人教版数学高二新课标 复数代数形式的加减运算及几何意义 精品教学设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计
《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。
2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。
3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。
2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。
2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。
2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。
3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。
4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。
5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。
7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。
2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。
3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。
七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。
2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。
3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。
八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。
高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义教案1新人教版选修2
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及理解其几何意义．过程与方法：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．情感、态度与价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．教学重点：复数加减法运算及其应用．教学难点：复数加减法运算的几何意义．教具准备：多媒体、实物投影仪等．教学过程：①复数z=a+bi（a、b∈R），其中a是实部，b是虚部．当且仅当b=0 时，z是实数；当且仅当a=0且b≠0 时，z为纯虚数；②如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d③复数z=a+bi与复平面内所有的点是一一对应关系；与平面向量也呈一一对应关系．④如果已知向量，则，引入了一个新数，我们最关心是它是如何运算的，我们先来研究复数的加法．即，那么根据复数是实数的推广，实数也是复数的概念，举出复数（实数）相加的特例，如2+3=5．①因为实数是复数的特殊情况，那么复数是如何进行加减运算的呢？2+3=？这个式子能不能写成复数形式呢？若能，从复数的概念角度如何解释？②复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明．（纯虚数是复数的另一类特殊情形．z1=2i z2=3i，即z1=0+2i，z2=0+3i 猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i．）③你对一般的两个复数相加有什么猜想，即④引导学生从向量的角度上去理解加法法则猜想的正确性结论：两个复数相加等于它们的实部与实部相加，虚部与虚部相加．⑤复数的加法满足加法交换律，满足加法结合律吗？复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)⑥那么复数的减法法则如何推导出来呢？可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．例题：例1．课本题57页例2．若复数与的差是纯虚数，那么实数．例3．若复数与的和位于复平面的第一象限，则实数的范围是．例4．已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？例5．复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．（备用）小结：从知识上小结：加减法法则从思想方法上小结：由特殊到一般，普遍联系，相互转化的思想。
人教A版高中数学选修高二新课程复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案新
3.2.1 复数的代数形式的加减运算教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
复数代数形式的加减运算及其几何意义 精品教案
复数代数形式的加减运算及其几何意义【教学目标】知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用【教学重难点】重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。
难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
【教学准备】多媒体、实物投影仪。
【教学设想】复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z=a+bi（a、b∈R）与有序实数对（a，b）是一一对应关系何一个复数z=a+bi（a、b∈R），由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定。
【教学过程】一、复习回顾：1．复数的定义：2．复数的代数形式：3．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当时，a bi ab R复数a+bi（a、b∈R）是实数a；当时，复数z=a+bi叫做虚数；当时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当时，z就是实数0.4．复数集与其它数集之间的关系：。
5．两个复数相等的定义：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6．复平面、实轴、虚轴：Array点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数。
故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这就是复数的一种几何意义。
高中数学必修二 7 2 1 复数的加、减法运算及其几何意义 教学设计
