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湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学(理)(带答案)

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湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(理)试题及答案

湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(理)试题及答案

绝密★启用前湖北省武汉市武昌区普通高中2020届高三年级上学期元月调研考试数学(理)试题2020年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ,}2|{a x a x B <<-=,若}01|{<<-=x x B A I ,则=B A YA ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(-2．已知复数z 满足i i=-z z ,则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列,11=a ,3223+=a a ,则=n aA ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n4．已知2.0log 1.0=a ,2.0log 1.1=b ,2.01.1=c ,则a ,b ,c 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．等腰直角三角形ABC 中,2π=∠ACB ,2==BC AC ,点P 是斜边AB 上一点,且PA BP 2=,那么=⋅+⋅CB CP CA CPA ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A 学习小组的概率是A B E C D M A 1 A ．643 B. 323 C ．274 D ．278 7．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 21232-=,设11+=n n n a a b ,n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ,不等式39+<n T n λ恒成立,则实数λ的取值范围为A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ,B ,||2||FB AF =,抛物线的准线l与x 轴交于点C ,l AM ⊥于点M ,则四边形AMCF 的面积为A ．425 B. 225 C ．25 D ．210 9．如图,已知平行四边形ABCD 中,ο60=∠BAD ,AD AB 2=,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点,则在ADE ∆翻折过程中,给出以下命题：①线段BM 的长是定值；②存在某个位置,使C A DE 1⊥；③存在某个位置,使//MB 平面DE A 1.其中,正确的命题是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,2π0<<ϕ）的部分图象如图所示,给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得 到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1,F 2分别为双曲线14922=-y x 的左、右焦点,过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线。

武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 答案

武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 答案

所以 AA1 DE .
因为 AB AA1 A ，所以 DE 平面 AA1B1B .
C1
因为 A1F 平面 AA1B1B ，所以 DE A1F . 易证 DB1 A1F ，因为 DB1 D1E D ，
所以 A1F 平面 B1DE . ……………（6 分）
（2）取 A1A 的中点 G ，连结 BG 交 B1D 于 H .
a
a
（2）由（1）知， 0 a 1或 a 1.
因为 f (1) 3 a 0 ，所以 0 a 1不合题意.
因为 a 1时， f (x) 在 (0, 1 ) 单调递减，在 ( 1 ,1) 单调递增，在 (1,) 单调递减.
……………（12 分）
21．（本题 12 分）
解：（1）
f
(x)
的定义域为 (0,) ，且
f
( x )


(x
1)(ax x2
1)
.
令 f (x) 0 ，得 x 1或 x 1 . a
当 a 0 时， ax 1 0 ， f (x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,) 单调递增；
所以 4 a2 c2 ac ac ，当且仅当 a c 时取等号.
所以
ac

4 ，所以
SABC

1 2
ac sin
B

3.
…………………………………（12 分）
18．（本题 12 分）
解：（1）因为 AC AB ， DE // AC ，所以 DE AB .
因为 AA1 平面 ABC ， DE 平面 ABC ，
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试

湖北省八校2020届高三第二次联考数学(理)试题 参考答案

湖北省八校2020届高三第二次联考数学(理)试题 参考答案

2020 届高三八校第二次联考 理科数学试题答案12max ⎛π⎫ π⎛ ⊄22020 届八校第二次联考理科数学试题答案一、选择题1. 答案 B Θ A = {x x > 1}, B = {x -1 ≤ x ≤ 2},∴ A I B = {x 1 < x ≤ 2}2. 答案 C Θ Z - (1- i ) = 22, 令 OA = Z , OB = 1- i = 2 ,根据复数的几何意义，点 A 在以 B (1,-1)为圆心， r = 2 的圆上，∴ Z = 33. 答案 A 根据函数的相关性质得 x > 1,0 < y < 1, z < 0,∴ z < y < x4. 答案C 设 BP = x ，根据题意得 x = 1.5 = 1，解得 x = 1 ，∴扫过的面积是x + 5 9 6s = π(62 - 52 )= 3.14 ⨯11 = 34.54m 25. 答案C Θ f (- x ) = - f (x ) ，且 f < 0, f < 0 ，结合图形特征作出判断⎪ ⎪⎝ 8 ⎭ ⎝ 3 ⎭C 2 A 3 4 6. 答案D 根据题意可得 p = 4 3=3⨯ 3⨯ 3⨯ 3 9 7. 答案 B ⋅ Θ 2,60 ≤θ≤ 120 ,结合图形转化可得cos θ，可得最大值是 18. 答案 A 根据题意可得渐近线的倾斜角是60ο，120ο，∴tan 60ο= b, b = a3a ，因此双曲x 2 线方程 a2 - y 23a 2= 1 ，该曲线又过点(2,3)，解得 a = 1 ，所以实轴长为 29. 答案 B 令α= 2020x + π ，∴ f (x ) = sin α+ cos ⎛α- π⎫= sin α+ sin α= 2 sin α4⎛π⎫ ⎪⎝ 2 ⎭1 π =2 sin 2020x + ⎝⎪ ，即 M = 2 ， m - n 4 ⎭ min= T ，∴ M ⋅ m - n 的最小值为 21010 10. 答案C 易判断①③正确11. 答案 D 根据题意数列{a }中 a = 1, a = 3, a= 6, a = 10Λ，易求得 a = n (n +1) ， n 1 2 3 4 n2∴ 1=2 = ⎛ 1 -1 ⎫ ，求和得4040a n n (n +1) ⎝ n ⎪ n +1⎭2021 2 2。

第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。

【答案】武昌区2020届高三元月调考 理科数学

【答案】武昌区2020届高三元月调考 理科数学

武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案一、选择题：二、填空题： 13． 240 14．11-，3，17 15．8 16．3π4或9π81．答案：D 解析：{|12},{|2},{|10},0A x x B x a x a A B x x a =-<<=-<<=-<<∴=I ，(1,2),(2,0),(2,2)A B A B ∴=-=-=-U ．2．答案：A 解析：11i 11i(i)i 1,(1i)1,i 1i (1i)(1i)22z z z z z +=-=⋅+∴-====+--+，则z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限． 3．答案：B 解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由3223a a =+，可得2223,230q q q q =+--=，(1)(3)0q q +-=，1113,3n n n q a a q --∴===．4．答案：D解析：0.10,10.1log 1log 0.2log 0.1<<，即01a <<， 1.1 1.1log 0.2log 10b =<=，0.201.1 1.11c =>=，所以c a b >>．5．答案：D 解析：以C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系， 则42(0,0),(2,0),(0,2),,33C A B P ⎛⎫⎪⎝⎭， 则424284,(2,0),(0,2)4333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ．6．答案：D 解析：每位学生有3种选择，则4位学生共有4381=种选择，则恰有2人申请A 学习小组的情况有242224C ⨯⨯=种，所以所求概率为2488127P ==． 7．答案：A 解析：易求得32n a n =-，则111111(32)(31)33231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111113447323133131n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ， 由93n T n λ<+，得9331nn n λ<++，所以23(31)n n λ+<恒成立，即2min3(31)n n λ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦，因为223(31)3(961)1396n n n n n n n +++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，记1()96(1)f x x x x =++≥，则21()90f x x '=->，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)16f x f ==，所以2min3(31)31648n n ⎡⎤+=⨯=⎢⎥⎣⎦， 故48λ<．8．答案：C 解析：(1,0),(1,0)F C -，设AFx θ∠=，则22,1cos 1cos AF BF θθ==-+，由2AF FB =， 得241cos 1cos θθ=-+，解得1cos 3θ=，所以直线AB的斜率tan k θ==AB 的方程为：1)y x =-，将其代入24y x =，并整理得：22520x x -+=，解得1212,2x x ==，(2,A ∴，DE ， 取DE 中点F ，连接1,A F CF ，1A DE Q △是正三角形，1A F DE ∴⊥，若1DE A C ⊥，则可得出DE ⊥平面1A CF ，从而DE CF ⊥，显然DE 与CF 不垂直，得出矛盾，所以②错误；1//,//MN A D BN DE Q ，,MN BN ⊄平面1A DE ，1,A D DE ⊂平面1A DE ，//MN ∴平面1A DE ，//BN 平面1A DE ，又MN BN N =I ，∴平面//BMN 平面1A DE ，//BM ∴平面1A DE ，③正确．10．答案：C 解析：72,,241234T A T T πππππω==-=∴===，当3x π=时，2,33x ππωϕϕπϕ+=+=∴=， 故()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然①正确；当512x π=-时，232x ππ+=-，所以②正确；C当23x π=-时，23x ππ+=-，所以③正确；函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得22333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④错误．所以正确说法的个数是3．11．答案：A解析：如图，设圆1O 与1221,,F F AF AF 分别相切于点,,D E G ，则1212222DF DF GF EF AF AF a -=-=-=，又12122DF DF F F c +==，12,DF c a DF c a ∴=+=-，同理可知，圆2O 与12F F 也相切于D 点，2121120,60AF F BF F ∠=︒∠=︒，，所以11223O D rr O D==．2e ()ln x g x x x x -=+-，设2e x s x -=，则0s >，ln 2ln s x x =--，ln ln 2x x s ∴-=--，所以2e ()ln ln 2(0)x g x x x s s s x-=+-=-->，所以()f x 的最小值和()g x 的最小值相等． 13．答案：240 解析：展开式的通项为36662166(2)2kk k k k k k T C x C x ---+==，令3632k -=，得2k =，所以展开式中3x 项的系数为24621516240C ⨯=⨯=．14．答案：11-，3，17解析：平均数为257x +，众数为2，中位数可能是2或x 或4，依据题意可得，25247x++=或2x 或8，解得11x =-或3或17，经检验，均符合题意，所以x 所有可能的取值为11-，3，17．15．答案：8AB CD 解析：设(,)M x y ，则22222222(2)(2)1,,,MNx y MO x y MN MO MN MO =-+--=+=∴=Q ，即2222(2)(2)1x y x y -+--=+，整理得：4470x y +-=，MN 的最小值即为MO 的最小值，即为原点O 到直线4470x y +-=的距离8d ==． 16．答案：3π4或9π8解析：当04a π<≤时，22a π≤，[0,][,2]sin ,sin 2a a a M a M a ==，且sin sin 2a a <，显然不满足条件；当42a ππ<<时，则22a ππ<<，此时[0,][,2]sin ,1a a a M a M ==，也不满足条件；在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB ADADC B =∠，sin 5sin 60sin 5AD ADC B AB ∠⨯︒===， 所以45B =︒或135B =︒（舍去）． ……………（4分） （2）由（1）知75BAD ∠=︒，且sin 754︒=所以1sin 2ABDS AB AD BAD ⋅∠=△， 1sin 2ADC S DA DC ADC =⋅∠=△ABC ABD ADC S S S =+=△△△． …………（12分） 18．解析：（1）因为AC AB ⊥，//DE AC ，所以DE AB ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 所以1AA DE ⊥．因为1AB AA A =I ，所以DE ⊥平面11AA B B ． 因为1A F ⊂平面11AA B B ，所以1DE A F ⊥．易证11DB A F ⊥，因为11DB D E D =I ，所以1A F ⊥平面1B DE ．因为1A F ⊂平面11AC F ，所以平面11A C F ⊥平面1B DE ． ……………（4分） （2）方法一：过B 作1BH B D ⊥，垂足为H ，过H 作1HG B E ⊥于G ，连结BG ，由（1）知DE ⊥平面11AA B B ，而BH ⊂平面11AA B B ，DE BH ∴⊥，又1BH B D ⊥，1DE B D D =I ，BH ∴⊥平面1B DE ，1B E ⊂Q 平面1B DE ，1B E BH ∴⊥，又1HG B E ⊥，BH HG H =I ，1B E ∴⊥平面BGH ，从而1B E BG ⊥ ，所以BGH ∠为二面角1B B E D --的平面角．在1Rt B BD △中，求得BH =；在1Rt B BE △中，求得BG =．所以sin BH BGH BG ∠==． ……………………………（12分）方法二：以A 为坐标原点，1,,AC AB AA 所在方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,2,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,2,2)B D E B ，1(1,1,0),(1,1,2),(1,0,0)EB EB ED =-=-=-u u u r u u u r u u u r， 设平面1BB E 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则 111111020m EB x y m EB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u r u u u rur u u u r ，取11x =，得(1,1,0)m =u r ． 设平面1B ED 的法向量222(,,)n x y z =r，则1222220n EB x y z n ED x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取21z =-，则(0,2,1)n =-r ．则cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r ． A 1C BAB 1DC 1EFGH设二面角1B B E D --的大小为θ，则sin 5θ==． 19．解析：（1）由1,bc a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩及222a b c =+，得2a =，b =所以，椭圆E 的方程为22143x y +=． ……………………………（4分） （2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程，整理，得222(43)84120k x kmx m +++-=．由0∆>，得22430k m -+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -⋅=+．于是243AB k ==+．又坐标原点O 到直线l的距离为d =．所以，OAB △的面积12S AB d m =⋅⋅=因为2222(43)12432m k m m k +-+==+，所以，12S AB d =⋅⋅当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x m =，同理可求得1122S AB d m =⋅⋅=．所以，OAB △……………………………（12分）20．解析：（1）因为(1000.000503000.000755000.001007000.00125900x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.0010011000.00050)200620+⨯⨯=（元），所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分）（2）列联表如下：…因为22100(10302040) 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分） （3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．33311(700)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，22313(800)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 31313(900)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，30311(1000)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）因为850900<，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分）21．解析：（1）令()()(e)e (1)1xg x f x ax a x =--=+--，则()e 1xg x a '=+-．由题意，知()0g x ≥对R x ∈恒成立，等价min ()0g x ≥．当1a ≤时，由()0g x '≥知()e (1)1xg x a x =+--在R 上单调递增． 因为1(1)(1)10g a e-=---<，所以1a ≤不合题意； 当1a >时，若(,ln(1))x a ∈-∞-，则()0g x '<，若(ln(1),)x a ∈-+∞，则()0g x '>， 所以，()g x 在(,ln(1))a -∞-单调递减，在(ln(1),)a -+∞上单调递增． 所以min ()(ln(1))2(1)ln(1)0g x g a a a a =-=-+--≥． 记()2(1)ln(1) (1)h a a a a a =-+-->，则()ln(1) h a a '=--． 易知()h a 在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减， 所以max ()(2)0h a h ==，即2(1)ln(1)0a a a -+--≤． 而min ()2(1)ln(1)0g x a a a =-+--≥，所以2(1)ln(1)0a a a -+--=，解得2a =． ……………………………（6分） （2）因为12()()0f x f x +=，所以1212e e 2(e 1)xxx x +++=+． 因为12122e e 2ex x x x ++≥，12x x ≠，所以12122e e2ex x x x ++>．令12x x t +=，则22e 2e 20t t +--<．记2()2e 2e 20t m t t =+--<，则2()e 10t m t '=+>，所以()m t 在R 上单调递增．又(2)0m =，由22e 2e 20t t +--<，得()(2)m t m <，所以2t <，即122x x +<．…………（12分） 另证：不妨设12x x <，因为()e 10xf x '=+>，所以()f x 为增函数． 要证122x x +<，即要证212x x <-，即要证21()(2)f x f x <-．因为12()()0f x f x +=，即要证11()(2)0f x f x +->． 记2()()(2)e e2e xxh x f x f x -=+-=+-，则(e e)(e e)()e x x xh x -+'=．所以min ()(1)0h x h ==，从而()()(2)0h x f x f x =+->，得证．22．解析：（1）方程,222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可化为20x y +-=． 方程22.932cos ρθ=-可化为22193x y +=． ……………………（5分） （2）将,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22193x y +=，得2230t ++=．设方程2230t ++=的两根分别为1t ，2t ，则1232MA MB t t ⋅=⋅=．…………………（10分） 23．解析：（1）方法一：因为()()f x f x x a x x a x a ==-+--=≥， 因为存在实数x ，使()2f x <成立，所以2a <，解得22a -<<． 方法二：当0a =时，符合题意．当0a >时，因为2, ,(), 0,2, 0,x a x a f x x a x a x a x a x ->⎧⎪=-+=⎨⎪-+<⎩≤≤ 所以min ()f x a =．因为存在实数x ，使()2f x <成立，所以2a <． 当0a <时，同理可得2a >-．综上，实数a 的取值范围为(2,2)-． ……………………………（5分）（2）因为3m n +=，所以1414141553333m n n m m n m n m n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+=+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当1,2m n ==时取等号． ……………………………（10分）。

