第七章 线性变换 习题答案培训讲学

第七章 线性变换
3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明：
-=A B BA =E ．
『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有
()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B
(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ，
于是-=A B BA =E ．
4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明：
1
,1k k
k k k --=>A B BA
A
．
『解题提示』利用数学归纳法进行证明．
证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得
22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ，
因此结论成立．
假设当k s =时结论成立，即1
s
s
s s --=A B BA
A
．那么，当1k s =+时，有
1
1
()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A
B BA
A A
B BA A B BA A A A A ，
即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0
=A
E 可知，结论对1k =也成立．
5．证明：可逆映射是双射．
『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．
证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1
-A 作用左右两边，得到1
1
()()--===ααββA
A A
A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在
1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射．
『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．
6．设12,,,n L εεε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当
12,,,n L εεεA A A 线性无关．
证法1 若A 是可逆的线性变换，设1122n n k k k +++=0L A A A εεε，即
1122()n n k k k +++=0L A εεε．
而根据上一题结论可知A 是单射，故必有1122n n k k k +++=0L εεε，又由于12,,,n L εεε是线性无关的，因此120n k k k ====L ．从而12,,,n L εεεA A A 线性无关．
反之，若12,,,n L εεεA A A 是线性无关的，那么12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B ，使得()i i =B A εε，1,2,,i n =L ．显然
()i i =BA εε，()i i =A B A A εε，1,2,,i n =L ．
再根据教材中的定理1知，==A B BA E ．所以A 是可逆的．
证法2 设A 在基12,,,n L εεε下的矩阵为A ，即
121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==L L L A A A A εεεεεεεεεA ．
由教材中的定理2可知，A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆．
因此，如果A 是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而12,,,n L εεεA A A 也是V 的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n L εεεA A A 是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,,,n L εεε到
12,,,n L εεεA A A 的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以A 是可逆的线性变换．
『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆．
9．设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为
11
121321
222331
32
33a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ． 1）求A 在基321,,εεε下的矩阵；
2）求A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠； 3）求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵．
『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．
解 1）由于
3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε．
故A 在基321,,εεε下的矩阵为
333231123
222113
12
11a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
B ． 2）由于
11112123131112123131
a a a a a k a k =++=++A εεεεεεε，
2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε，
31312323331312323331
a a a a a k a k
=++=++A εεεεεεε．
故A 在基123,,k εεε下的矩阵为
111213221
222331
32
3311
a ka a a a a k k a ka a ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
B ． 3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为
100110001⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
X ，
故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为
1
1112
131112
12
13321
222321112212
2212
231331
32
33313232
33100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪
⎪
==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
B ． 『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．
10．设A 是线性空间V 上的线性变换，如果1
k -≠0A ξ，但k =0A ξ，求证：1
,,,k -L A A
ξξξ
（0k >）线性无关．
证明 由于k
=0A ξ，故对于任意的非负整数i ，都有()k i
i k +==0A
A A ξξ．当0k >时，设
1
12k n x x x -+++=0L A A
ξξξ，
用1
k -A
作用于上式，得
1
1k x -=0A
ξ，
但1
k -≠0A
ξ，因此10x =．于是
1
2k n x x -++=0L A A
ξξ，
再用2
k -A
作用上式，同样得到20x =．依此下去，可得120k x x x ====L ．从而1
,,,k -L A A
ξξξ线
性无关．
16．证明：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n λλλO
2
1
与⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛n i i
i λλλO
2
1 相似，其中n i i i ,,,21Λ是1,2,,n L 的一个排列．
『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义． 证法1 设V 是一个n 维线性空间，且12,,,n L εεε是V 的一组基．另外，记
1
2
n λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪⎝
⎭O A ，1
2
n i i
i λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
O
B ．
于是，在基12,,,n L εεε下，矩阵A 对应V 的一个线性变换A
，即
12
121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n
n λλλ⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
L L L O εεεεεεεεεA A ．