【新教材】7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义教学设计（人教A版）复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.课程目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.数学学科素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.一、 情景导入提问：1、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
2、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。
3、向量的加减运算满足何种法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本75-76页，思考并完成以下问题1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．2．复数加减法的几何意义14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----121472z i Z i =+=-与12OZ OZ +图321如图321所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．思考：类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？提示 |z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．四、典例分析、举一反三题型一 复数的加减运算例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－7＋7i. (2)－10i. (3)3a ＋(4－2b )i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i ＝－10i.(3)(a ＋b i)＋(2a －3b i)＋4i ＝(a ＋2a )＋(b －3b ＋4)i ＝3a ＋(4－2b )i.解题技巧（复数加减运算技巧）(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．跟踪训练一1．计算：(1)2i －[3＋2i ＋3(－1＋3i)]；(2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R)．【答案】(1)－9i. (2)－2a ＋(6b －5)i.【解析】(1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i.(2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i.题型二 复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)间的距离.【答案】|Z 1Z 2|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2．【解析】 因为复平面内的点Z 1(x 1,y 1),Z 2(x 2,y 2)对应的复数分别为Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i .所以Z 1,Z 2之间的距离为|Z 1Z 2|=|Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|Z 1−Z 2|=|(x 1−x 2)+(y 1−y 2)|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2解题技巧： (运用复数加、减法运算几何意义注意事项)向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是z B －z A(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 跟踪训练二1、已知四边形ABCD 是复平面上的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应于复数－5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．【答案】D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.【解析】如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C 2＝z B ＋z D 2， 所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ―→：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC ―→|＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ―→：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD ―→|＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13.题型三 复数加、减运算几何意义的应用例3 已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值．【答案】 |z |max ＝6，|z |min ＝4.【解析】由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z |max ＝6，|z |min ＝4.解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）(1)|z－z0|表示复数z，z的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．跟踪训练三1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝ 2.【解析】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝ 2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通.。
321复数代数形式的加减运算及其几何意义教案
复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教课内容解析：本课是高中数学选修 1－ 2 第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生初次接触复数会合的运算。
学生的知识基础是已经学习的复数的看法和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解说和“形化”了复数的加减法，充分表现了复数的“数”和“形”的两重特色，揭露了复数的加减运算与平面向量的加减法拥有完整等价的法规。
在教课中，既要修业生掌握复数代数形式的加减运算法规，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义确定基础。
二、学情解析：高二（ 7）班属于一般文科班，女生比率较大，学生基础广泛比较单薄，学习习惯较差。
学生受文科思想的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对看法、定理、公义的实质属性缺少正确的认识，不重视思想训练，导致数学学习能力降落，心理压力增大，恶性循环。
所以培育学生优异的学习习惯与慎重的逻辑思想能力相当重要。