2022届武汉市江岸区高三元月调研考试数学试题+答案解析(附后)

2022届武汉市江岸区高三元月调研考试数学试题+答案解析(附后)

2022届武汉市江岸区高三元月调研考试数学试题1. 设集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知，则( )A. B. C. D.3. 如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的是( )A. B. C. D.5. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 计算( )A. 1B.C. D.7. 满足，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.8. 在次独立重复试验中，每次试验的结果只有A，B，C三种，且A，B，C三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件A，B发生的概率均为，则事件A，B，C 发生次数的方差之比为( )A. B. C. D.9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额单位：亿元并作出散点图，将销售额y看成年份序号年作为第一年的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是( )A. 销售额y与年份序号x正相关B. 销售额y与年份序号x线性关系不显著C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D. 根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为亿元10. 若…，是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是( )A.B.C. 点A、、…一定在一条直线上D. 、在向量方向上的投影数量一定相等11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，离心率为e，下列说法正确的是( )A. 当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形B. 当时，椭圆C上恰好有2个不同的点，使得为等腰三角形C. 当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形D. 当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形12. 正方体的棱长为2，且，过点P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点，下列说法正确的是( )A. 平面B. 四边形的面积的最大值为C. 若四边形的面积为，则D. 若，则四棱锥的体积为13. 函数为奇函数，则实数k的取值为__________.14. 一个盒子内装有形状大小完全相同的5个小球，其中有3个红球，2个白球．如果不放回依次抽取2个球，则在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为__________.15. 双曲线的右焦点为F，直线与双曲线相交于A，B 两点，若，则双曲线C的离心率为__________.16. 数列中，，，使对任意的恒成立的最大k值为__________.17. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且求角C；若，求c的取值范围．18. 已知数列中，，，且满足设，证明：数列是等差数列；若，求数列的前n项和19. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，点D为AC的中点．证明：平面平面PAC；若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．20. 5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分单位：分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数每组数据以区间的中点值为代表；该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即Z∽，则，.21. 已知抛物线的准线与圆相切．求p；若定点，，M是抛物线上的一个动点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为求证：当M点在抛物线上运动时，直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．22. 已知函数，若存在单调递增区间，求a的取值范围；若，是的两个不同极值点，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．化简集合B，利用交集运算即可求出结果．【解答】解：因为，，所以故答案选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算和共轭复数，属于基础题．利用复数的除法运算化简，求出，则z可求．【解答】解：由，得故答案选：3.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单组合体柱、锥、台的表面积与体积，属于较易题.该几何体的表面积由6个完全相同的正方形和8个完全相同的等边三角形构成，然后分别计算两部分的面积，即可求得该几何体的表面积.【解答】解：根据题意知，该几何体的表面积分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，另一部分是8个完全相同的等边三角形，6个完全相同的正方形的面积之和为：，8个完全相同的等边三角形的面积之和为：，故该几何体的表面积为：故选：4.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦型函数的周期性，含函数的单调性问题，判断正弦型函数的单调性，余弦型函数的周期性，判断余弦型函数的单调性，属于较易题.根据已知解析式，判断出函数的最小正周期以及单调递减区间，即可得到答案.【解答】解：对于A，将函数在x轴下方的图象沿x轴对称翻折到上方，可得函数的图象，则函数最小正周期，在区间上单调递减，所以A正确；对于B，不是周期函数，所以B错误；对于C，的最小正周期，所以C错误；对于D，的最小正周期，在上不单调递减，所以D错误.故选：5.【答案】D【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.根据正余弦函数直接利用充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：当时，或；当时，当时，可得，或，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故答案选：6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二倍角正弦公式，逆用两角和与差的正弦公式，利用同角三角函数基本关系化简，诱导公式型，属于中档题.先利用同角三角函数基本关系结合诱导公式将与变形，再逆用两角和与差的正弦公式将变形，最后利用二倍角正弦公式将变形，即可得到答案.【解答】解：故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中档题.构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可求出答案，注意分类讨论思想的应用.【解答】解：令，则当时，，函数在上单调递增，故，满足题意；当时，由，得，当时，，函数在上单调递减，故，不符合题意．综上所述：，即实数a的取值范围为故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项分布的方差，属于一般题.由题意知，，利用二项分布的方差公式，分别求出事件A，B，C发生次数的方差，进而得到其之比.【解答】解：由题意可知，，，在次独立重复试验中，事件A发生的次数为，则，事件B发生的次数为，则，事件C发生的次数为，则，，，，所以故选：9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查变量的相关关系，决定系数，用回归直线方程对总体进行估计，散点图，非线性回归分析，属于较易题.根据已知条件和散点图及其中有关数据，逐一判断即可得到答案.【解答】解：对于A，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，故A正确；对于B，因为相关指数，非常接近1，故销售额y与年份序号x线性相关显著，故B 错误；对于C，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数，而回归直线拟合的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，故C正确；对于D，令，由三次多项式函数得，所以2022年“年货节”期间的销售额约为亿元，故D正确.故选：10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了向量的数量积与垂直的关系、向量共线定理，考查了推理能力，属于中档题．由题意知，根据向量的数量积的概念及其运算，可得，且，由此即可判断四个选项的正误．【解答】解：因为，所以，所以，故选项B正确；即，所以，则向量、在向量方向上的投影数量相等，又，所以点A、在同一条垂直于直线OB的直线上，故A选项错误，选项C正确，选项D正确.故选：11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查椭圆的焦点三角形问题，与椭圆离心率有关的参数问题，属于中档题.根据题意结合椭圆的对称性，对各选项逐一判定，即可得出结果.【解答】解：当时，，化简可得，则，所以当P与上下顶点重合时，，所以点P为直角顶点的有2个，易知以点分别为直角顶点的各有2个，所以椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为直角三角形，故A正确；当时，使得为等腰三角形，则或或，根据椭圆的对称性，共有6个不同的点，故B错误；当时，，化简得，，，当点P与上下顶点重合时，最大，且最大角为，故以点P为直角顶点的不存在，易知以点分别为直角顶点的各有2个，所以当时，椭圆C上恰好有4个不同的点，使得为直角三角形，故C错误；当时，使得为等腰三角形，则或或，根据椭圆的对称性易知，以上每一种情况都有2种等腰三角形，所以当时，椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，故D正确.故选：12.【答案】BD【解析】【分析】本题考查空间向量平行的坐标表示，线面垂直的判定，棱锥的体积，空间几何体的截面问题截面形状、面积，属于较难题.以点为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出相关的各点的坐标，根据题目条件结合线面垂直的判定定理得到的取值范围，然后依次判断即可得到结果.【解答】解：如图所示，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故A不正确.如图，以点为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，因为，所以点，因为平面，所以，则点，点，若点平面，则，即，，，若点平面，则，即，，，因为，所以四边形的面积：，当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，故B正确，D正确.若四边形的面积为，则或，解得或，故C不正确.故答案选：BD.13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，指数函数的解析式，属于较易题．根据函数奇偶性的定义，解方程，即可得到实数k的取值．【解答】解：若在定义域上为奇函数，则，即，即，则，即，则，即，解得，又，所以，且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意．故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了条件概率的概念与计算，古典概型及其计算，属于容易题．设事件第一次抽到红球，事件第二次抽到红球，根据古典概型概率公式，分别求出、、，利用条件概率公式，即可求出在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率【解答】解：盒子内有完全相同的5个小球，其中有3个红球，2个白球，不放回依次抽取2个球，设事件第一次抽到红球，事件第二次抽到红球，则事件第一次抽到红球，且第二次也抽到红球，则，，，故，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于中档题.由题意得右焦点F的坐标，由于点A、B关于原点对称，可设点，，其中，由得，由此求出点A的坐标并代入双曲线C的方程，从而得到a、b、c 之间的关系式，结合即可求出双曲线C的离心率.【解答】解：由题意可知，双曲线的右焦点在以AB为直径的圆上，因为点A、B关于原点对称，所以可设，，，由，可得，即，因为，所以，，于是点A的坐标为c，，将点代入双曲线，可得，因为，所以，两边同除以可得，由，可得，解得或，因为，所以双曲线C的离心率故答案为：16.【答案】2018【解析】【分析】本题考查数列与不等式，根据数列的递推公式求数列的项，属于中档题.利用题中给出的递推关系，求出数列中的项，然后观察其特点，选择三个一组，每组的第一个数即为它在数列中的项数，得到第673组的第一个数为2017，即数列的第2017项为2017，第2018项为2020，第2019项为2023，由此即可得到答案.【解答】解：因为，，所以数列中的项依次为：1，4，7，4，7，10，7，10，13，，故可将数列中的三项作为一组，第1组：1，4，7；第2组：4，7，10；第3组：7，10，13；第673组：2017，2020，2023；第674组：2020，2023，2026；每组的第一个数即为它在数列中的项数，即2020为数列的第2020项，所以，，，故使对任意的恒成立的最大k值为故答案为：17.【答案】解：由正弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以；由，得，且，由知，由余弦定理得：，令，，则，所以，即，所以c的取值范围为【解析】本题考查了正、余弦定理的综合应用，逆用两角和与差的正弦公式，二次函数的最值，诱导公式、型，属于中档题．由正弦定理结合题意得，根据两角和与差的正弦公式与诱导公式化简可得，由此即可得到角C的大小；由余弦定理结合二次函数的性质，即可求出c的取值范围．18.【答案】证明：由题意知，，两边同时乘以，可得，所以，即，因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．解：由可得，所以，整理可得，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，则，则，所以【解析】本题考查等比数列的通项公式及其前n项和公式，等差数列的判定及其通项公式，根据数列的递推公式求通项公式，属于中档题．由题意将题干中的表达式两边同时乘以，可得，即可证明数列是等差数列；先根据第题得出数列的通项公式，然后代入得出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式即可求出19.【答案】证明：，点D为AC的中点，又为等边三角形，，，BD，平面PDB，平面平面PAC，平面平面解：因为为正三角形，，所以的面积为，设三棱锥的底面ABC上的高为h，，可得，作于点O，由知平面ABC，所以，又，所以，所以点O是DB的中点，记BC的中点为E，以点O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，，设是平面PAB的一个法向量由，得，取，设是平面PBC的一个法向量，由，得，取，则⟨⟩，设二面角的平面角为，则【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，面面垂直的判定，棱锥的体积，属于中档题.证出平面PDB，结合面面垂直的判定定理即可证明平面平面PAC；记BC的中点为E，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PAB的一个法向量和平面PBC的一个法向量，先求出两个法向量夹角的余弦值，即可求出二面角的平面角的正弦值.20.【答案】解：由题意知，样本平均数为，则，因为，所以故，故这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数约为.由题意可知，X的可能取值为0，100，200，300，，，，，故X的数学期望.【解析】本题考查正态分布的实际应用，离散型随机变量的均值，频率分布直方图，平均数，属于中档题.求出样本平均数为，可得结合参考数据可得，乘以20000即可得到这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数；先得X的可能取值，再求出X的所有可能取值对应概率，然后利用随机变量的期望公式即可求出.21.【答案】解：由题意知，直线与圆相切，则，故抛物线方程，设点，，，直线的方程为，化简得，同理，，因为直线，分别过点，，所以，，消去可得，将代入直线的方程，可得，故直线恒过定点【解析】本题考查了抛物线中的定点问题，抛物线的焦点、准线，直线与圆的位置关系的判断及求参，属中档题．由抛物线的准线与圆相切，即可求出p的值．由题意设出点M、M1、的坐标，分别求出直线、、的方程，将点、分别代入直线、的方程，消去后再代入直线的方程，即可得到直线恒过的定点．22.【答案】解：函数定义域为，由题意可知，有解，即有解，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值为，所以，，即由，是的不同极值点，可知，是方程的两根，即①联立可得：②将①代入，得，即，将②代入，得，即，因为，所以，令，则，则，要证，即证，因为，所以在上单调递增，故当时，，故得证【解析】本题考查利用导数证明不等式，利用导数由函数的单调性求参，利用导数求已知函数的极值或极值点含参，属于较难题．求出函数的导数，问题转化为当时有解，令，利用导数求函数的最值，即可求出a的取值范围．由题意得到，进而得到，从而将转化为，令则，利用导数求出函数的最大值，即可证明不等式成立．。

湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学理试卷(扫描版)

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武昌区2015届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题： 1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C二、填空题：11． 0 12． a n ＝2n ，或a N ＝2N 13. 214.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为()a x x x f ++=2cos 2sin 3，所以()a x x f ++=)62sin(2π.因为]2,0[π∈x 时，]67,6[62πππ∈+x ，所以67π=x 时)(x f 的取得最小值a f +-=1)67(π. 依题意，01=+-a ，所以1=a ；…………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1)62sin(2++=πx x f .要使()0≥x f ，即21)62sin(-≥+πx .所以Z ∈+≤+≤-k k x k ,6726262πππππ，即Z ∈+≤≤-k k x k ,26ππππ. 当0=k 时，26ππ≤≤-x ；当1=k 时，2365ππ≤≤x .又],0[π∈x ，故使0)(≥x f 成立的x 的集合是],65[]2,0[πππ .………………………………（11分）18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，1，d +2，d 64+成等比数列，所以()d d 6422+=+，即022=-d d ，所以0=d 或2=d .因此，当=d 时，1=n a ；当2=d 时，12-=n a n .……………………………………………（6分）（Ⅱ）当1=n a 时，1≥=n T n ，此时不存在正整数n ，使得20151007<n T ； 当12-=n a n 时，()()12121531311+⨯-++⨯+⨯=n n T n)]121121()5131()3111[(21+--++-+-=n n 12)1211(21+=+-=n n n . 由20151007<n T ，得2015100712<+n n ，解得1007<n .故n 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）19．解：设x BF AE ==.以D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：()0,0,0D ，()0,0,2A ，()0,2,2B ，()0,2,0C ，()2,0,01D ,()2,0,21A ，()2,2,21B ,()2,2,01C ,()0,,2x E ,()0,2,2x F -.（Ⅰ）因为)2,2,(1--=x F A ，)2,2,2(1--=x E C ， 所以()()02,2,22,2,11=--⋅--=⋅x x E C F A .所以E C F A 11⊥.………………………………………（4分） （Ⅱ）因为BEF BEF BEF B S BB S V ∆∆-=⨯=323111， 所以当BEF S ∆取得最大值时，三棱锥BEF B -1的体积取得最大值因为()()11122≤--=-=∆x x x S BEF ，所以当1=x 时，即E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B 1-BEF 的体积取得最大值，此时E ，F 坐标分别为()0,1,2E ,()0,2,1F .设平面EF B 1的法向量为()c b a m ,,=，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=--⋅=⋅,00,1,1,,,02,1,0,,1c b a c b a E B m 得⎩⎨⎧=-=+.0,02b a c b取1,2,2-===c b a ，得()1,2,2-=m .显然底面ABCD 的法向量为()1,0,0=n . 设二面角B EF B --1的平面角为θ，由题意知θ为锐角. 因为31||||,cos -=⋅>=<n m ，所以31cos =θ，于是322sin =θ. 所以22t a n =θ，即二面角BEF B --1的正切值为22.………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P (A 1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P (A 2)＝0.05，所以P (B )＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6x分）（Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，0.7)（12分）21．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是12622=+y x . …………………………………………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线PQ 的方程为x ＝my +2，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为)32,36(22+-+m mm .因为PQ TF ⊥，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y . 当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，此时直线OT 的斜率为()tt m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)32,36(22+-+m m m 代入，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m .解得3=t . ………………………………………………（8分）（ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线3=x 上任意一点可得，点T 点的坐标为),3(m -. 于是1||2+=m TF ，221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m . 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m 414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值33．故当|TF ||PQ |最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）22．解：（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(.又11)0(-=-='a f ，所以2=a .所以12e )(--=x x f x ，2e )(-='x x f . 由02e )(>-='x x f ，得2ln >x .所以函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. ……………………（4分）(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e)2(ln )(2ln min -=--==f x f .所以4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x，04ln 22e >-≥-x x. 令1e )(2--=x x g x，则02e )(>-='x x g x.所以)(x g 在),0(+∞上单调递增，所以0)0(1e )(2=>--=g x x g x ，即1e 2+>x x .…………（8分）(Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 证明如下：令331e )(x x h x-=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，所以01)0()(>=>h x h ，所以331e x x>.所以)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+.依次取nn x 1,,23,12+= ，代入上式，则12ln 33ln 12>+， 23ln 33ln 23>+， nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n n n n n +⨯⨯⨯>+++++ 所以()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ，所以()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ，即()n n n n e31ln 1312113+>++++ .………（14分）另解：用数学归纳法证明（略）。

2020届高三调研考试卷理科数学(三)(解析附后)

2020届高三调研考试卷理科数学(三)(解析附后)

