【线性代数教学资料】线性代数(1)共52页
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(j1j2jn)
❖ τ为偶数时，称偶排列
❖ τ为奇数时，称为奇排列
❖公式 (j1j2jn)
❖ =kn+kn-1+…+k2 ❖ 其中kn是第k个数前面比它大的数的个
数。
❖ 注意：由定义可知，一个n元排列的逆 序数的计算方法：先算出jn前面比jn大 的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
❖下去，直到算出j2前面比j2大的数K2, 于是得到排列的逆序数为
(j1j2jn) knkn 1k2
❖例1：计算下列排列的逆序数。并 判断其奇偶性
❖(1) 2431
(2) 54231
❖(3) n(n-1)…3 2 1
❖(4) 135…(2n-1)246 …2n
解:(1)(243)1
K4K3K2
3104
❖ 定义1.3 把一个排列中某两个数的位置互 换，其余数的位置不动，这种变换称一个对 换。
❖ 定理：经过一次对换，排列的奇偶性改变
❖ 证明： 1°先证相邻两数对换
❖
该排列…ij…
❖
→…ji…
❖ 当i<j时， i的逆序增加1，而j的逆序不变
❖ 当i>j时，j的逆序减少1，而i的逆序不变
❖ ∴改变了奇偶性
第一章 行列式
第一次课
§1.1 排列与逆序
§1.2 n阶行列式
❖ 目的要求:1.了解排列与逆序的定义,会求 排列的逆序数
❖
2.掌握二、三阶行列式的对角
线展开法
❖
3.了解n阶行列式的定义
❖ 注意：n阶行列式的展开式的特点
§1-1 排列与逆序
❖ 定义1.1：由n个不同元素1,2……n组成的有序 数组称为这n个元素的全排列,也称n 元排列。
❖ 例如:54123是一个五元排列 ❖ 例如:13x52是一个五元排列，x必为4 ❖ 例如:3元排列有 123 ; 132 ; 213
312 ; 321 ; 231
❖ 一共有6个。一般表示为j1j2j3
❖注意:n元排列的所有排列种数,共 有 n!个.事实上,从n个元素中任取一个 放在第一个位置上,有n种取法.又从 剩下的n-1个元素中任取一个放在第 二个位置上,有n-1种取法……直到最 后只剩下一个元素放在第n个位置上. 只有1种取法,于是n元排列有
[ 1 ( 2 3 n 5 ) 2 5 n ( 3 ) 2 n ( 1 ) ( 2 n ) 2 n ( 2 ) 2 n ( 4 ) 4 ]
对于 (2n2)前,比它大:2的 个数 (2n4)前,比它大的 :4个 数
(2n6)前,比它大的 :6个 数
6前 ,比 6大的 :(2n 数 6)个 4前 ,比 4大的 :(2n 数 4)个
从前往后 ,前算 n个数无逆序数
2前面2比 大的数n有 1个
(除1之外)
4前面 4大 比的n数 2个 有
(除1,3之外)
2 (n 1 )前面 2 (n 1 )比 大的 1 • 个 :数 2 n 1有
(1 3(2 n 5 1 )2 42 n 6 )
( n 1 ) ( n 2 ) 2 1 0 12 n(n 1)
C2n
n(n1)组 2
每两个数要么,要 顺么 序逆序 而(j1j2 jn)K,
现由 j1j2jn
变为jnjn1j1
则顺序全变成逆序 故
(jnjn1j1)n(n21)K
§1.2 n阶行列式
❖ 一、二阶与三阶行列式
❖ 中学阶段，我们学过用加减消元，也称 高斯消元解二元线性方程组
aa211x1x11aa2122xx22bb21
(1) (2)
❖ 为了消去x2
(1)a22 (2)a1得 2
❖ (a11a22－a12a21)x1=b1a22－b2a12
❖ 当a11a22-a12a21≠0
❖ 唯一解
x
1
x
2
b1a 22
a11a 22 b 2a11
a11a 22
b 2a12
a12a 21 b1a 21
a12a 21
❖ 但当a11a22-a12a21=0时结果怎样??
该排列为偶排列
解:(2)(542)31
K 5K4K 3K2
422 1
9
该排列为奇排列
解 :(3) (n(n1)32 ) 1
K nK n1K 2
(n 1 ) (n 2 ) 1
1 (n 1)n 2
当n4K或4K1时,该排列是偶
当 n4K2或 4K3时 ,该排列是奇
解 :(4 )(1 3 (2 n 5 1 )2 4 2 n ) 6
2前 ,比 2大的 :(2n 数 2)个
[ 1 ( 3 2 n 5 ) 5 2 n ( 3 ) 2 n ( 1 )( 2 n ) 2 n ( 2 ) 2 n ( 4 ) 6 ]
( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) ( 2 n 6 ) 6 4 2
2[n(n1)]n(n1) 2
❖如
2xx11
2x2 4x2
1 2
❖当 1×4-2×2=0
❖ 实际上只有一个有效方程.此时有无穷多 解.
❖ 又如
2xx11
2x2 4x2
1 3
❖当 1×4-2×2=0
❖ 但两方程矛盾
❖ ∴无解
❖ 显然,a11a22－a12a21≠0是方程组是否有 解起了关键作用.
