导数中的构造函数(最全精编) (1)

例 1，例 2.
【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) xf ' (x) 0 ，且
f (4) 0 ，则不等式 xf (x) 0 的解集为____________
❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 F (x) xf (x) ，然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可.
f (1) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知
f (x) 0 的解集为 (1,0)(0,1).
【变式提升】设函数 f (x) 满足 x3 f ' (x) 3x2 f (x) 1 ln x ，且 f ( e) 1 ， 2e
则 x 0 时， f (x) （ ）
f (x) x2
，则
F '(x)
f '(x) x 2 f (x) x3
，当
x0
时，
xf ' (x) 2 f (x) 0 ，可以推出 x 0 ，F ' (x) 0 ，F (x) 在 (0,) 上单调递减.∵ f (x) 为
偶函数， x2 为偶函数，所以 F (x) 为偶函数，∴ F (x) 在 (,0) 上单调递增.根据
【 解 析 】 构 造 F (x) xf (2x) ， 则 F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) ， 当 x 0 时 ， F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) 0 ，可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,0) 上单调递减. ∵ f (x) 为奇函数， x 为奇函数，所以 F (x) 为偶函数，∴ F (x) 在 (0,) 上单调递增. 根据 f (2) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像 可知 xf (2x) 0 的解集为 (1,0) (0,1) .
【解析】构造 F(x)
f (x) ex
形式，则
F
' ( x)

ex
f
'(x) ex e2x
f
(x)

f '(x) ex
f (x) ，导
函数 f '(x) 满足 f ' (x) f (x) ，则 F ' (x) 0 ， F (x) 在 R 上单调递减，根据单调性可知 选 D.
同样 ex
数 ， 所 以 F (x) 为 奇 函 数 ， ∴ F (x) 在 (0,) 上 也 单 调 递 减 . 根 据 f (4) 0 可 得
F (4) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x) 0 的解
集为 (,4) (0,4) .
【 例 2 】 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 f (1) 0 ， 当 x 0 时 ， 有 xf ' (x) f (x) 0 恒成立，则不等式 f (x) 0 的解集为________________
A、有极大值，无极小值
B、有极小值，无极大值
C、既有极大值又有极小值
D、既无极大值也无极小值
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，为 n 3 时情况，优先构造 F (x)
f (x) ， xn
然后利用积分、函数的性质求解即可.
【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (,0) 上有 2xf ' (2x) f (2x) 0 ， 且 f (2) 0 ，则不等式 xf (2x) 0 的解集为___________. ❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，优先构造 F (x) xf (2x) ，然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (2) 0 和 F (x) 的转化.
3
（2）利用 f (x) 与 ex 构造；
f (x) 与 ex 构造，一方面是对 u vLeabharlann Baidu u 函数形式的考察，另外一方面是对 v
(ex ) ex 的考察.所以对于 f (x) f ' (x) 类型，我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处 x
理，“ ”法优先考虑构造 F (x)
f
( x),
f (x) ex
是比较简单常见的
f
(x) 与 ex 之间的函数关系式，如果碰
见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？
F (x) enx f (x) ， F ' (x) n enx f (x) enx f ' (x) enx[ f ' (x) nf (x)] ；
1
❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 F (x) f (x) 然后利用函数的单调 x
性、奇偶性和数形结合求解即可.
【解析】构造
F(x)
f (x) x
，则
F '(x)
f '(x) x f (x) x2
，当
x0
时，
xf ' (x) f (x) 0 ，可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,0) 上单调递增.∵ f (x) 为
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
（一）利用 f (x) 进行抽象函数构造
1、利用 f (x) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x), f (x) ；这类形式是对 u v, u 型函
f (x) ex ，“ ”法优先考虑构造 F (x)
f
(x) ex
.
【例 5】已知 f (x) 是定义在 (,) 上的函数，导函数 f '(x) 满足 f '(x) f (x) 对于 x R 恒成立，则（ ） A、 f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0) B、 f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0)
增 . 当 x 1 时 F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,1] 上 单 调 递 减 . 又 由
f (2 x) f (x)e22x F (2 x) F (x) F (x) 关于 x 1 对称，根据单调性和图像， 可知选 C.
x
v
数导数计算的推广及应用，我们对 u v, u 的导函数观察可得知， u v 型导函数中 v
体现的是“