从而i i i λ=εεA ，1,2,,i n =L ．又因为12,,,n i i i K εεε也是V 的一组基，且
12
121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n i i
i i i i i i i i i i λλλ⎛⎫ ⎪
⎪
==
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
K K K O
εεεεεεεεεB A ． 故A 与B 相似．
证法２ 设
1
2
n λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪⎝
⎭O A 与 1
2
n i i
i λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
O
B ． 对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1
(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ，而
1(,)(,)i j i j -P AP
即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλL 变成12,,,n i i i λλλL ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s L Q Q Q ，使得
111
2112s s ---=L L Q Q Q AQ Q Q B ，
令12s =L Q Q Q Q ，则有1
-=Q AQ B ，即A 与B 相似．
『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．
17．如果A 可逆，证明AB 与BA 相似． 证明 由于A 可逆，故A
1
-存在．于是
11()()--==A AB A A A BA BA ，
因此，根据相似的定义可知AB 与BA 相似．
19．求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量．已知A 在一组基下的矩阵为：
1）3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； 4）563101121-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ；5）001010100⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
A ． 解 1）设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ．由于A 的特征多项式为
23
4
|514(7)(2)5
2
λλλλλλλ---=
=--=-+--E A ，
故A 的特征值为17λ=，22λ=-．
当17λ=时，方程组1()λ-=0E A X ，即为
1212
440,
550.x x x x -=⎧⎨
-+=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛11．从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为
112k k =+ξεε，
其中k 为任意非零常数．
当22λ=-时，方程组2()λ-=0E A X ，即为
1212
540,
540.x x x x --=⎧⎨
--=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-54，从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为 21245l l =-ξεε，
其中l 为任意非零常数．
4）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为
56
3
11(2)(111
21
λλλ
λλλλ---=-=---+--+E A ，
故A 的特征值为12λ=
，21λ=
，31λ=
当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =，即为
1231231
233630,20,230.
x x x x x x x x x --+=⎧⎪
+-=⎨⎪--+=⎩ 求得其基础解系为210-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，故A 的属于特征值2的全部特征向量为
111122k k =-+ξεε
其中1k 为任意非零常数．
当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =，即为
123123123(4630,(10,2(20.
x x x x x x x x x ⎧-+-+=⎪⎪
++-=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--3213，故A
的属于特征值1
22122233(2k k k =-+ξεεε
其中2k 为任意非零常数．
当31λ=3()0λ-E A X =，即为
123123123(4630,
(10,2(20.
x x x x x x x x x ⎧---+=⎪⎪
+--=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-3213，故A
的属于特征值1
33132333(2k k k =-+ξεεε
其中3k 为任意非零常数．
5）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为
201
1
0(1)(1)1
λ
λλλλλ
--=-=-+-E A ，
故A 的特征值为11λ=（二重），21λ=-．
当11λ=时，方程组1()λ-0E A X =，即为
1313
0,
0.x x x x -=⎧⎨
-+=⎩ 求得其基础解系为,
101⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛010⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε
其中12,k k 为任意不全为零的常数．
当21λ=-时，方程组2()0λ-E A X =，即为
13213
0,20,0.x x x x x --=⎧⎪
-=⎨⎪--=⎩ 求得其基础解系为101-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，故A 的属于特征值1-的全部特征向量为
213l l +ξ=-εε，
其中l 为任意非零常数．
『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．
24．1）设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，12,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：12
+εε不是A 的特征向量；
2）证明：如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么A 是数
乘变换．
证明 1）反证法．假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量，即
121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε．
而由题设可知111222,λλ==A A εεεε，且12λλ≠，故
12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε．
比较两个等式，得到
1122()()λλλλ-+-=0εε．
再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021=-=-λλλλ，即12λλ=．这与12λλ≠矛盾．所以12+εε不是A 的特征向量．
2）设12,,,n L εεε是V 的一组基，则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值12,,,n λλλL ，即
i i i λ=A εε，1,2,,i n =L ．
根据1）即知12n λλλλ====L ．否则，若12λλ≠，那么12+≠0εε，且不是A 的特征向量，这与V 中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V ∈α，都有λ=A αα，即A 是数乘变换．
25．设V 是复数域上的n 维线性空间，,A B 是V 上的线性变换，且=A B BA ．证明： 1）如果0λ是A 的一个特征值，那么0V λ是B 的不变子空间； 2）,A B 至少有一个公共的特征向量．
证明 1）设0V λ∈α，则0λ=A αα，于是，由题设知
00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα，
因此0V λ∈B α．根据不变子空间的定义即知，0V λ是B 的不变子空间．
2）由1）可知0V λ是B 的不变子空间，若记0
0|V λ=B B ，则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变
换，它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β，使得
00μ==B B βββ，
即β是B 的特征向量，从而β是A 和B 的公共特征向量．因此，,A B 存在公共的特征向量．。