2020届高三调研考试卷理科数学（三）（解析附后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230}A x x x =+-≤，{2}B x =<，则AB =（ ）A ．{|31}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|31}x x -≤<D ．{|10}x x -≤≤2．已知复数122z =+，则||z z +=（ ）A ．12 B ．12-- C ．32 D ．32+3．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin2x =（ ）A ．316-B ．C ． D4．在等比数列{}n a 中，若2a ，9a 是方程260x x --=的两根，则56a a ⋅的值为（ ）A ．6B ．6-C ．1-D ．1 5．设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =（ ）A ．2B ．2-C ．2019D ．2019-6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．已知实数x ，y 满足不等式10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．4-B ．5C ．4D ．无最小值8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．0031 B ．1043C ．27D ．18 9．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b <>为钝角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知A 为椭圆2229x y +=的左顶点，该椭圆与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 B ．5C ．2D 11．如图，正方形的四个顶点(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -，及抛物线2(1)y x =-+和2(1)y x =-，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（ ）A ．23 B ．13 C ．16 D ．1212．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞- C ．(,2]-∞- D ．(,3]-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设某总体是由编号为01，02，，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为__________．1818079245441716580979838619第1行 6206765003105523640505266238第2行14．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数为__________．15．设()sin 22f x x x =+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则ϕ的最小值为__________．16．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin (2)b A a B =． （1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD BC 的长．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC =，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45︒．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D --的平面角的余弦值．19．（12分）某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=），20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．（12分）设函数2()(,)xx ax bf x a R b R e++=∈∈． （1）若1x =-是函数()f x 的一个极值点，试用a 表示b ，并求函数()f x 的减区间；（2）若1a =，1b =-，证明：当0x >时，1()(21)f x x e≤-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求||||PA PB +．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|||31|f x x m x m =----． （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集；（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围．2020届高三调研考试卷理科数学（三）解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230}A x x x =+-≤，{2}B x =<，则AB =（ ）A ．{|31}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|31}x x -≤<D ．{|10}x x -≤≤ 【答案】B【解析】{|31}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤<， 所以{|01}AB x x =≤≤．故选B ．2．已知复数122z =+，则||z z +=（ ）A ．122- B ．122-- C ．322- D ．322+【答案】C【解析】因为复数12z =+，所以复数z 的共轭复数12z =-，||1z ==，所以13||12222z z +=-+=-，故选C ． 3．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin2x =（ ）A ．316-B ．C ． D【答案】B【解析】因为1sin 4x =，x 为第二象限角，所以cos 4x ===-，所以1sin 22sin cos 2(4x x x ==⨯⨯=，故选B ． 4．在等比数列{}n a 中，若2a ，9a 是方程260x x --=的两根，则56a a ⋅的值为（ ） A ．6 B ．6- C ．1- D ．1 【答案】B【解析】因为2a 、9a 是方程260x x --=的两根， 所以根据韦达定理可知296a a ⋅=-，因为数列{}n a 是等比数列，所以5629a a a a ⋅=⋅，566a a ⋅=-，故选B ．5．设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =（ ）A ．2B ．2-C ．2019D ．2019- 【答案】B【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-，因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-． 故选B ．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D【解析】A ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，90后占了56%，故A 选项结论正确； B ．由90后从事互联网行业岗位分布图可知，技术所占比例为39.65%，故B 选项结论正确； C ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，在互联网行业从业者中90后明显比80前多，故C 选项结论正确；D ．在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大，故无法判断其技术岗位的人数是谁多，故D 选项结论不一定正确． 故选D ．7．已知实数x ，y 满足不等式10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．4-B ．5C ．4D ．无最小值 【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即1122y x z =-+，其中z 取得最小值时， 其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程320x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得点的坐标为(2,1)A ，据此可知目标函数的最小值为min 2224z x y =+=+=． 故选C ．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．0031 B ．1043C ．27D ．18 【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =+⨯=．故选B ．9．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b <>为钝角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，则cos ,||||5a b a b a b ⋅<>==⋅，若12m <，则cos ,0||||5a b a b a b ⋅<>==<⋅， 但当2m =-时，a ，b 反向，夹角为180︒； 所以由12m <不能推出,a b <>为钝角； 反之，若,a b <>为钝角，则cos ,0a b <><且2m ≠-，即12m <且2m ≠-， 能推出12m <； 因此，“12m <”是,a b <>为钝角的必要不充分条件． 10．已知A 为椭圆2229x y +=的左顶点，该椭圆与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 B ．5C ．2D 【答案】D【解析】因为直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线AB 的方程为(3)ay x b=+， 联立(3)ay x b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得交点2222233(,)a abB a b a b ----， 代入椭圆方程整理得224b a =，即有225c a =．11．如图，正方形的四个顶点(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -，及抛物线2(1)y x =-+和2(1)y x =-，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（ ）A ．23 B ．13 C ．16 D ．12【答案】B【解析】∵(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -， ∴正方形的ABCD 的面积224S =⨯=，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：122310012[1(1)]2()|3S x dx x x =--=-⎰1242[(1)0]2333=--=⨯=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是41343=．故选B ．12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞- C ．(,2]-∞- D ．(,3]-∞- 【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对(1,)x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x---=，(1,)x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+， 故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-，即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-．当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在(1,)+∞内有根，故3min 1()3ln x x e x x---=-，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设某总体是由编号为01，02，，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为__________．1818079245441716580979838619第1行 6206765003105523640505266238第2行【答案】19【解析】由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为18，07，17，16，09，19，，故选出来的第6个个体编号为19．14．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数为__________．【答案】20-【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为5151()(2)2r r rr T C x y -+=-，要求解51(2)2x y -的展开式中含23x y 的项，则3r =，所求系数为32351()(2)202C -=-．15．设()sin 22f x x x =+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则ϕ的最小值为__________．【答案】512π【解析】()sin 22sin(2)3f x x x x π==+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度得到()2sin(22)3g x x πϕ=-+，因为函数()g x 是偶函数，所以232k ππϕπ-+=+，122k ππϕ=-+，k ∈Z ，(0)ϕ>， 所以min 512πϕ=，故答案为512π．16．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种 ． 【答案】60【解析】每个城市投资1个项目有3343C A 种， 有一个城市投资2个有212423C C C 种， 投资方案共3321243423243660C A C C C +=+=种． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sin (2)b A a B =． （1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD BC 的长．【答案】（1）6B π=；（2）BC =【解析】（1）因为sin (2)b A a B =，所以sin sin sin (2)B A A B =，解得sin 2B B =，所以sin()13B π+=，因为(0,)B π∈，所以4(,)333B πππ+∈，32B ππ+=，解得6B π=．（2）因为锐角三角形ACD所以1sin 2AC CD ACD ⋅⋅∠=sin 4ACD ∠=，因为三角形ACD 为锐角三角形，所以1cos 4ACD ∠==， 在三角形ACD 中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，所以4AD =，在三角形ACD 中，sin sin CD AD A ACD=∠，所以sin A =，在三角形ABC 中，sin sin BC ACA B=，解得BC =18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC =，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45︒．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D --的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】（1）因为AC =，2AB BC =，所以2222)4AB BC BC =+=， 所以ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥；在Rt ABC ∆中，由AC =，30CAB ∠=︒，不妨设1BD =，由3AD BD =得，3AD =，2BC =，AC = 在ACD ∆中，由余弦定理得222222cos30323cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒=+-⨯⨯︒3=，故CD =所以222CD AD AC +=，所以CD AD ⊥；因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD CD ⊥， 又PDAD D =，所以CD ⊥平面PAB ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥平面ABC ，所以PA 与平面ABC 所成的角为PAD ∠，即45PAD ∠=︒，可得PAD ∆为等腰直角三角形，PD AD =，由（1）得3PD AD ==，以D 为坐标原点，分别以DC ，DB ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，C ，(0,3,0)A -，(0,0,3)P ． 则(0,0,3)DP =为平面ACD 的一个法向量． 设(,,)x y z =n 为平面PAC 的一个法向量， 因为(0,3,3)PA =--，(3,0,3)PC =-，则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得30330z y z -=--=⎪⎩，令1z=，则x =1y =-，则1,1)=-n 为平面PAC 的一个法向量，故cos ,DP <>==n故二面角P AC D --的平面角的余弦值为5． 19．（12分）某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=），【答案】（1）80.2；（2）30万元；（3）见解析．【解析】（1）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)0.25x >=，(7478P x <≤或8286)0.45x <≤=，(7882)0.3P x <≤=，设生产一件产品的利润为X 元，则(100)0.20.250.40.450.60.30.41P X ==⨯+⨯+⨯=，(60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元．（3）374μσ-=，78μσ-=，82μσ+=，386μσ+=，设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=，(60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元，增加收入55.23020 5.2--=万元，综上，应该引入该设备．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）(35k ∈-． 【解析】（1）由12c e a ==可得2243a b =，又b ==24a =，23b =． 故椭圆的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线l 方程为(4)y k x =-． 联立22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． 由2222(32)4(43)(6412)0Δk k k =--+->，得214k <．① 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+． ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++．当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，∴22212121212(1)4()16OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=+-++2222222264123287(1)416250434343k k k k k k k k -=+-⋅+=-<+++，②．由①②，解得55k -<<．∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，直线l 的斜率(k ∈． 21．（12分）设函数2()(,)x x ax b f x a R b R e++=∈∈． （1）若1x =-是函数()f x 的一个极值点，试用a 表示b ，并求函数()f x 的减区间；（2）若1a =，1b =-，证明：当0x >时，1()(21)f x x e≤-．【答案】（1）23b a =-，当4a <时，函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞，当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞；（2）见解析． 【解析】（1）由222(2)()(2)()x x x xx a e x ax b e x a x a b f x e e +-++-+-+-'==， 有(1)(12)0f a a b e '-=-+-+-=，得23b a =-． 此时有22(2)(23)(2)3()x x x a x a a x a x a f x e e-+-+---+--+'== (1)[(3)][(1)][(3)]x x x x a x x a e e++-----=-=-． 由1x =-是函数()f x 的一个极值点，可知31a -≠-，得4a ≠．①当31a ->-，即4a <时，令()0f x '<，得3x a >-或1x <-，函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞．②当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞．（2）由题意有21()x x x f x e+-=，要证1()(21)(0)f x x x e ≤->， 只要证：2(21)(1)0(0)x x e e x x x --+-≥>令2()(21)(1)(0)x g x x e e x x x =--+->有()(21)(21)(21)()x x g x x e e x x e e '=+-+=+-．则函数()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，则min ()(1)0g x g ==． 故不等式1()(21)f x x e≤-成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求||||PA PB +．【答案】（1）直线l的普通方程为3y x =-++圆C的直角坐标方程为22(5x y +=；（2）【解析】（1）由直线l的参数方程32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）得直线l的普通方程为3y x =-++．由ρθ=，得220x y +-=，即圆C的直角坐标方程为22(5x y +-=．（2）将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240t -+=，由于2440Δ=-⨯>，故可设1t ，2t是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 又直线l过点P ，故1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|||31|f x x m x m =----．（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集；（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤． 【解析】（1）()|1||4|1f x x x =---<，所以11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩或141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩或4141x x x >⎧⎨--+<⎩． 解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞．（2）当31m m +>，12m >-时，由题得2必须在31m +的右边或者31m +重合， 所以231m ≥+；∴13m ≤，所以1123m -<≤；当31m m +=，12m =-时，不等式恒成立； 当31m m +<，12m <-时，由题得2必须在31m +的左边或者与31m +重合， 由题得231m ≤+，13m ≥，所以m 没有解． 综上，1123m -≤≤．。

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学(理)试题(解析版)

2020届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三元月联考数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足(1)z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 由题意可得1=-iz i ,根据复数的除法运算得1122z i =-+，可得选项. 【详解】 由题意可得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+, 对应的点在第二象限， 故选：B.本题考查复数的除法运算和复数的坐标表示，属于基础题.2．已知全集U =R ，集合2230{|}A x x x =--≤，集合2{log 1}B x x =≤|，则()U A B =I ð( )A ．(2,3]B ．φC ．[1,0)(2,3]-UD ．[1,0](2,3]-U【答案】D根据对数不等式的解法可求得集合{|02}B x x =<<, 根据一元二次不等式的解法可求得集合13{|}A x x =-≤≤, 再根据集合的补集运算可求得{|0U C B x x =≤或2}x ≥, 从而可得选项.【详解】集合U =R ,{}2|230{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}2|log 1{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0U C B x x =≤或2}x ≥,所以(){|10U A C B x x ⋂=-≤≤或23}[1,0][2,3]x ≤≤=-⋃故选：D.本题考查对数不等式和一元二次不等式的解法，以及集合的交集、补集运算，属于基础题.3．已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===，则( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A先判断指数函数底数21>，故指数函数2xy =在R 上单调递增，可得0.800.20.8112222-⎛⎫=<<= ⎪⎝⎭，再由对数函数底数51>，故对数函数5log y x =在(0,)+∞上单调递增，故5552log 2log 4log 51=<=，从而可得选项。

2020届武昌区高三元月调研考试数学(理)试题+参考答案+评分标准

2020届武昌区高三元月调研考试数学(理)试题+参考答案+评分标准

2020届武昌区高三年级元月调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}2|{a x a x B <<-=，若}01|{<<-=x x B A I ，则=B A Y A ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(- 2．已知复数z 满足i i=-z z，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，11=a ，3223+=a a ，则=n a A ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n 4．已知2.0log 1.0=a ，2.0log 1.1=b ，2.01.1=c ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 5．等腰直角三角形ABC 中，2π=∠ACB ，2==BC AC ，点P 是斜边AB 上一点，且PA BP 2=，那么=⋅+⋅CB CP CA CPA ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是A ．643 B. 323 C ．274 D ．278 7．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 21232-=，设11+=n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ，不等式39+<n T n λ恒成立，则实数λ的取值范围为A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，||2||FB AF =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AM ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为 A ．425 B. 225 C ．25 D ．210 9．如图，已知平行四边形ABCD 中，ο60=∠BAD ，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE翻折成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻折过程中，给出以下命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使C A DE 1⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面DE A 1. 其中，正确的命题是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2π0<<ϕ）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π； ②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得 到x y 2sin 2=的图象. 其中正确说法的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1，F 2分别为双曲线14922=-y x 的左、右焦点，过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，记21F AF ∆的内切圆半径为r 1，21F BF ∆的内切圆半径为r 2，则21r r的值等于A ．3B ．2C ．3D ．212．已知函数2ln e )(---=x x x x f x ，x x xx g x -+=-ln e)(2的最小值分别为a ，b ，则A ．b a =B ．b a <C ．b a >D ．a ，b 的大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市武昌区2020届高三数学5月调研考试 文 新人教A版