”法，
u v
型导函数中体现的是“

”法，由此，我们可以猜测，当
导函数形式出现的是“ ”法形式时，优先考虑构造 u v 型，当导函数形式出现
的是“－”法形式时，优先考虑构造 u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看 v
xf
'
(x) nf x n1
(x)
；
结论：
出现 nf (x) xf ' (x) 形式，构造函数 F (x) xn f (x) ；
出现 xf ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x)
f (x) . xn
我们根据得出的结论去解决例 3 题
【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0) 的导函数为 f ' (x) ，且满足 f (1) 0 ，当 x 0
f (x) ，然后利用 e2x
函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
【解析】构造 F (x)
f (x) e2x
形式，则
F
'
(
x)

e2x f ' (x) 2e2x f (x) e4x

f '(x) 2 f (x) ， e2x
导 函 数 f '(x) 满 足 f '(x) 2 f (x) 0 ， 则 F '(x) 0 ， F(x) 在 R 上 单 调 递 增. 又 ∵
f (0) 1，则 F (0) 1 ，
f (x) e2x

f (x) e2x

1

F ( x)

F (0)
，根据单调性得
x

0
.
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 4 0, f (0) 1，
则不等式 f (x) e2x 2 的解集为___________
时， 2 f (x) xf ' (x) ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是___________
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，优先构造
F(x)
f (x) xn
然后利用
函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
2
【解析】构造
F(x)
C、 f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0) D、 f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0)
❀❀❀思路点拨：满足“
f '(x)
f (x) 0 ”形式，优先构造 F (x)
f (x) ，然后利用 ex
函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数 F (x)
f (x) 2 e2x e2x
【例 7】已知函数 f x 在 R 上可导，其导函数为 f x ，若 f x 满足： (x 1)[ f x f x ] 0 ， f (2 x) f x e22x ，则下列判断一定正确的是（ ）
偶函数， x 为奇函数，所以 F (x) 为奇函数，∴ F (x) 在 (0,) 上也单调递减.根据
f (1) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知
f (x) 0 的解集为 (,1) (1,) .
xf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与 x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的， x
F(x)
f (x) e nx
，
F
'
(
x)

f ' (x)enx nenx f (x) [ f ' (x) nf (x)]
e 2 nx
e nx
；
结论：1、出现 f ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x) enx f (x) ；
2、出现
f ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x)
不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.
F (x) xn f (x ，) F ' (x) nxn1 f (x) xn f (x) xn1[nf (x) f ' (x)] ；
F(x)
f
(x) xn
，
F
'
(
x)

f ' (x) xn nxn1 f (x) x2n
【解析】构造 F (x) xf (x) ，则 F ' (x) f (x) xf ' (x) ，当 x 0 时，f (x) xf ' (x) 0 ， 可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,0) 上单调递减.∵ f (x) 为偶函数， x 为奇函
f (x) . e nx
我们根据得出的结论去解决例 6 题.
4
【例 6】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 0, f (0) 1，则不等式
f (x) e2x 的解集为___________
❀❀❀思路点拨：满足“
f ' (x) 2 f (x) 0 ”形式，优先构造 F (x)
【解析】构造 F(x)
f (x) ex
形式，则
F
' ( x)

ex
f
'(x) ex e2x
f
(x)

f '(x) ex
f (x) ，导
函数 f '(x) 满足 (x 1)[ f ' (x) f (x)] 0 ，则 x 1时 F ' (x) 0 ， F (x) 在[1,) 上单调递
（A） f (1) f (0)
（B） f (2) e2 f (0)
（C） f (3) e3 f (0)
（D） f (4) e4 f (0)
❀❀❀思路点拨：满足“
f '(x)
f (x) ”形式，优先构造 F (x)
f (x) ，然后利用函数 ex
的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.