三、教课目标：1、知识与技术目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，认识复数加减法运算的几何意义。
2、过程与方法目标：在问题研究过程中，领会和学习类比，数形联合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
3、感情、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关看法( 复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部 ) 理解并掌握复数相等的有关看法；画图获得的结论，不可以取代论证，可是经过对图形的观察，常常能起到启迪解题思路的作用。
四、教课要点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，正确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
五、教课难点：复数加减法的几何意义及其应用六、教具准备：多媒体、实物投影仪。
七、教课过程：课前准备：学生自主阅读、理解教材，并解决问题（课前 1 天）阅读教材 57-59 页，解决以下问题：（一）、温故而知新：1、对于复数 z a bi a,b R，当且仅当，z 是实数，当，z 是虚数，当， z 为纯虚数，当且仅当， z 是实数0。
高中数学_复数代数形式的加减运算及几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义------一、教学目标：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义二、教学重点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：复习复数的几何意义之后，因为复数与向量是一一对应的，所以先复习向量的加法运算法则，通过一一对应关系，得到复数的加法运算法则，然后证明复数加法的运算律。
都过逆运算的定义，得到复数的减法法则，灵活的结合了向量与复数的联系，让学生通过对比达到了温故知新的效果。
更加明白了复数加减法的几何意义。
1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、 复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ= 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量6、例题讲解：例1、计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2、如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求 (1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数；(3)对角线OB →所表示的复数及OB →的长度．点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差。
人教版高中数学选修2-23.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教课建议1.教材剖析本节主要给出了复数加法运算的法例 ,介绍了复数加法的几何意义 ,即向量的加法 .类比实数的减法是加法的逆运算 ,给出了复数减法运算的法例 .要点 :复数的加减法运算.难点 :复数加减法运算的几何意义.2.主要问题及教课建议(1)对于复数的加减法法例.能够类比“归并同类项”的方法让学生掌握.(2)对于复数加减法的几何意义.复数和平面向量是一一对应的,从向量的角度理解其加减法应按照平行四边形法例或三角形法则.备选习题1.已知z1= cosα+isinα,z2= cosβ-isinβ,且z1-z2= i,求cos(α+β)的值.解: 由于 z1= cos α+isin α,z2= cos β-isin β,因此 z1-z2= (cos α-cos β)+ (sin α+sin β)i=i,因此两式平方相加可得(cos α-cos β)2+ (sin α+sin β)2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α +β)==1,即 2-2cos(α+β)= 1,因此 cos(α+β)=.2.如图,在复平面内,复数z1在连结1+i和1-i对应的点的线段上挪动,设复数 z2在以原点为圆心 ,半径为 1 的圆周上挪动 ,求复数 z1+z 2在复平面上挪动的范围的面积 .解: 设ω=z1 +z2,则 z2 =ω-z1,|z2|=| ω-z1|.∵|z2|= 1,∴|ω-z1|= 1.此式说明对于给定的z1,ω在以 z1对应的点为圆心,1 为半径的圆上运动.又 z1在连结 1+ i 和 1-i 对应的点的线段上挪动,∴ω挪动范围的面积为 S= 2×2+π×12= 4 + π,即复数 z1+z2在复平面上挪动的范围的面积是4+ π.。
人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版
3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ， 而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】 原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】 把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（ ）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
复数的加减运算及其几何意义(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的加减运算及其几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养.经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性.（2）明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养.（3）经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养.目标解析：（1）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足．（2）+bi中的实部和虚部a,b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.基于上述分析，本节课的教学重点定为：熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措.教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加法的几何意义．教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性．五、教学过程与设计 12OZ OZ +[问题3]向量的加减运算满足何种法则？[问题4] 设向量索交流，解决问题OZ2→分别与复数a＋b i，c＋d i对应，那么OZ1→＋OZ2→的坐标如何呢？[问题5]向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是什么？[问题6]按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？[问题7]类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？b＋d)．教师5：提出问题5．学生5：向量OZ1→＋OZ2→对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教师6：提出问题6．学生6：复数z1－z2的几何意义就是向量OZ1→－OZ2→对应的复数．教师7：小结一下：1. 加、减法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→，与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.教师8：提出问题7．学生7：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．高学生分析问题、概括能力。