湖北省武汉市武昌区2020届高三数学5月调研考试 文 新人教A版

武昌区2020届高三5月调研考试文科数学试卷本试卷共150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回．2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．4．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在指定区域外无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅． 台体的体积公式h (V ）下下上上S S S S 31++=，其中上S 、下S 分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高．球的表面积公式24S R π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z （） A.1 B. 2 C. 5 D. 22 2.已知,a b 为实数，“100=ab ”是“2lg lg =+b a ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3．已知程序框图如右，则输出的i 为A ．7B ．8C ．9D ．10开始1S =结束3i =100?S ≥i 输出2i i =+是否S=S ﹡i4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）A.12B. 28C. 36D. 845.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则OP OA ⋅的范围是 （ ）A.[]10,4B. []9,6C. []10,6D. []10,9 6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x fx f x h /=，下列说法正确的是 （ ）A.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称C. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称 D. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD - 棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是（ ）A.62B. 63C. 31D. 66A 1B 1C 1D 1AB CDFE正视图侧视图 俯视图8．如果方程122=+-q y p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ） A.1222=++q y p q x B. 1222-=++p y p q x C.1222=++q y q p x D. 1222-=++py q p x 9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且AC AD λ=，若BD CE ⊥，则=λA.177 B. 178 C. 179 D. 171010.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设弧 的长度为x ，弓形面积为()x f （如图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =的有如下结论： ①函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0；②如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是周期函数；③如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.以上结论的正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．A⌒ AP CABE D12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = .13.在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是 . 14.已知集合{}R x x x A ∈≤-=,132，集合{}R x x ax x B ∈≤-=,022，()Φ=B C A U ，则实数a 的范围是 .15.如果复数θθsin cos i z +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为nz ，通过验证Λ,4,3,2===n n n ，的结果n z ，推测=n z .（结果用i n ,,θ表示）16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 ．17.已知,,R a x ∈1>a ，直线x y =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点， 则=a ；公共点坐标是 . 标是()e e ,，所以两空分别填ee a 1=，()e e ,.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）. （Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈t ，单位小时） 温度的变化在[]25,20时的时间.h19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. （Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值； （Ⅱ）设“从数学教研组任选两名 教师，本科一名，研究生一名，50 岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P .20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小.21. （本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．ABCDP21.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，点(2,3)M ，(2,3)N -为C 上两点，斜率为12的直线与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线MN 两侧）．（I ）求四边形MANB 面积的最大值；（II ）设直线AM ，BM 的斜率为21,k k ，试判断21k k +是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．武昌区2020届高三5月调研考试文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知i 是虚数单位，复数ii i z -+++-=12221，则=z （ ） A.1 B. 2 C. 5 D. 22 【答案】C. 【解析】()()()22221122221ii ii i z -++--+-=()i i i 2121255+=++=，5=z故选C.【命题意图】考查复数的运算法则和模的定义及运算.2.已知,a b 为实数，“100=ab ”是“2lg lg =+b a ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】100=ab ，2lg lg =+b a 不一定成立，例如20,5-=-=b a ，有100=ab ， 但是2lg lg =+b a 不成立；反之，2lg lg =+b a ，则0,0>>b a ，根据对数的运算法则，1002lg =⇒=ab ab ，所以100=ab 一定成立，故选B.【命题意图】考查对数的运算法则，充要必要条件内容的考查3．已知程序框图如右，则输出的i 为A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C.【解析】由程序框图可得7,5,3=i 时，105,15,3=S ，故输出的i 为9，故选C.【命题意图】考查程序框图的基本内容，考查 简单的逻辑推理能力.4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）A.12B. 28C. 36D. 84【答案】B.【解析】由图可知，该几何体是上下底 面试正方形，高度是3的四棱台， 根据台体的体积公式()221131S S S S h V ++⨯=得：()28161644331=+⨯+⨯=V ，故选B.【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念，台体的体积计算公式和运算能力.5.已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()3,2，点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+≥+62623y x y x y x 所确定的区域内（包括边界）上运动，则⋅的范围是 （ ）A.[]10,4B. []9,6C. []10,6D. []10,9 【答案】C.【解析】先求出三条直线,3=+y x,62=+y x 62=+y x 的交点，交点分别是 ()0,3A 、()2,2B 、()3,0C ，可行域是如图所示的ABC ∆区域（包括边界），因为y x OP OA 32+=⋅，令y x z 32+=，如图平行移动直线y x z 32+=，当直线y x z 32+=过()0,3A 时，z 取得最小值6，当直线C （正视图侧视图俯视图y x z 32+=过()2,2B 时，z 取得最大值10，106≤⋅≤，故选C.【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，简单的线性规划问题和向量的数量积. 6.设函数()x x x f cos sin +=，函数()()()x fx f x h /=，下列说法正确的是 （ ）A.()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称B. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 C. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称D. ()x h y =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称【答案】D.【解析】解法一：()()()x x x x x x h 2cos sin cos sin cos =-+=.所以f(x) 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称，故选D.解法二：直接验证 由选项知⎪⎭⎫⎝⎛2,0π不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然4π=x 不会是对称轴故选D.【命题意图】本题考查三角函数图像和性质，属于中等题.7.已知E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD - 棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是（ ）A.62 B. 63 C. 31 D. 66 【答案】B.【解析】[方法一]设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，由于E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -棱BB 1、AD 的中点，连接BD ，AE ，过F 作BD 交BD 于H ，则FH ⊥11D BDB ，A 1B 1C 1D 1A B CDFE因为22=FH 5,1==AE AF ,6=EF ，直线EF 和平面11D BDB 所成的 角的正弦值是63，故选B. [方法二]建立空间直角坐标系，设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则 【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.8．如果方程122=+-q y p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ） A.1222=++q y p q x B. 1222-=++p y p q x C.1222=++q y q p x D. 1222-=++py q p x 【答案】D解析：由条件可知0<-pq ，则0>pq ，当0,0>>q p 时，方程122=+-q y p x 为122=-px q y ，表示焦点在y 轴的双曲线，半焦距为q p c +=，此时B 和D 选项不是椭圆，而A 和C 选项中均表示焦点在x 轴上得椭圆，矛盾；当0,0<<q p 时，方程122=+-q y p x 为122=---q y p x ，表示焦点在x 轴的双曲线，半焦距为q p c --=，此时A 和C 选项不是椭圆，B 选项1222-=++p y p q x 为1222=-+--p y p q x ，D 选项1222-=++p y q p x 为1222=-+--py q p x 均表示焦点在x 轴上得椭圆，只有D 选项的半焦距为q p c --=，因此选D ．【命题意图】考察圆锥曲线的基本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想. 9.如图，已知直角三角形ABC ∆的三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，点E 为直角边AB 的中点，点D 在斜边AC 上，且λ=，若BD CE ⊥，则=λA.177 B. 178 C. 179 D. 1710 【答案】B.【解析】三边AC BA CB ,,的长度成等差数列，设为d a a d a +-,,()0,0,0>->>d a d a ，则()()222d a a d a -+=+，则d a 4=，不妨令1=d因此三边长分别为5,4,3===AC BA CB ，-=21,λ+=+=()λλ+-=1. 由BD CE ⊥得：0=⋅，即()012122=--λλ，()0918=--λλ，所以178=λ，因此选B.【命题意图】考查向量的运算法则，数量积和解决问题的能力.10.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A →P →B 路径运动，设弧 的长度为x ，弓形面积为()x f （如图所示的阴影部分），则关于函数()x f y =的有如下结论： ①函数()x f y =的定义域和值域都是[]π,0；②如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是周期函数；③如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数； ④函数()x f y =在区间[]π,0上是单调递增函数.以上结论的正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B. 【解析】因为x x S 211121=⨯⨯⨯=扇形，x x S OAP sin 21sin 121=⨯⨯=∆，所以 ()x f y =OAP S S ∆-=扇形x x sin 2121-=，它的定义域是[]π,0，()0cos 2121/≥-=x x f ，()x f y =在区间[]π,0上是增函数，()20π≤≤x f ，显然该函数不是周期函数，如果函数()x f y =的定义域R ，则函数()x f y =是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选B.【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的基本性质.A⌒ AP CAB ED二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h ．【答案】4.6h.【解析】()4.65.64.063.05.775.51.0=⨯+⨯+++⨯=x . 【命题意图】考查直方图的基本概念，考查解决实际问题的能力.12.等比数列{}n a 中，142,16a a ==.若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，则数列{}n b 的前n 项和n S = . 【答案】n n +2.【解析】设{}n a 的公比为q , 由已知得3162q =，解得2q =. 又12a =，所以111222n n n n a a q --==⨯=. 则28a =，532a =，则48b =，1632b =.设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得12,2.b d =⎧⎨=⎩则数列{}n b 的前n 项和1(1)2n n n S nb d -=+2(1)22.2n n n n n -=+⨯=+ 【命题意图】考查等数列和等比数列的基本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考查学生的计算能力.13.（在圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是 . 【答案】52. 【解析】圆的半径是2，圆心()0,0O 到01234:=-+y x l 的距离是512341222=+=d ，所以圆422=+y x 上，与直线01234:=-+y x l 的距离最小值是522512=-=d ，所以h应该填52. 【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.14.已知集合{}R x x x A ∈≤-=,132，集合{}R x x ax x B ∈≤-=,022，()Φ=B C A U ，则实数a 的范围是 . 【答案】(]1,∞-【解析】[]2,1=A ，由于()Φ=B C A U ，则B A ⊆， 当0=a 时，{}[)+∞=∈≥=,0,0R x x x B ，满足B A ⊆； 当0<a 时，[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛∞-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,02,,02Y a R x a x x x B ，满足B A ⊆； 当0>a 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R x a x x x B 2,0,02，若B A ⊆，则22≥a ，即10≤<a ；综合以上讨论，实数a 的范围是(]1,∞-.【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.15.如果复数θθsin cos i z +=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，记()*∈N n n 个z 的积为nz ，通过验证Λ,4,3,2===n n n ，的结果n z ，推测=n z .（结果用i n ,,θ表示）【答案】θθn i n z nsin cos +=. 【解析】由条件θθsin cos 1i z +=，()θθθθθθcos sin 2sin cos sin cos 2222i i z +-=+=θθ2sin 2cos i +=；()()()θθθθθθsin cos 2sin 2cos sin cos 33i i i z ++=+=()()θθθθθθθθsin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos ++-=iθθ3sin 3cos i +=；推测θθn i n z nsin cos +=【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知识解决问题的能力.16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是 ． 【答案】15.【解析】设三角形的三边长分别是1,,1+-n n n ()N n n ∈≥,2，三个角分别是ααπα2,3,-．由正弦定理得，αα2sin 1sin 1+=-n n ，所以()121cos -+=n n α，由余弦定理得， ()()()()1211211222-+⨯⨯+⨯-++=-n n n n n n n ，即052=-n n ，5=n ，0=n （舍去），所以三边分别是6,5,4，周长为15，答案填15.【命题意图】考查利用基本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧. 17.已知,,R a x ∈1>a ，直线x y =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点， 则=a ；公共点坐标是 . 【答案】ee a 1=，()e e ,.【解析】构造新函数()x x x g a -=log ，()1ln 1/-=a x x g ，令01ln 1=-ax 有a x ln 1=，因为1>a ，当a x ln 10<<时，()0/>x g ；当ax ln 1>时，()0/<x g所以，()x x x g a -=log 在a x ln 1=处有最大值⎪⎭⎫ ⎝⎛a g ln 1，当0ln 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛a g 时，直线xy =与函数()x x f a log =有且仅有一个公共点，即aa a ln 1ln 1log =⎪⎭⎫⎝⎛，()a a a ln 1ln log =- ()⇒=-aa a ln 1ln ln ln ()1ln ln -=a ，e e a e a 11ln =⇒=，则e ex y e===1ln 1,即公共点坐标是()e e ,，所以两空分别填ee a 1=，()e e ,.【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数()b x A y ++=ϕωsin （如图所示，单位:摄氏温度,πϕω<<>>0,0,0A ）. （Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；（Ⅱ）求出一天（[]24,0∈t ，单位小时）T/温度的变化在[]25,20时的时间. 解：（Ⅰ）由条件可知⎩⎨⎧=-=+.10,30b A b A 解得⎩⎨⎧==.20,10b A 因为614221-=⨯ωπ，所以8πω=. 所以208sin 10+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx y .将点()10,6代入上式，得43πϕ=.从而解析式是20438sin 10+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππx y .………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），令2520438sin 1020≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ππx ，得21438sin 0≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤ππx . 所以624382πππππ+≤+≤k x k ，………………………………①或ππππππ+≤+≤+k x k 2438652………………………………②由①，得34616616+-≤≤-k x k .取1=k ，得311110+≤≤x .由②，得2163216+≤≤+k x k .取0=k ，得232≤≤x ；取1=k ，得183216≤≤+x .即一天温度的变化在[]25,20时的时间是00:2~40:0，20:11~00:10，00:18~40:16三个时间段，共4小时………………………………………………（12分） 19.（本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. （Ⅰ）求出表格中的x 和y 的值；（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名 教师，本科一名，研究生一名，50 岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中” 的事件为A ，求事件A 概率()A P .【解析】（Ⅰ）从科研所任选一名研究人员，是本科生概率是32，是35岁以下的研究生概率是61. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++++61832833y x y y x x ，解得2,2==y x因此该科研所的研究人员共有12名，其中50岁以上的具有本科学历的2名，35岁以下具有研究生学历的2名；（Ⅱ）设具有本科学历的研究人员分别标记为87654321,,,,,,,B B B B B B B B ，其中87,B B 是50岁以上本科生，研究生分别标记为4321,,,Y Y Y Y ,35岁以下的研究生分别标记为21,Y Y ，事件A 的基本事件是共有32种：()11,Y B ，()12,Y B ，()13,Y B ，()14,Y B ，()15,Y B ，()16,Y B ，()17,Y B ，()18,Y B ， ()21,Y B ，()22,Y B ，()23,Y B ，()24,Y B ，()25,Y B ，()26,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B ， ()31,Y B ，()32,Y B ，()33,Y B ，()34,Y B ，()35,Y B ，()36,Y B ，()37,Y B ，()38,Y B ，()41,Y B ，()42,Y B ，()43,Y B ，()44,Y B ，()45,Y B ，()46,Y B ，()47,Y B ，()48,Y B ，50岁以上的具有本科学历和35岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有()17,Y B ，()18,Y B ，()27,Y B ，()28,Y B 有4种，所以()873241=-=A P 【命题意图】考查古典概型基本知识和解决概率问题基本方法，考查学生应用数学知识解决问题的能力、逻辑推理能力和计算能力.20. （本小题满分13分）已知平面⊥PAD 平面ABCD ,,2==PD PA 矩形ABCD 的边长2==DC AB ，22==BC AD . （Ⅰ）证明：直线//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小. 【解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是矩形 BC AD //，…………………2分又⊂BC 平面PBC …………………4分 ⊄AD 平面PBC …………………5分ABCDP所以直线//AD 平面PBC ……………6分 （Ⅱ）由条件平面⊥PAD 平面ABCD 平面I PAD 平面AD ABCD =过点P 作AD PE ⊥，……………7分 又因为AD CD ⊥根据平面和平面垂直的性质定理得⊥PE 平面ABCD ,⊥CD 平面PAD ……………9分 所以，直线EC 是直线PC 在平面ABCD 内的射影 PCE ∠直线PC 和底面ABCD 所成角， 且⊥CD PD ……………10分 在PCD Rt ∆中，2222=+=CD PD PC因为,2==PD PA 所以222=-=ED PD PE在PCE Rt ∆中，21222sin ===∠PC PE PCE ， 030=∠PCE …………11分直线PC 和底面ABCD 所成角的大小为030.…………12分21. （本题满分14分）已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=，在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实数c 的最小值；（3）若过点)2)(,2(≠m m M ，可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围．【解析】（1）323)(2-+='bx ax x f Θ …………1分根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a解得⎩⎨⎧==.0,1b a .3)(3x x x f -=∴ …………3分（2）令33)(2-='x x f 0=，解得1±=x(1)2,(1)2f f -==-Q ，2)2(,2)2(=-=-f f[2,2]x ∴∈-当时，max min ()2,() 2.f x f x ==-…………5分则对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值12,x x ，都有12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=所以 4.c ≥所以c 的最小值为4。

