鸽
李强白坤龙
空间解析几何与向量代数
摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。

向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。

关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数
第一节：向量
一.向量的概念：
向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。

表示法：有向线段a
或a 。

向量的模:向量的打小，记作|a
|。

向径（矢径）：起点为原点的向量。

自由向量：与起点无关的向量。

单位向量：模为1的向量。

零向量：模为0的向量，记作.0或0
若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b
；
若向量a
与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b
规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a
的负向量，记作-a
；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两
向量共线。

若K 3个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。

二.向量的线性运算
1.向量的加法
平行四边形法则：
a
三角形法则：
a +
b b
a
运算规律：交换律a +b =b +a
a
与b
结合律：（a +b ）+c =a
+（b +c ）
三角形法则可推广到多个向量相加。

2.向量的减法
b -a =b +（a ）
a
b -a
b b -a a
特别当b =a 时，有a -a =a （a
）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b
|；
3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a。

规定： a 与a 同向时，|a |=|a
|； 总之：|a | | |a
|
三.向量的模、方向角
1.向量的模与两点间的距离公式
设r
（x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or
由勾股定理得： |r | |OM|
B
A
对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
一.两向量的数量积
引例：设一物体在常力F 作用下，沿与力为夹角的直线移动，位移为
S ，则力F 所做的功为W|F | |S |
1.定义：
设向量b ，a 的夹角为，称|a ||b | b a 为b 与a
的数量积（点
积）。

2.性质：
（1）a a
（2）b ，a
为两个非零向量则有
a 0 a
3.运算符：
交换律a a
（1）结合律（为实数） （）（）（） （）（）（）
（2）分配率 （）c c c
一． 两向量的向量积
引例：设O 为杠杆L 的支点，有一个为杠杆夹角的力F
作用在杠
杆的P 点上，则力F
作用在杠杆上的力矩是一个向量
M ：|M | |oq|F | |OP | |F | OP F M
| 符合右手规则
F
O
P
M
1.定义
设a 的夹角为，定义向量c 称c 为向量a
与向量积，记作：c a 2.性质
（1）a a 0
（2）a 为非零向量，则a 0 a
//
证明：当 a 0
， 0 时，
3.律算率
（1）a a （2）分配率（a ）c a c
（3）结合律（a ）a （）（a
） 第二部分：空间解析几何
第一节：空间直线与平面的方程 1. 空间平面
一般式：Ax+By+Cz+D=0 (); 点法式：A(x-)+B(y-)+C(z-)=0 截距式： 三点式| |=0 2. 空间直线 一般式： 对称式：
参数式：（）为直线上一点；s
=（m,n,p ）为直线的方向向量。

3. 线面之间的相互关系 a. 面与面的关系 b. 线与线的关系 c. 面与线之间的关系
平面，直线，垂直，平行 第二节：实例分析
例1. 求与两平面X-4Z=3和2X-Y-5Z=1的交线平行，且过点（-3 ，2，
5）的直线方程。

所求直线的方向向量可取为：
S=b a
==（-4， -3， -1）
利用点向式可得方程;
参考文献
[1]王作相：关于《空间解析几何》教材的现代化；贵州师范法学学报；1989年02期
[2]黄振华：《浅谈向量与空间解析几何》；湖北师范学院学报（自然科学版）2007年04期
[3]南开大学几何教研室编，《空间解析几何引论》，南开大学出版社，1992年第一版
[4]郭建等编，《解析几何方法与应用》，天津科学技术出版社，1998年第一版。