2024~2025学年7.2 课时1 复数的加减运算及其几何意义 教案1
7.2 课时1 复数的加减运算及其几何意义 教案【教学目标】1.掌握复数代数形式的加、减运算法则，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【教学重难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.难点：加、减运算及其几何意义.【教学过程】一、教学导入师:在上一节,我们把实数集扩充到了复数集,引入新数集后,就要研究其中数之间的运算,同学们可以回忆一下在实数集中,四则运算法则是怎样的？以及实数的四则运算都满足什么运算律？【学生思考问题,复习讨论】师:同学们对于实数的运算形式和法则还是很熟悉的,本节课我们就要将这些运算法则和规律转移到复数身上,首先先来学习复数的加、减运算.【设计意图】以学生熟悉的实数运算法则引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识建立联系二、教学精讲探究1 复数的加法运算及其几何意义师:同学们,我们先来做一个计算题设32,23x a b y a b =+=-,则x y +怎样表示？生:5x y a b +=-师:正确,这是一道我们都很熟悉的代数运算题目,其中进行加法运算时,我们遵循了什么原则？ 生:合并同类项.师:正确.那现在我们引入复数,两个复数的加法运算法则可不可以这样进行呢？【要点知识】复数的加法法则设12i i(z a b z c d a b c d R =+=+∈，，，，)是任意两个复数,则它们的和:()()()()12i i i z z a b c d a c b d +=+++=+++.师:可以看出,两个复数的和仍然是一个确定的复数,并且两个复数相加,类似于两个多项式相加.师:了解了复数的加法运算法则之后,同学们试着用加法定义证明复数加法运算满足:①交换律,②结合律.请同学们分组讨论证明.【将学生分成两个小组分别推导复数的加法运算律,教师总结补充并展示】【要点知识】复数的加法运算律对任意123,,z z z ∈C ,有交换律:1221z z z z +=+,结合律:()()123123z z z z z z ++=++.师:由此可知,复数的加法运算同样满足交换律和结合律.接下来,我们练习几个复数的加法计算题. 例1 计算:(34i)(34i)++-+;(43i)(43i)++-;(34i)(34i)++--.【预设答案】8i 80；； 师:上述三个问题的答案依次为:8i 80；；.所以我们可以把复数的代数形式看作是关于“i”的多项式,则复数的加法运算类似于多项式的加法运算,只需“合并同类项”.并且复数的运算满足交换律和结合律.师:我们知道,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.同学们还记得向量的加法运算法则是什么吗？ 生:符合平行四边形法则.师:我们讨论过向量加法的几何意义,把复数表示为向量时,能否按照向量加法运算的平行四边形法则进行？【要点知识】复数加法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数i,i a b c d ++对应,则12(,),(,)OZ a b OZ c d ==.由平面向量的坐标运算法则,得 12(,)OZ OZ a c b d +=++.【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】【要点知识】复数加法的几何意义若复数1z ,2z 对应的向量12,OZ OZ 不共线,则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数,即复数的加法可以按照向量的加法来进行.这就是复数加法的几何意义.【以学论教】从学生的角度出发,以学生熟悉的平面向量计算方法引入,更能把复数的新概念形象地展示出来,有助于学生对新知识的理解和掌握探究2 复数的减法运算及其几何意义师:复数的运算可以和向量的相关知识进行联系,知道了复数的加法运算法则之后,复数的减法运算法则又是怎样的呢？我们知道,实数的减法是加法的逆运算,类比实数减法的意义,如何定义复数的减法？【要点知识】复数的减法法则复数的减法是加法的逆运算,即把满足(i)(i)i c d x y a b +++=+的复数i(x y x +,)y ∈R 叫做复数i(,)a b a b +∈R 减去复数i(,)c d c d +∈R 的差,记作(i)(i)a b c d +-+.即(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-.【情境学习】学生在已知平面向量的运算方法后,通过形象地图示,体会其与复数加法运算的联系,在具体情境中,学习相关概念,理解运算方法师:这就是复数的减法法则.由此可见,两个复数的差是一个确定的复数,并且两个复数相减,类似于两个多项式相减.现在复数的加法和减法,我们都已经学到了,请同学用一句话描述复数的加、减法运算规律.生:复数的加减运算就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.师:很好！实际上,复数的加减运算就可以简化成上述规律,分清楚实部和虚部.接下来,我们要继续研究复数减法的几何意义,结合向量的相关知识,思考复数减法的几何意义可以怎样描述？【学生作图验证猜想,教师补充说明并展示】【要点知识】复数减法的几何意义设12,OZ OZ 分别与复数1z ,2z 相对应,且12,OZ OZ 不共线,如图,则这两个复数的差12z z -与向量12OZ OZ -对应,这就是复数减法的几何意义.即复数12z z -是连接向量12,OZ OZ 的终点,并指向被减向量所对应的复数.师:这就是复数减法的几何意义,由此可知,复数加、减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则.下面请看例题.例2 计算(56i)(2i)(34i)-+---+生解:(56i)(2i)(34i)(523)(614)i 11i -+---+=--+---=-师:上题答案为 11i -,我们可以利用运算法则计算得出,也可在复平面内用向量表示.下面继续看例题. 例3 根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点()()111222,,,Z x y Z x y 之间的距离.师:由于复平面内的点()()111222,,,Z x y Z x y 对应的复数分别为11122i,z x y z x =+=+2i y ,由复数减法的几何意义知,复数21z z -对应的向量为12Z Z ,从而点1Z ,2Z 之间的距离为1221Z Z z z =-.