高考数学《平面解析几何》练习题及答案

高考数学《平面解析几何》练习题及答案

平面解析几何1．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而可以求出焦距. 【详解】由已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选D.【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题.2．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若椭圆2221x y a +=经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A ．2 B 1C D [来 【答案】D3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C4．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A BC D 【答案】B5．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A 1B ．12C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-，利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程，得到关于e 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：12PF PF ⊥，且2PF c =， 又122PF PF a +=，12PF a c ∴=-，由勾股定理得()222224220a c c c e e -+=⇒+-=，解得1e =. 故选A.6．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =D ．2y x =【答案】A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒= 因为2521a x a =-=⇒=，所以3b =所以双曲线的渐近线方程为23by x x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.7．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]P 为椭圆19110022=+y x 上的一个动点，N M ,分别为圆1)3(:22=+-y x C 与圆)50()3(:222<<=++r r y x D 上的动点，若||||PN PM +的最小值为17，则=r A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】8．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则12||||PF P F + 2018||P F ++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．4056【答案】B9．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】C 【解析】10．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题]已知P 是椭圆22:14x y E m+=上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，()2120k k k ≠，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为 A ．1 B ．2 C ．1或16D ．2或8【答案】A 【解析】 【分析】先假设出点M ，N ，P 的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由12k k +最小值为1运用基本不等式的知识求最小值，进而可以求出m . 【详解】设''0000(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，''00'0012',y y y k x x x k y x -+==-+''''0000''''0020102y y y y y y y y x x x x x x k x x k +=+-++-⨯-+-+≥ '220'220y y x x -=-2'20'220(1)(1)442x x x m x m --=-- 4m=，1m ∴=. 故选A. 【点睛】本题大胆设点，表示出斜率，运用基本不等式求参数的值，是一道中等难度的题目.11．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知双曲线22221(0,x y a a b-=>0)b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠45=︒，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 C ．2D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，得到12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，得到122MF b a =+，再由双曲线的定义，解得2b a =，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F N MN ⊥，垂足为A ，由ON a =，且ON 为12F F A △的中位线，可得22212,F A a F N c a b ==-=， 即有12F A b =，在2Rt MF A △中，可得222MF a =，即有122MF b a =+，由双曲线的定义可得1222222MF MF b a a a -=+-=，可得2b a =， 所以223c a b a =+=，所以3==ce a. 故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．[安徽省2020届高三期末预热联考理科数学]【答案】C13．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________.【答案】54y x =±14．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 . 515．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 已知圆02222=--+by ax y x )0,0(>>b a 关于直线022=-+y x 对称，则ba 21+的最小值为________．【答案】2916．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr ⋅的值为 ▲ .【答案】1【解析】设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,如图，()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1. 17．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F △的周长为6，若12PF F △面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.【解析】（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222y y x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-， ()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知B 是抛物线2118y x =+上任意一点，()0,1A -，且点P 为线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若F 为点A 关于原点O 的对称点，过F 的直线交曲线C 于M 、N 两点，直线OM 交直线1y =-于点H ，求证：NF NH =． 【解析】 【分析】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，根据中点坐标公式可得00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线方程即可整理得到所求的轨迹方程；（2）设:1MN y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将直线MN 与曲线C 联立，可得124x x =-；由抛物线定义可知，若要证得NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即HN y ∥轴；由直线OM 的方程可求得11,1x H y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可将H 点横坐标化简为121x x y -=，从而证得HN y ∥轴，则可得结论.【详解】（1）设(),P x y ，()00,B x y ，P 为AB 中点，00221x xy y =⎧∴⎨=+⎩， B 为曲线2118y x =+上任意一点，200118y x ∴=+，代入得24x y =，∴点P 的轨迹C 的方程为24x y =.（2）依题意得()0,1F ，直线MN 的斜率存在，其方程可设为：1y kx =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立214y kx x x=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，则216160k ∆=+>，124x x ∴=-，直线OM 的方程为11y y x x =，H 是直线与直线1y =-的交点， 11,1x H y ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义NF 等于点N 到准线1y =-的距离，H 在准线1y =-上，∴要证明NF NH =，只需证明HN 垂直准线1y =-， 即证HN y ∥轴，H 的横坐标：111222111144x x x x x x y x x --=-===， ∴HN y ∥轴成立，NF NH ∴=成立. 【点睛】本题考查圆锥曲线中轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线综合应用中的等量关系的证明问题；证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN y ∥轴，通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式，利用韦达定理的结论证得HN y ∥轴.19．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]在直角坐标系xOy 中，点)0,2(-M ，N 是曲线2412+=y x 上的任意一点，动点C 满足MC NC +=0. （1）求点C 的轨迹方程；（2）经过点)0,1(P 的动直线l 与点C 的轨迹方程交于B A ,两点，在x 轴上是否存在定点D （异于点P ），使得BDP ADP ∠=∠？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知椭圆22212x y C a ：+=过点P （2，1）． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A 'P 与C 交于另一点B ．设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由． 【解析】 【分析】（1）将点P 代入椭圆方程，求出a ，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A 的坐标为()11x y ，，()22B x y ，，分别求出12x x -，12y y -，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆22212x y C a +=： 过点P （2，1），可得28a =．所以222826c a =-=-=，所以椭圆C 的方程为28x +22y =1，则离心率e 622=3（2）直线AB 与直线OP 平行．证明如下： 设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得()()22241812161640k x k k x k k ++-+--=， ∴21216164241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，所以1221641kx x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2121y kx k =-++， 有()121228441ky y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上， ∴121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =， 所以直线AB 与直线OP 平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．21．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]双曲线2215x y -=焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （1）求椭圆C 的方程；（2）设动点N M ,在椭圆C上，且3MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=，得()()2221612610k x kmx m +++-=.因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN == 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=.等号成立的条件是53t =， 此时223k =，253m =，满足2216m k <+，符合题意.故m. 22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] ）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．【解析】（1）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-，()0m m MB x y =-，()0,0m m MO x y =--， 所以()3,3m m MA MB MC x y ++=--=0． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 得()2232630k x kx ++-=， ()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以122632kx x k -+=+，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--， 所以()121203,03m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=0． 所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+，消去k ，得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=. 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称.。

湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学(理)

湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学(理)
所有可能的取值为______.
15．过动点 M 作圆 C ： (x 2)2 ( y 2)2 1 的切线， N 为切点.若 | MN || MO | ( O 为坐标原点)，则
| MN | 的最小值为______.
16．用 M I 表示函数 y sin x 在闭区间 I 上的最大值，若正数 a 满足 M[0,a] 2M[a,2a] ，则 a 的值
D． 8 27
7．已知数列 {an} 的前 n 项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列 {bn} 的前 n 项和.若对任意的
n N ，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数 的取值范围为
A． (,48)
B. (,36)
C． (,16)
D． (16,)
8．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ， | AF | 2 | FB | ，抛物线的准线 l 与 x
三、解答题：
17．（本题 12 分）
在 ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， DC 3 . 2
（1）求 B ； （2）求 ABC 的面积.
解：（1）在 ADC 中，由余弦定理，得 cos ADC 1 ， 2
所以 ADC 120 ，从而 ADB 60 .
n(ad bc)2
.
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分） 已知函数 f (x) ex x e 1 . （1）若 f (x) ax e 对 x R 恒成立，求实数 a 的值； （2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2 ) 0 ，证明： x1 x2 2 .

湖北省武昌区2022届高三元月调考数学(理)试题Word版含答案

湖北省武昌区2022届高三元月调考数学(理)试题Word版含答案

湖北省武昌区2022届高三元月调考数学（理）试题Word版含答案温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

武昌区2022-2022学年高三年级元月调研考试金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。

临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”!理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设A,B是两个非空集合，定义集合AB某|某A且某B．若A某N|0某5,B某|某27某100,则（）A．{0,1}B．{1,2}C．{0,1,2}D．{0,1,2,5}2．已知复数z（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实2i数a的取值范围是()A.2,B.ai3．执行如图所示的程序框图，若输入的某=2022，则输出的i()A．2B．3C．4D．54．已知函数f(某)=2a某–a+3，若某01,1，f(某0)=0，则实数a的取值范围是()A.,31211,2C.,2D.,221,B.,3C.3,1D.1,5．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=()2145B.C.D.93996．中国古代数学名著《九章算术》中记载A.了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的某（）A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4337.若某某的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是n（）A.-270B.270C.-90D.908．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁9．已知函数f(某)的部分图象如图所示，则f(某)的解析式可以是（）2某2co某A.f某B.f某2某某2co2某co某C.f某D.f某某某10.设某，y满足约束条件某ya且z某ay的最小值为7，则a()某y1A.-5B.3C.-5或3D.5或-3某2y211.已知双曲线221a0,b0的两条渐近线分别为l1,l2，经过右焦点F垂直ab于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF与FB反向，则该双曲线的离心率为()A.55B.3C.5D.2212.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2binC，则tanA+tanB+tanC的最小值是()A.4B.33C.8D.63第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.13．已知抛物线Γ：y28某的焦点为F，准线与某轴的交点为K，点P在Γ上且PK2PF,则PKF的面积为.14.函数f某in2某5in某的最大值为.215.已知平面向量a,b的夹角为120°，且a1,b2．若平面向量m满足mamb1，则m.给出下列结论：16.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=9，a2为整数，且SnS5.（1）求{an}的通项公式；14（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn.9anan118.（本题满分12分）如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的正弦值．18.（本题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准某（吨），用水量不超过某的部分按平价收费，超出某的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）若该市政府希望使85﹪的居民每月的用水量不超过标准某（吨），估计某的值，并说明理由；（Ⅲ）已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当某=3时，估计该市居民的月平均水费．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）20.（本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，A2,0,B0,1是它的两个顶点，直线yk 某k0与AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点.（1）若ED6DF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数f某12某1a某aln某.2（1）讨论f某的单调性；（2）设a0，证明：当0某a时，f某afa某；（3）设某1,某2是f 某的两个零点，证明：f某1某20.2请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

湖北省武汉市第六中学2020届高三数学(理)在线检测试题(4.25)

湖北省武汉市第六中学2020届高三数学(理)在线检测试题(4.25)
x
A. A B = (-¥,1) B. A B = (0,3) C. A (CR B) = f D.(CR A) B = [1,+¥)
3.
已知等差数列 {an }，其前 n 项和为 Sn ，且 a1 +3a5 +a9 =m ，则
2a6 - a7 S9
=
m
A.
5
m
B.
9
1
1
C.
D.
5
9
4. 已知 a,b Î R+ ，则“ ab >1”是“ a + b > 2 ”的
(1) 解不等式 f (x) £ 5 ；
(2) 若 a + 2b + 3c = m ，求 a2 + b2 + c2 的最小值.
（2）已知 A¢ B¢ 是抛物线 x2 = 2 py ( p > 0) 的弦，所在直线过该抛物线的准线与 y 轴的
交点，P¢ 是弦 A¢ B¢ 在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：P¢ 在定直线上.你认为小明 猜想合理吗？若合理，请写出 P¢ 所在直线方程；若不合理，请说明理由.
21. （本题 12 分）
- y2 b2
= 1(a > 0, b > 0)的右焦点为 F
，直线 4x -3y = 0 与双曲线的右
支交于点 M ，若 | OM |=| OF | ,则该双曲线的离心率为
A. 3
B. 2
C. 5
D. 6
12.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1, P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是
|
的
| PA |
最小值为_________.
16.

