数值分析 第3章 赋范线性空间

赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由 范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得 到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn 及x E ，如果
lim xn x 0
n
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim xn x (强)。 n
（1）正定性： x 0,当且仅当x 0时, x 0 （2）齐次性： x x （3）三角不等式 x, y E, 有 x y x y x y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E, )或 E 。
（ 2） ( E ,
)与 ( E , ) 之间的关系
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1
Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[a, b] 、 L[ a, b] （在 [a, b] 上可积分函数全体） ，在 通常意义下的“加法” “数乘”运算下是线性空间。
{ yn } E , { n } K （数域） 2） 性质 设 E 是赋范线性空间,{xn },


，
, xn , ) 的 全体，按通常定义下的“加法” “数乘”运算是线性空间。
x sup x ( l , x )是赋范线性空间。 i 若定义 ，则 1i
特别的， l — 表示一切有界数列 x ( x1 , x2 ,
注：由于(E, )在 (x, y) x y 定义下也是 ( E , ) ， 所以在(E,
)中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的结论： 完备性、可分性、紧性等。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E, )按范数导出的距离空间
( E , ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§3.2 按范数收敛
例3 Pn ( x ) ——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法” “数乘”运算下是线性空间。 例4 Qn ( x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法” “数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。
按一定 x E 实数 x 0 ， 若 且满足下列三条(范数公理) 规则
1）定义（线性空间）设 E 是非空集合，K 是实（或复） 数域。在 E 中定义两种运算 加法： x, y E , 存在唯一 z E , 记作 z x y 数乘： x E , k , 存在唯一 E , 记作 x 且满足八条运算规律：
（ 1） x y y x （ 2） ( x y ) Z x ( y Z )
x(t ) y (t ) 距离 (x, y) x y tmax [ a ,b ]
② x 1 a x(t ) dt ，则(C, x 1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
x ( x(t ) dt ) ，则(L , x )是赋范线性空间。 a
2 bຫໍສະໝຸດ Baidu1 2
若在(E, )中，按范数定义距离，即 验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ) ，称为由范 数导出的距离空间。
赋范线性空间 。 注意： 距离空间
x, y E, (x, y) x y ，
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间； ② (x, y) (x y,0)； ③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 ( E , ) 也是(E, )。
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。 点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广， 然而它是只有距离结构、 没有代数结构 （代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
§3.1 定义和举例
“零元素” 0 E, 有 x 0 x （ 3）
“负元素” x E , 有 x ( x) 0 （ 4）
（5） ( x ) ( ) x （6）1 x x, 0 x 0 （ 7） ( ) x x x （ 8） ( x y ) x y
b
2
距离 (x, y) x y

b
a
x(t ) y (t ) dt
2

1 2
p l 例 4 ( P 1) 是线性空间，若定义
x
p
( xi ) ，则(l p , x
i 1


1 p p
p
)是赋范线性空间
p 1/ p
xi yi 距离 ( x, y) x y i 1

max xi ，则(R n , x )是赋范线性空间。 1 i n
n i 1
③ x 1 xi ，则(R n , x 1 )是赋范线性空间。
例2 C[a, b] 是线性空间，若 定义
x(t ) ，则 ( C, x )是赋范线性空间。 ① x tmax [ a ,b ]
3）常见赋范线性空间 例1 在线性空间 Rn 中，
x ( x1, x2 , , xn ), y ( y1, y2 , , yn ) R n
定义 ① x 2
x
i 1
n
2
i
n ，则(R , x 2 )是赋范线性空间。
2 ( x y ) i i i 1 n
距离 (x, y) x y ② x