所以同学们根据复数运算的几何意义,计算一下这两点之间的距离.生解:因为复平面内的点()()111222,,,Z x y Z x y 对应的复数分别为1112i,z x y z =+=22i x y +,所以点1Z ,2Z 之间的距离为()()()()12122122112121i i i Z Z Z Z z z x y x y x x y y ==-=+-+=-+-=. 师:好了,同学们,掌握了这些基本运算法则和知识后,我们进行一下巩固练习,来看下面这几道题.1.计算：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)；(2)(-3-4i)＋(2+i)-(1-5i)．解：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)＋（-6-1-4）i ＝-11i.(2)(-3-4i)＋(2+i)-(1-5i)＝(-3+2-1)＋[-4+1-(-5)]i ＝-2＋2i.2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B,C 对应的复数分别为1＋3i ，-i,2＋i.(1)求BC⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数；(2)求点D 对应的复数．解：(1)因为BC⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0C ⃑⃑⃑⃑ －OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以BC⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数为(2＋i)-(-i)，即2+2i. (2)复平面内A,B,C 对应的点坐标分别为（1,3），（0，-1），(2,1), 设D 点的坐标为(x,y ),因为BC⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴(x −1,y −3)=(2,2)∴x −1=2,y −3=2∴x =3,y =5故D(3，5)所以点D 对应的复数为3+5i.三、课堂小结师:同学们,我们现在要梳理一下本节主要内容,请同学们分组讨论,梳理出本节的几个核心知识点.。
高中数学_复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计我的这节课是《复数代数形式的四则运算》的第一课时：复数代数形式的加减运算及其几何意义。
学生在学本节内容之前已经学习了复数的代数形式和复数相等的充要条件，以及复数的几何意义及其向量的加减法法则，对于复数和向量的有关知识有了充分的认识，对理解复数加减法的概念及复数加减法的几何意义有一定的帮助。
本节教材以复数的加法法则为基础，类比实数的减法意义引导学生解决复数的减法法则，为后面研究复数加减法的几何意义奠定基础。
这部分教材一共介绍了两部分内容，分别是复数的加法法则和复数的几何意义，我在设计时，从复数的减法几何意义中又引申出两个复数差的模的几何意义。
在教材开篇，直接规定给出加法法则。
然后研究复数加法满足的运算律，接着探究复数加法的几何意义，再接着给出了复数减法法则和复数减法的几何意义，我在设计本节课时，把复数加法的几何意义和复数减法法则调换了一下顺序，先讲解复数减法法则，然后再讲解复数减法的几何意义。
这样的目的是让学生对所学知识点有整体的思想，学起来更具衔接性。
我采用即学即练的模式。
因为复数的加减法的几何意义是这节课的难点部分，我就采用先和同学们一起来研究复数的加法的几何意义，然后让学生类比研究加法的几何意义的思想让学生分组讨论，然后小组汇报讨论结果，最后我用多媒体展示结果，并对学生讨论过程出现的一些问题做了详细的说明。
学生在分组讨论的过程中，加深了对复数减法的理解，并且大大发挥了学生的主观。
最后让学生自己对本节课内容进行总结，进一步强化了对本节课内容的理解和掌握。
之后，我又总结了本节课中涉及到的思想方法。
总之，在本节课中，学生活动占了大部分，充分发挥了学生的主体地位。
学情分析学生在学本节内容之前已经学习了复数的代数形式和复数相等的充要条件，以及复数的几何意义及其向量的加减法法则，对于复数和向量的有关知识有了充分的认识，对理解复数加减法的概念及复数加减法的几何意义有一定的帮助。
本节课的第一部分内容是复数的加减法法则知识的学习，复数的加法法则是一种规定，所以学生学习起来比较容易接受，对于复数的减法法则类比实数减法的定义，通过加法法则和复数相等的定义接受起来也应该没有太大的问题；第二部分内容是复数加减法的几何意义，这部分内容是难点，为了调动学生的积极性，我先讲解了复数加法的几何意义，给学生指明了研究的方向，然后通过小组讨论的形式对复数减法的几何意义进行学习。
高二数学优秀教学设计：复数代数形式的加减运算及几何意义
高二数学优秀教学设计：复数代数形式的加减运算及几何意义【】为了关心学生们了解高中学习信息，查字典数学网分享了高二数学优秀教学设计：复数代数形式的加减运算及几何意义，供您参考!知识与技能：把握复数的加法运算及意义过程与方法：明白得并把握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：明白得并把握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 明白得并把握复数相等的有关概念;画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观看，往往能起到启发解题思路的作用重点：复数加法运算，复数与从原点动身的向量的对应关系.教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学过程：一.学生探究过程：1. 与复数一一对应的有?2. 试判定下列复数在复平面中落在哪象限?并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并运算。
向量的加减运算满足何种法则?4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何?二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：，则。
例1.运算(1) (2) (3)(4)②.观看上述运算，复数的加法运确实是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2.例1中的(1)、(3)两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发觉。
③复数加法的几何意义：复数的加法能够按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则)2.复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运确实是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值?(引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演)⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也能够按向量的减法来进行。
例3.运算(1) (2) (3)练习：已知复数，试画出，，(三)小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都能够按照向量的加减法进行。