2020届湖湘名校(A佳教育)高三下学期3月线上自主联合检测数学(理)试题(解析版)

2020届湖湘名校(A佳教育)高三下学期3月线上自主联合检测数学(理)试题(解析版)

2020届湖湘名校（A 佳教育）高三下学期3月线上自主联合检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =I 的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥【答案】B【解析】由A B A =I 推出A B ⊆,再依次判断选项即可. 【详解】若A B A =I ,则A B ⊆, 又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤ 故选:B. 【点睛】本题考查集合关系,属于基础题.2．若(4)()0mi m i -+≥，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为（ ） A ．－2 B ．－4C ．4D ．2【答案】D【解析】先利用复数运算化简,再由实部大于0且虚部等于0列式求解. 【详解】2(4)()5(4)0mi m i m m i -+=+-Q …,∴240m m >⎧⎨-=⎩,即2m =, 故选:D. 【点睛】本题考查复数运算,考查复数的基本概念,属于基础题.3．已知向量(2,2)AB =u u u r ，(1,)=u u u r AC a ，若||1BC =u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由||1BC =u u u r ,可得2a =,再利用坐标运算求出AB AC ⋅uu u r uuu r.【详解】(1,2)BC AC AB a =-=--u u u r u u u r u u u r,由||1BC =u u u r,可得22(1)(2)1a -+-=,解得2a =,则21226AB AC ⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r,故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.4．已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．4 D ．12【答案】B【解析】由题意可知1()f x 是函数的最小值,2()f x 是函数的最大值,则12||x x -的最小值就是函数的半周期. 【详解】对任意的x ∈R ,()()12()f x f x f x ≤≤成立, 所以()1min ()2f x f x ==-,()2max ()2f x f x ==, 所以12min2T x x -=, 又()2sin(1)f x x π=+的周期22T ππ==,所以12min1x x -=,故选:B . 【点睛】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大5．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B【解析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=, 其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =, 最短的弦是与ME 垂直的弦,又415ME =+=,所以2219522BD r ME =-=-=,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=,故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大. 6．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”.三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（ ）A ．30B ．40C ．50D ．60【答案】C【解析】设大正方形的边长为1,区域2直角三角形的直角边分别为a ,b (a b <),分别求出大正方形和小正方形的面积,再利用几何概型概率公式求解即可. 【详解】设大正方形的边长为1,区域2直角三角形的直角边分别为a ,b (a b <), 则1sin12a π=⨯,1cos12b π=⨯,小正方形的面积为221()cos sin 1sin 121262S b a πππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭,所以飞镖落在区域1的概率为12P =, 则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是1100502N =⨯=, 故选:C. 【点睛】本题考查几何概型概率的求法,解题关键是求出两正方形的面积比,难度不大.7．已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线2222x ya b-＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( ) A ．B ．2 CD ．5【答案】A【解析】抛物线x 2＝－4y 的准线为l ：y ＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e.8．已知二进制数(2)1010化为十进制数为n ，若()n x a +的展开式中，7x 的系数为15，则实数a 的值为（ ） A ．12B ．15C ．1D ．2【答案】A【解析】先利用进制转化求出n 的值,再利用二项展开式的通项公式,结合题意列式求得a 的值.【详解】根据进制转换法可得:31(2)1010121210=⨯+⨯=, 所以10n =,设10()x a +展开式的通项为10110C kkk k T x a -+=,令107k -=,∴3k =,∴7x 的系数为3310C 15a =,∴318a =,∴12a =,故选:A. 【点睛】本题考查二项式,考查进制转换,需要学生对基础知识牢固掌握且灵活运用. 9．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足2131n n A n B n -=+，则371159a a ab b +++的值为（ ）A ．3944B ．58C ．1516D ．1322【答案】C【解析】利用等差中项的性质将371159a a ab b +++化简为7732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10．已知倾斜角为α的直线l 过定点(0,2)-，且与圆22(1)1y x +-=相切，则1cos 2cos 2απα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A．3-BC ．23-D或3-【答案】A【解析】根据直线和圆相切,利用点到直线的距离公式列式求出2tan 8α=,再利用三角函数公式化简求值即可. 【详解】由题意知0180α︒<︒…且90α≠︒,则直线斜率tan k α=, 直线l 方程为2y kx +=,即20kx y --=, 圆心坐标(0,1),则圆心到直线l的距离1d ==,即291k =+,解得28k =,即2tan 8α=, 由sin 0α>,可得22sin 3α=, 所以()2112sin 1cos 2422sin sin 3cos 2αααπαα---==-=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A . 【点睛】本题考查三角函数的化简和求值,结合了直线与圆的相关知识,属于中档题.11．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于223+，则球O 的体积等于（ ） A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π【答案】A【解析】当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,根据该四棱锥的表面积等于223+,确定该四棱锥的底面边长和高,进而可求球的半径,从而求出球的体积.【详解】根据题意可知,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥, 如下图所示,设球O 的半径为R ,则2AC R =,SO R =,则该四棱锥的底面边长为2AB R =,Q 该四棱锥的表面积等于223+,则有22212(2)42()22322R R R R +⨯+=+1R ∴=,所以球O 的体积是344133ππ⨯=, 故选:A. 【点睛】本题主要考查球内接多面体问题,考查学生的空间思维与分析能力,解题关键是确定球的半径,属于中档题.12．已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈L ，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -…,即可求得n 的最大值. 【详解】11()ax f x a x x'-=-=, ①当0a ≤或10a e <≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意;③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增, 所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =.所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组10,240,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2log (1)z x y =++的最大值为________. 【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域,令1t x y =++可得1y x t =-+-,结合图象即可求出t 的最大值,从而求出答案. 【详解】作出满足不等式组102400x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…的可行域如图所示,令1t x y =++可得1y x t =-+-,结合图象可知当直线过点C 时,截距最大,此时1t x y =++取得最大值, 由10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)C ,故1t x y =++的最大值为:4,2log (1)z x y ∴=++的最大值为:2log 42=,故答案为:2. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合思想答题是解决本题的关键.14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 5sin a C A =，22()16a c b +=+则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为________. 【答案】2【解析】利用正弦定理推出5ac =,从而求出222a c b +-,最后利用面积公式计算即可. 【详解】2sin 5sin a C A =Q , 25a c a ∴=,即5ac =,因为22()16a c b +=+,所以2221626a c b ac +-=-=,从而ABC ∆的面积为22165242S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 故答案为:2. 【点睛】本题考查正弦定理,考查学生的推理与计算能力,难度不大.15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y +的最大值为________.【答案】16【解析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值. 【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y =--,整理得22128x y +=,故22222()2()2562x x y x y x y y =++=++≤, 解得16x y +…,当且仅当8x y ==时等号成立, 故答案为:16 【点睛】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大.16．已知曲线1C ：()2x f x e x =--，曲线2C ：()cos g x ax x =+， （1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________. 【答案】－2 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】(1)由已知分别求出曲线1C 在0x =处的切线的斜率及曲线2C 在2x π=处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得a 的值;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2x k f x e ='=--,则与1l 垂直的直线斜率为11(0,)22x e ∈+,再求出过曲线2C 上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案. 【详解】(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==-⎪⎝⎭, 依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--, 则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭, 而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤,故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.三、解答题17．设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式：（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）113(21)(23)n n n +-++ 【解析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列{}n a 是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差d ,即可得到数列{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出数列21{}n n a a +的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n 项和n S . 【详解】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d , 因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =, 所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈); (2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和:1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 113(21)(23)n n n +=-++. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前n 项和,难度不大. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ； （2）若PE EC λ=，F 是PB 的中点，3AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --10λ的值. 【答案】（1）证明见解析（2）1λ=或4【解析】(1)先证明PA AD ⊥,结合AB AD ⊥,推出AD ⊥平面PAB ,再根据面面垂直的判定定理证明出结论;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法结合夹角公式建立λ的关系式,求解即可. 【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥, 又AB AD ⊥,PA AB A =I , 所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P ,(3,1,0)C ,(3,0,0)D ,(0,1,1)F , 由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥, 又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AF A AD =I ,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-u u u r, ∵PE EC λ=,∴32,111PE PC λλλλλλλ⎫-==⎪⎪+++⎝⎭u u u r u u ur , ∴32,,111AE AP PE λλλλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =r,则0n AD ⋅=r u u u r且0n AE ⋅=r uu u r ,30x =32011x y zλλλλ++=++, ∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ,∵二面角F AD E --10∴()310cos ,10PB n =u u u r r, 2310102214λ=⋅+,∴1λ=或4. 【点睛】考查空间中的垂直,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>20l x y -+=:与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点()0,M m ，使22OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 22182x y +=(2) m >或m < 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到abc 的值，从而得到椭圆方程；（2）将向量模长的方程两边平方得到OA OB ⊥u u u v u u u v ，即·0OAOB =u u u v u u u v，即12120x x y y +=，联立直线和椭圆得到二次方程，带入韦达定理得到参数范围． 解析：（1）由已知得2222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解方程组得a b c ===∴椭圆1C 的方程为22182x y +=，（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y kx m =+，由22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()()22222418480,16820*k x kmx m k m +++-=∆=-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222848,4141km m x x x x k k -+=-=++，()()()2222121212122841m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+， 由22OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v 得OA OB ⊥u u u v u u u v ，即·0OAOB =u u u v u u u v ，即12120x x y y +=，故228580k m =-≥，代入（）式解得m >或m <． 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由 （2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）①213P =，359P =②证明见解析；1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（120n ≤≤）【解析】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则2~(3,)3B ξ,设甲第一轮答题的总得分为x ,则1515x ξ=-,1515Ex E ξ=-,设乙第一轮得分为y ,求出y 的分布列,得到Ey ,比较两者大小即可得出结论; (2)①依题意得11P =,213P =,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出3P ;②1111212(1)(2)3333n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=-+…,从而1111()232n n P P --=--,2n …,由此能证明1{}2n P -是等比数列,并求出(120)n P n 剟的表达式. 【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-, 所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=; (或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2231212(15)3327P x C ⎛⎫===⎪⎝⎭, 213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 30311(15)327P x C ⎛⎫=-==⎪⎝⎭, 故得分为x 的分布列为:812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;) 设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===, 故y 的分布列为:故163015121010Ey =⨯+⨯=, ∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲. (2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=, ②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥), ∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥), 又11122P -=, 所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列, ∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).【点睛】本题考查概率､离散型随机变量的分布列､数学期望的求法及应用,考查等比数列,需要学生具备一定的运算求解以及分析理解能力,属于中档题.21．已知对数函数()f x过定点12P ⎫⎪⎭（其中 2.71828e ≈L ），函数()()()g x n mf x f x '=--（其中()f x '为()f x 的导函数，n ，m 为常数）（1）讨论()g x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞有()g x n m ≤-恒成立，且()()2h x g x x n =+-在12,x x x =（12x x ≠）处的导数相等，求证：()()1272ln 2h x h x +>-.【答案】（1）当0m ≤时，()g x 在(0,)+∞单调递减；当0m >时()g x 在(0,)m 单调递增，在(,)m +∞单调递减（2）证明见解析【解析】(1)求出()f x 的解析式,得到()g x ,利用分类讨论法研究()g x 的单调性;(2)根据(1)可知1m =,得到()g x 和()h x 的解析式,利用12()()h x h x '='求得12111x x +=,结合基本不等式得到124x x >,令124t x x =>,则()()12h x h x +121221ln x x x x =--可换元为()21ln t t t ϕ=--,最后利用导数求出()t ϕ的最小值即可得证. 【详解】(1)令()log a f x x =(0a >且1a ≠),将定点12P ⎫⎪⎭代入解得a e =, 所以()ln f x x =,1()f x x'=, 所以()ln m g x n x x =--,221()m m xg x x x x-'=-=(0x >), 当0m ≤时,()0g x '<在0x >时恒成立,即()g x 在(0,)+∞单调递减; 当0m >时()00g x x m '>⇒<<,()0g x x m '<⇒>, 即()g x 在(0,)m 单调递增,在(,)m +∞单调递减; 综上所述:当0m ≤时,()g x 在(0,)+∞单调递减; 当0m >时()g x 在(0,)m 单调递增,在(,)m +∞单调递减.(2)因为(1)g n m =-,而(0,)x ∀∈+∞有()(1)g x n m g ≤-=恒成立, 所以max ()g x =(1)g ,由(1)知必有1m =, ∴1()ln g x n x x =--,1()()22ln h x g x x n x x x =+-=--, 211()2h x x x'∴=+-, 设()()12h x h x k ''==,即21122211201120k x x k x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩,∴12111x x +=, 1212124x x x x x x ∴+=≥>,∴()()()()12121212112ln ln h x h x x x x x x x ⎛⎫+=+-+-+⎪⎝⎭121221ln x x x x =--, 令124t x x =>,()21ln t t t ϕ=--, ∴1()20t tϕ'=->(4t >), ∴()t ϕ在(4,)+∞上单调递增,∴()(4)72ln 2t ϕϕ>=-,即()()1272ln 2h x h x +>-. 【点睛】本题考查导数研究函数单调性与最值,考查分类讨论思想,需要学生具备一定的计算分析能力,属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点(2,0)P -，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=，l 的直角坐标方程20x y -+=（2）【解析】(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换;(2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解. 【详解】 (1)已知曲线C :12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩(α为参数),则曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=, 直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则l 的直角坐标方程20x y -+=;(2)直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)代入曲线C :22(1)4x y ++=,化简得230t -=, 设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,则12t t +=123t t =-,所以12121212121111|||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==3==.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.23．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数a ，b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 【答案】（1）{}|05x x ≤≤（2）证明见解析【解析】(1)先将()f x 化为分段函数形式,然后根据()5f x …,分别解不等式即可; (2)由(1)可得min ()3f x M ==,从而得到223a b +=,再利用基本不等式求出第 21 页 共 21 页 221121a b +++的最小值. 【详解】(1)()|4||1|f x x x =-+-25,43,1425,1x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪-+<⎩剟.()5f x Q „,∴2554x x -⎧⎨>⎩„或14x 剟或2551x x -+⎧⎨<⎩„, 45x ∴<„或14x 剟或01x <„,05x ∴剟,∴不等式的解集为{|05}x x 剟; (2)因为()|4||1||(4)(1)|3f x x x x x =-+-≥-+-=(当且仅当14x ≤≤等号成立), 所以()f x 的最小值3M =,即223a b +=, 所以()()222222111112121216a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++⨯ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭1(26≥+⨯ 23=(当且仅当21a =,22b =等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.。

