第三次图论作业

第六章

2.证明：

根据定理四，有m ≦l*(n-2)/(l-2),

(1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4;

(2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10;

(3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6.

4.证明：

(1)∵G 是极大平面图，

∴G 的每个面的次数为3，

由次数公式：2m==3φ,

由欧拉公式：φ=2-n+m,

∴2m=6-3n+3m,即m=3n-6.

(2)又由欧拉公式m=n+φ-2,即 3n-6=n+φ-2,从而φ=2n-4.

(3)对于n>3的极大可平面图的的每个顶点，有，即对任一一点或者子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使

，由点连通度的定义知。

6.31(G3) v ()3d v ≥()(H)w G w G <-()3G κ≥

第七章1.

28.解：

(1)

又：

=k(k-1)(k-2)2(k-3)+k(k-1)2(k-2)=k(k-1)(k-2)(k2-4k+5)

=k(k-1)(k-2)2(k-3),

所以，原图色多项式为：k(k-1)(k-2)2(k2-4k+5)-k(k-1)(k-2)2(k-3)

=k(k-1)(k-2)2(k2-5k+8)

(2)∵

原图与该图同构，又，同构的图具有相同的色多项式，

所以原图色多项式为：k(k-1)(k-2)2(k2-5k+8)。

33.证明：

(1)当n=1时，P k(K1)=k,命题成立。

若n

P k(G)=P k(G-e)-P k(G·e)=k2(k-1)m-2-k(k-1)m-2=k(k-1)m-1,

故命题成立。

(2)∵P k(G-e)=P k(G)+P k(G·e),P k(G·e)≧0,所以P k(G-e)≧P k(G),另一方面由于G连

通，设T是G的生成树，逐次用上述导出的公式将余数T的边从G中除去，于是最后有P k(G)≦P k(T),由(a)，P k(T)=k(k-1)m-1,所以，P k(G)≦k(k-1)m-1.

若连通图G的P k(G)=k(k-1)m-1时，则n=m-1,所以G是一棵树。即当且仅当G是树时等号才成立。

第九章

1.解：∵每条边有2种定向方式，所以一个简单图共有2m(G)种定向。

2.证明：不失一般性，设G是连通图。G中奇度顶点个数必然为偶数个，将偶数个奇度顶点配对，然后在每一对配对顶点间连一条边得到欧拉图G1，在G1中用Fluery算法求出G的一拉环游C，然后顺次在C上标上方向，由此得到C的定向图C1.

在C1中，去掉添加的边后，得到G的定向图D，显然：

对v∈V(D),有|d+(v)-d-(v)|≦1.

7.解：

强连通分支：{1}、{2,3,5,6,7}、{4}、{9}、{8}；

单向连通分支：{1,2,3,4,5,6,7}、{8,9}；

弱连通分支：{1,2,3,4,5,6,7,8,9}。