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计全面版
复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计教学流程一．知识回顾1、复数的概念形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
2、复数相等：规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。
3、复数的几何意义：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应关系，即设计意图：通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.二．新课讲解1、复数的加法法则我们规定，复数的加法法则如下：设bi a +=1z , di +=c z 2（a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 。
练习：1计算 （1）（1+3i ）+(-2+i) （2）（2+4i ）+(3-4i)+(-1+5i)说明:（1）两个复数的和仍然是一个确定的复数；（2）两个复数相加就是将实部相加为和的实部, 虚部相加为和的虚部；（3）复数的加法运算法则是一种规定，当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致；（4）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
设计意图：加深对复数加法法则的理解，通过练习的训练引出对复数加法法则的四条解读，是同学们进一步认识理解复数的加法法则。
练习：1计算（3）(-2+i)+（1+3i ）（4）(3-4i)+[（2+4i ）+(-1+5i)]设计意图：通过对比前后两个练习的异同点，类比实数加法满足的运算律猜想复数加法满足加法交换律和结合律，并引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流。
高中数学 3.2.1复数的加减法及其几何意义教案 新人教A版选修2
3.2.1 复数的加减法及其几何意义[教学目标]： 理解复数代数形式的加法.减法运算法则 能运用运算律进行复数的加法.减法. 理解复数加减法的几何意义[教学重、难点]： 复数的加减法、加减法的几何意义 [教学过程]： 一、复习、引入 问题情境： 问题（1）：实数可以与i 进行四则运算吗？进行四则运算时，原有的加法. 乘法运算律仍然成立吗？问题（2）：计算:=-++)41()32(x x =-++)241()232( 那么)()(di c bi a +++怎么计算？问题（3）：任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？ 二、新课1、复数的加法设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数， 复数的加法按照以下的法则进行：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++探究： （1）：两个复数的和仍是一个复数吗？ （2）：复数的加法满足交换律 结合律吗？ （3）：复数加法的几何意义是怎么样的？ 2、复数的减法探究：复数的减法是加法的逆运算，那么复数的减法法则是怎样的？ （1）即设di c z bi a z +=+=21,，则?21=-z z 探究过程：复数的减法按照以下的法则进行：=+-+)()(di c bi a（2）复数减法的几何意义是什么？结论：两个复数相加（减）就是把 。
三、数学运用例1．计算：（1）)43()2()65(i i i +---+- （2）|43|)21(2i i i ++++练习1：课本P109练习1例2.已知复数i z i z 21,221+=+=在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？练习2:如图的向量OZ 对应的复数是z ，试作出下列运算的结果对应的向量： (1)1+z (2)i z - (3))2(i z +-+例3.设C z z ∈21,，已知2||,1||||2121=+==z z z z ，求||21z z -练习3：复数z 满足条件3||=-i z ，求|2|i z -的最大值。
人教版数学高二教学设计1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(2)
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 一、教学目标： 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义 二、教学重点： 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义三、教学难点：复数减法的运算法则四、教学过程：（一）导入新课：复数的概念及其几何意义；（二）推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题.设z 1=a +bi ，z 2=c +di 是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2、 复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i 对应的向量4、复数的减法运算法则：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .5、复数减法的几何意义：类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量6、例题讲解：例1：设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求x ＋y i.解：∵z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8. ∴x ＋y i ＝2＋8i.例2：已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：由已知得：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B .例3：已知平行四边形ABCD 中，AB 与AC 对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD 对应的复数；(2)求D B →对应的复数；(3)求△APB 的面积．解：(1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD ，于是AD ＝AC －AB ，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD 对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB ＝AB －AD ，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB 对应的复数是5.(3)由于PA ＝12CA ＝－12AC ＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， PB ＝12DB ＝⎝⎛⎭⎫52，0，于是PA ·PB ＝－54， 而|P A →|＝172，|PB →|＝52， 所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A →||PB →|sin ∠APB ＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52. （三）课堂练习：课本练习（四）课堂小结：复数的加法与减法的运算及几何意义（五）课后作业：。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀教学设计