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武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}2|{a x a x B <<-=，若}01|{<<-=x x B A I ，则=B A Y A ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(- 2．已知复数z 满足i i=-z z，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，11=a ，3223+=a a ，则=n a A ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n 4．已知2.0log 1.0=a ，2.0log 1.1=b ，2.01.1=c ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 5．等腰直角三角形ABC 中，2π=∠ACB ，2==BC AC ，点P 是斜边AB 上一点，且PA BP 2=，那么=⋅+⋅CB CP CA CPA ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是 A ．643 B. 323 C ．274 D ．278A BE CDMA 17．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 21232-=，设11+=n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ，不等式39+<n T n λ恒成立，则实数λ的取值范围为A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，||2||FB AF =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AM ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为 A ．425 B. 225 C ．25 D ．210 9．如图，已知平行四边形ABCD 中，ο60=∠BAD ，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE翻折成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻折过程中，给出以下命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使C A DE 1⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面DE A 1. 其中，正确的命题是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2π0<<ϕ）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π； ②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得 到x y 2sin 2=的图象. 其中正确说法的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1，F 2分别为双曲线14922=-y x 的左、右焦点，过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，记21F AF ∆的内切圆半径为r 1，21F BF ∆的内切圆半径为r 2，则21r r的值等于A 1AB 1C 1A ．3B ．2C ．3D ．212．已知函数2ln e )(---=x x x x f x ，x x xx g x -+=-ln e)(2的最小值分别为a ，b ，则A ．b a =B ．b a <C ．b a >D ．a ，b 的大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6)12(xx +的展开式中，3x 项的系数是______.14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为______.15．过动点M 作圆C ：1)2()2(22=-+-y x 的切线，N 为切点.若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值为______.16．用I M 表示函数x y sin =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足]2,[],0[2a a a M M =，则a 的值为 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本题12分）在ABC ∆中，已知265=AB ，7=AC ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，3=DC . （1）求B ；（2）求ABC ∆的面积.18．（本题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC ⊥，21===AC AB A A ，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，B B 1的中点.0.000500.00075 0.00100 0.00125 1200 1000 800 600 400 200 0 元）频率组距（1）证明：平面⊥F C A 11平面DE B 1； （2）求二面角D E B B --1的正弦值.19．（本题12分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）若不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值.20．（本题12分）某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0，200)，[200，400)，[400，600)，…，[1000，1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人 非健身达人总计 男 10 女30总计（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案． 方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案． 附：P （k K ≥2） 0.1500.100 0.050 0.010 0.005 k2.0722.7063.8416.6357.879))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.21．（本题12分）已知函数1e e )(--+=x x f x .（1）若e )(-≥ax x f 对R ∈x 恒成立，求实数a 的值；（2）若存在不相等的实数1x ，2x ，满足0)()(21=+x f x f ，证明：221<+x x .（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,22（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为θρ.22cos 239-=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MB MA ⋅的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）（1）已知||||)(x a x x f +-=，若存在实数x ，使2)(<x f 成立，求实数a 的取值范围；（2）若0>m ，0>n ，且3=+n m ，求证：341≥+nm ．A 1C BAB 1DC 1 EFGH AB CD 武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DABDDDACBCAA二、填空题：13. 240 14.11-，3，17 15.827 16.4π3或8π9三、解答题： 17．（本题12分）在ABC ∆中，已知265=AB ，7=AC ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，3=DC . （1）求B ；（2）求ABC ∆的面积.解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得21cos -=∠ADC ，所以ο120=∠ADC ，从而ο60=∠ADB .在ABD ∆中，由正弦定理，得22sin =B ，所以ο45=B . ……………（4分） （2）由（1）知ο75=∠BAD ，且46275sin +=ο.所以8)33(25sin 21+=∠⋅∆BAD AD AB S ABD ， 4315sin 21=∠⋅=∆ADC DC DA S ADC ， 所以875355+=+=∆∆∆ADC ABD ABC S S S . ……………（12分） 18．（本题12分）解：（1）因为AB AC ⊥，AC DE //，所以AB DE ⊥.因为⊥1AA 平面ABC ，⊂DE 平面ABC ，所以DE AA ⊥1. 因为A AA AB =1I ，所以⊥DE 平面B B AA 11. 因为⊂F A 1平面B B AA 11，所以F A DE 1⊥. 易证F A DB 11⊥，因为D E D DB =11I ， 所以⊥F A 1平面DE B 1. 因为⊂F A 1平面F C A 11，所以平面⊥F C A 11平面DE B 1. ……………（4分）（2）方法一：过B 作D B BH 1⊥，垂足为H ，过H 作E B HG 1⊥于G ，连结BG ， 则可证BGH ∠为二面角D E B B --1的平面角. 在BD B 1Rt ∆中，求得52=BH ；在BE B 1Rt ∆中，求得622=BG .所以515sin ==∠BG BH BGH . ……………………………（12分） 方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.19．（本题12分）解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=-=,1,3c a c b及222c b a +=，得2=a ，3=b .所以，椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………………………（4分）（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为)0(≠+=m m kx y ，代入椭圆方程，整理，得01248)34(222=-+++m kmx x k . 由0>∆，得03422>+-m k .设),(11y x A ，),(22y x B ，则348221+-=+k kmx x ，341242221+-=⋅k m x x . 于是34341344)(1||2222212212++-⋅+⋅=-+⋅+=k m k k x x x x k AB . 又，坐标原点O 到直线l 的距离为21||km d +=.所以，OAB ∆的面积3434||32||21222++-⋅⋅=⋅⋅=k m k m d AB S .因为21342)34(34)34(3434||22222222222=++-+≤++-=++-⋅k m k m k m k m k m k m ， 所以，3||21≤⋅⋅=d AB S .当直线l 的斜率不存在时，设其方程为m x =，同理可求得3312||21||212≤-⋅=⋅⋅=m m d AB S .所以，OAB ∆面积的最大值为3. ……………………………（12分）20．（本题12分）解：（1）因为⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=90000125.070000100.050000075.030000050.0100(x 620200)00050.0110000100.0=⨯⨯+（元），所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分） （2）列联表如下：健身达人 非健身达人总计 男104050…因为841.3762.470305050)40203010(10022>=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分）（3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．81)21()700(333===C x P ，83)21()800(223===C x P ，83)21()900(313===C x P ，81)21()1000(303===C x P ，所以850811000839008380081700)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （元）因为900850<，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分） 21．（本题12分）解：（1）令1)1(e e)()()(--+=--=x a ax x f x g x ，则a x g x -+='1e )(.由题意，知0)(≥x g 对R ∈x 恒成立，等价0)(min ≥x g .当1≤a 时，由0)(≥'x g 知1)1(e )(--+=x a x g x 在R 上单调递增.因为01)1(1)1(<---=-a eg ，所以1≤a 不合题意；当1>a 时，若))1ln(,(--∞∈a x ，则0)(<'x g ，若)),1(ln(+∞-∈a x ，则0)(>'x g ， 所以，)(x g 在))1ln(,(--∞a 单调递减，在)),1(ln(+∞-a 上单调递增. 所以0)1ln()1(2))1(ln()(min ≥--+-=-=a a a a g x g .记)1( )1ln()1(2)(>--+-=a a a a a h ，则 )1ln()(--='a a h . 易知)(a h 在)2,1(单调递增，在),2(+∞单调递减， 所以0)2()(max ==h a h ，即0 )1ln()1(2≤--+-a a a . 而0)1ln()1(2)(min ≥--+-=a a a x g ，所以0)1ln()1(2=--+-a a a ，解得2=a . ……………………………（6分） （2）因为0)()(21=+x f x f ，所以)1e (2e e 2121+=+++x x x x . 因为22121e2e e x x x x +≥+，21x x ≠，所以22121e2e e x x x x +>+.令t x x =+21，则02e 2e 22<--+t t .记02e 2e 2)(2<--+=t t m t ，则01e )(2>+='t t m ，所以)(t m 在R 上单调递增. 又0)2(=m ，由02e 2e 22<--+t t ，得)2()(m t m <，所以2<t ，即221<+x x . ……………………………………（12分） 另证：不妨设21x x <，因为01e )(>+='x x f ，所以)(x f 为增函数. 要证221<+x x ，即要证122x x -<，即要证)2()(12x f x f -<.女 20 30 50 总计30 70 100因为0)()(21=+x f x f ，即要证0)2()(11>-+x f x f .记e 2e e )2()()(2-+=-+=-xxx f x f x h ，则xx x x h e )e e )(e e ()(+-='.所以0)1()(min ==h x h ，从而0)2()()(>-+=x f x f x h ，得证.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）解：（1）方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,22可化为02=-+y x . 方程θρ.22cos 239-=可化为13922=+y x . ……………………（5分） （2）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=ty t x 222,22代入13922=+y x ，得032622=++t t .设方程032622=++t t 的两根分别为1t ，2t ，则23||||||||21=⋅=⋅t t MB MA . ………………………………（10分）23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）解：（1）方法一：因为||||||||)(a x a x x a x x f =--≥+-=，因为存在实数x ，使2)(<x f 成立，所以2||<a ，解得22<<-a .方法二：当0=a 时，符合题意.当0>a 时，因为⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤>-=+-=,0 ,2,0 ,, ,2||||)(x a x a x a a x a x x a x x f 所以a x f =min )(.因为存在实数x ，使2)(<x f 成立，所以2<a .当0<a 时，同理可得2->a .综上，实数a 的取值范围为)2,2(-. ……………………………（5分） （2）因为3=+n m ， 所以3)542(31)54(31)41(341=+⋅≥++=++=+nm m n n m m n n m n m n m ， 当且仅当2,1==n m 时取等号. ……………………………（10分）。

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