《初中数学》数学分析第一章第一节极限(文字版)
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x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
一、实数的完备性
III 初中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
I 高等数学基础知识
第一章 数学分析
II 高中数学学科知识
III 初中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析
考试重点 考试重点 考试重点 考试重点 考试重点
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列：若数列 {a n} 的各项满足关系式an an1 ，则{a n} 为递增数 列.同理可定义递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列.
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一、实数的完备性
【三个基本定理】
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
二、极限
【极限的定义】
定义一：
lim
n
xn
A :
0, 正整数N，当n
N时，有
xn
A
.
若xn存在极限（有限数）， 又称{xn}收敛，否则称 {xn}发散.
定义二：
lim f (x) A: 0,正数M，当x M时，有 f (x) A .
一、实数的完备性
【确界】
下确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的下界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最大下界，则称 M 是数集 S 的下确界，记作M inf S .
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
证选 明择 题题
（三）求极限的方法 1、两个重要极限 2、变量替换与重要极限法
计选 算择 题题
3、等价无穷小因子替换
4、洛必达法则
5、利用夹逼法
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一、实数的完备性
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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二、极限
【极限的定义】【例】
【2014 下半年】：函数列{ fn (x)} 与函数 f (x) 都在闭区间[a,b] 有定 义，则在[a,b] 上{ fn (x)} 一致收敛于 f (x) 的充要条件是（ D ） A. 0,x [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) B. 0, x0 [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) C.正整数N, 0, x0 [a,b],使得当n N时，有 fn (x) f (x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a,b],有 fn (x) f (x)
确界原理：设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若S 有 下界，则 S 必有下确界。 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。 柯西收敛准则：数列{a n} 收敛的充要条件是：对任意给定的 0 ，
存在 N 0 ，使得当 n, m N 时，有 an am 成立.
国家教师资格证考试笔试
初级中学-数学学科知识
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I 高等数学基础知识 II 高中数学学科知识
x
定义三：
lim
nx0
Βιβλιοθήκη Baidu
f (x)
A :
0, 正数，当0
x - x0
时，有
f (x) A
.
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二、极限
【极限的定义【】例】
【2014 下半年】：函数列{ fn (x)} 与函数 f (x) 都在闭区间[a,b] 有定 义，则在[a,b] 上{ fn (x)} 一致收敛于 f (x) 的充要条件是（ ） A. 0,x [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) B. 0, x0 [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) C.正整数N, 0, x0 [a,b],使得当n N时，有 fn (x) f (x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a,b],有 fn (x) f (x)
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一、实数的完备性
二、极限
（一）实数的完备性
（一）极限的定义
1、确界
（二）极限的基本性质
2、单调数列
1、数列极限的性质
（二）关于实数完备性的三个基本定理 2、函数极限的性质
1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
一、实数的完备性 （一）实数的完备性
1、确界 2、单调数列 （二）关于实数完备性的三个基本定理 1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
二、极限 （一）极限的定义 （二）极限的基本性质
1、数列极限的性质 2、函数极限的性质 3、两个重要极限 （三）求极限的方法 1、变量替换与重要极限法 2、等价无穷小因子替换 3、洛必达法则 4、利用夹逼法
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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一、实数的完备性
III 初中数学学科知识
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I 高等数学基础知识
第一章 数学分析
II 高中数学学科知识
III 初中数学学科知识
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考试重点 考试重点 考试重点 考试重点 考试重点
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一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列：若数列 {a n} 的各项满足关系式an an1 ，则{a n} 为递增数 列.同理可定义递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列.
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一、实数的完备性
【三个基本定理】
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二、极限
【极限的定义】
定义一：
lim
n
xn
A :
0, 正整数N，当n
N时，有
xn
A
.
若xn存在极限（有限数）， 又称{xn}收敛，否则称 {xn}发散.
定义二：
lim f (x) A: 0,正数M，当x M时，有 f (x) A .
一、实数的完备性
【确界】
下确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的下界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最大下界，则称 M 是数集 S 的下确界，记作M inf S .
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
证选 明择 题题
（三）求极限的方法 1、两个重要极限 2、变量替换与重要极限法
计选 算择 题题
3、等价无穷小因子替换
4、洛必达法则
5、利用夹逼法
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一、实数的完备性
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
【确界】
上确界：设 S 为 R 中的一个数集.若数 M 满足：对一切 xS 都有
x M ,则 M 是 S 的上界；对任何 M ,存在 x0 S ,使得 x0 , 即M
又是 S 的最小上界，则称 M 是数集 S 的上确界，记作 M supS .
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二、极限
【极限的定义】【例】
【2014 下半年】：函数列{ fn (x)} 与函数 f (x) 都在闭区间[a,b] 有定 义，则在[a,b] 上{ fn (x)} 一致收敛于 f (x) 的充要条件是（ D ） A. 0,x [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) B. 0, x0 [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) C.正整数N, 0, x0 [a,b],使得当n N时，有 fn (x) f (x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a,b],有 fn (x) f (x)
确界原理：设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界；若S 有 下界，则 S 必有下确界。 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。 柯西收敛准则：数列{a n} 收敛的充要条件是：对任意给定的 0 ，
存在 N 0 ，使得当 n, m N 时，有 an am 成立.
国家教师资格证考试笔试
初级中学-数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
I 高等数学基础知识 II 高中数学学科知识
x
定义三：
lim
nx0
Βιβλιοθήκη Baidu
f (x)
A :
0, 正数，当0
x - x0
时，有
f (x) A
.
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二、极限
【极限的定义【】例】
【2014 下半年】：函数列{ fn (x)} 与函数 f (x) 都在闭区间[a,b] 有定 义，则在[a,b] 上{ fn (x)} 一致收敛于 f (x) 的充要条件是（ ） A. 0,x [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) B. 0, x0 [a,b],正整数N，使得当n N时，有 fn (x) f (x) C.正整数N, 0, x0 [a,b],使得当n N时，有 fn (x) f (x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a,b],有 fn (x) f (x)
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一、实数的完备性
二、极限
（一）实数的完备性
（一）极限的定义
1、确界
（二）极限的基本性质
2、单调数列
1、数列极限的性质
（二）关于实数完备性的三个基本定理 2、函数极限的性质
1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
一、实数的完备性 （一）实数的完备性
1、确界 2、单调数列 （二）关于实数完备性的三个基本定理 1、确界原理 2、单调有界定理 3、柯西收敛准则
二、极限 （一）极限的定义 （二）极限的基本性质
1、数列极限的性质 2、函数极限的性质 3、两个重要极限 （三）求极限的方法 1、变量替换与重要极限法 2、等价无穷小因子替换 3、洛必达法则 4、利用夹逼法