复数代 数形式
z1 z2 (a bi) (c di) (a b) (c d )i 。
的加法 运算
②复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数 z1, z2 , z3 有
z1 z2 z2 z1 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
3
四、师 例1. 计算：
让学
生互 动，继
(1 2i) (2 3i) (3 4i) (4 5i) (1999 2000i) (2000 2001i)
生进行
续探究 解：原式＝
复数代
(1 2 3 4 1999 2000) (2 3 4 5 2000 2001)i ＝ 数形式
向量 z1z2 对应的复数 z2 z1 (5 3i) (3 i) 8 4i ；向量 z2 z1 对应的
复数 z1 z2 8 4i 。
4
五、分 层练 习，巩 固提高
探究活动： 练习 2 ：
①已知复数 z 满足 z i 3 3 i,求z ？
通过多 角度的 练习，
② 在 复 平 面 内 ， 复 数 3 i与5 i 对 应 的 向 量 分 别 是 并对典
OA和OB,其中O是原点，求向量OA OB, BA 对应的复数以及 A, B 两点
型错误
之间的距离。
解：① 6 2i
进行讨 论与矫
1
（２） 复数代 数形式 的减法 运算
２．复数的减法
①已知复数 a bi ，根据加法定义，存在惟一的复数 a bi 使 (a bi) (a bi) 0 ， a bi 叫做 a bi 的相反数
高中数学_复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
复数代数形式的加减运算及其几何意义一教学目标根据新课标对教材的要求和学生的认知特点，从知识与技能、过程和方法、情感态度和价值观3个维度确定以下教学目标：知识与技能：理解复数加减运算法则，以及复数加减法的几何意义能够进行正确的计算。
过程与方法：通过让学生自主学习，合作探究，培养学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：培养学生的合作交流意识，提高解决问题的能力，并在教学过程中培养学生的探索精神。
二教学重点和难点重点：正确理解复数的加减运算，复数加减运算的几何意义难点：对比复数加减法与向量加减法的异同，从而理解复数的几何意义三教法与学法分析从学生已有的知识水平和认知规律出发，为了更好的突出教学重点、突破难点，我采用以引导发现法为主，直观演示法、合作探究、讨论法为辅的教法。
学生的学法中主要让学生分组探究、讨论、归纳、总结，通过学生动脑、动口、动手等活动培养学生学习的积极性和主动性。
使学生掌握知识。
四教学过程为了更好的突出新课改以教为主导，学为主体的教学理念，我设计的教学过程由导入新课、讲授新课、巩固练习、归纳总结、布置作业五个环节构成。
（一）导入新课（1）复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？（学生回答）（2）复数相等的重要条件？实部与实部相等，虚部与虚部相等。
（3）复数几何意义？1.复数z=a+bi，表示向量：oz2.复数的模等于向量的模。
实数可以进行加减运算，复数是否也可以进行加减运算？（引出本节课）本环节设计的意图是：从学生熟悉的生活情景和已有的知识出发，找准了新知识的起点，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。
（二）讲授新课知识点一 复数的加法运算复数的加法法则：设z1=a+bi ，z2=c+di (a 、b 、c 、d ∈R)是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。
当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义教案1新人教版
3.2.1复数代数形式的加、减运算及几何意义教材分析三维目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学建议：复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一.复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材.对于复数加法、减法运算的几何意义，它不仅有一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合.本节中，由于复数的加法法则是规定的，建议从问题入手，引导学生思考，让学生了解这种规定的合理性.在复数加法的运算规律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作.对于复数减法的处理，建议采用类比的数学思想方法.对于例题和练习的设置，建议遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生.新课导入一知识再现： 1.复数、点、向量之间的对应关系：复数z a bi =+ ←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 。
2.实数可以进性加减乘除四则运算，且运算结果仍是一个实数，那么复数呢？3.复数的概念及其几何意义.新课导入二我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算.。
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§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
复数z =a +bi (a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序b Z(a ，b)a oyx实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R).∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i=［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ，(3－4i )+(－4+5i )=－1+i ，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为A.32B.22C.2D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R).例2图8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R)分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1. 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则-=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i-=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i 。