❖ 例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列 ❖ 解:由定义:i,j只能取6,8两个数 ❖当i=6 j=8 ❖ τ(397261584)=20 ❖ ∴该排列为偶排列 ❖ 例3：已知: ❖135… (2n-1)(2n)(2n-2) …42 ❖ 求该排列的逆序数
解 :(1 3 (2 n 5 1 )2 n ()2 n ( 2 ) 6)42
❖ 2°再证一般性
❖
该排列…ik1k2…kmj…Biblioteka Baidu
经过 m1次jiK 1K2Km
经过 m次 JK 1K2Kmi
❖一共经过2m+1次相邻对换，也改变 了奇偶性。
❖例4 若排列j1j2…jn的逆序数 τ(j1j2…jn)=K 证明：
(jnjn 1j2j1)n(n 2 1)K
证明:n元排列,中 任意两个数做一组
n·(n-1)·(n-2)……3·2·1=n!
❖ 上例三元排列中，只有123的数字是从小到 大按自然数的顺序,其他排列中都有大的数排 列在小的数之前,因此,引入逆序和逆序数的 概念
❖ 定义1.2 在一个排列中,如一个较大的数排 在一个较小的数前面,就称这两个数构成一个 逆序.一个n元排列中所有逆序的总数,称为这 个排列的逆序数.记作
❖ τ为偶数时，称偶排列
❖ τ为奇数时，称为奇排列
❖公式 (j1j2jn)
❖ =kn+kn-1+…+k2 ❖ 其中kn是第k个数前面比它大的数的个
数。
❖ 注意：由定义可知，一个n元排列的逆 序数的计算方法：先算出jn前面比jn大 的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
❖下去，直到算出j2前面比j2大的数K2, 于是得到排列的逆序数为
(j1j2jn) knkn 1k2
❖例1：计算下列排列的逆序数。并 判断其奇偶性
❖(1) 2431
(2) 54231
❖(3) n(n-1)…3 2 1
❖(4) 135…(2n-1)246 …2n
解:(1)(243)1
K4K3K2
3104
❖ 定义1.3 把一个排列中某两个数的位置互 换，其余数的位置不动，这种变换称一个对 换。
❖ 定理：经过一次对换，排列的奇偶性改变
❖ 证明： 1°先证相邻两数对换
❖
该排列…ij…
❖
→…ji…
❖ 当i<j时， i的逆序增加1，而j的逆序不变
❖ 当i>j时，j的逆序减少1，而i的逆序不变
❖ ∴改变了奇偶性
第一章 行列式
第一次课
§1.1 排列与逆序
§1.2 n阶行列式
❖ 目的要求:1.了解排列与逆序的定义,会求 排列的逆序数
❖
2.掌握二、三阶行列式的对角
线展开法
❖
3.了解n阶行列式的定义
❖ 注意：n阶行列式的展开式的特点
§1-1 排列与逆序
❖ 定义1.1：由n个不同元素1,2……n组成的有序 数组称为这n个元素的全排列,也称n 元排列。
❖ 例如:54123是一个五元排列 ❖ 例如:13x52是一个五元排列，x必为4 ❖ 例如:3元排列有 123 ; 132 ; 213
312 ; 321 ; 231
❖ 一共有6个。一般表示为j1j2j3
❖注意:n元排列的所有排列种数,共 有 n!个.事实上,从n个元素中任取一个 放在第一个位置上,有n种取法.又从 剩下的n-1个元素中任取一个放在第 二个位置上,有n-1种取法……直到最 后只剩下一个元素放在第n个位置上. 只有1种取法,于是n元排列有
[ 1 ( 2 3 n 5 ) 2 5 n ( 3 ) 2 n ( 1 ) ( 2 n ) 2 n ( 2 ) 2 n ( 4 ) 4 ]
对于 (2n2)前,比它大:2的 个数 (2n4)前,比它大的 :4个 数
(2n6)前,比它大的 :6个 数
6前 ,比 6大的 :(2n 数 6)个 4前 ,比 4大的 :(2n 数 4)个
从前往后 ,前算 n个数无逆序数
2前面2比 大的数n有 1个
(除1之外)
4前面 4大 比的n数 2个 有
(除1,3之外)
2 (n 1 )前面 2 (n 1 )比 大的 1 • 个 :数 2 n 1有
(1 3(2 n 5 1 )2 42 n 6 )
( n 1 ) ( n 2 ) 2 1 0 12 n(n 1)
C2n
n(n1)组 2
每两个数要么,要 顺么 序逆序 而(j1j2 jn)K,
现由 j1j2jn
变为jnjn1j1
则顺序全变成逆序 故
(jnjn1j1)n(n21)K
§1.2 n阶行列式
❖ 一、二阶与三阶行列式
❖ 中学阶段，我们学过用加减消元，也称 高斯消元解二元线性方程组
aa211x1x11aa2122xx22bb21
(1) (2)
❖ 为了消去x2
(1)a22 (2)a1得 2
❖ (a11a22－a12a21)x1=b1a22－b2a12
❖ 当a11a22-a12a21≠0
❖ 唯一解
x
1
x
2
b1a 22
a11a 22 b 2a11
a11a 22
b 2a12
a12a 21 b1a 21
a12a 21
❖ 但当a11a22-a12a21=0时结果怎样??
该排列为偶排列
解:(2)(542)31
K 5K4K 3K2
422 1
9
该排列为奇排列
解 :(3) (n(n1)32 ) 1
K nK n1K 2
(n 1 ) (n 2 ) 1
1 (n 1)n 2
当n4K或4K1时,该排列是偶
当 n4K2或 4K3时 ,该排列是奇
解 :(4 )(1 3 (2 n 5 1 )2 4 2 n ) 6
2前 ,比 2大的 :(2n 数 2)个
[ 1 ( 3 2 n 5 ) 5 2 n ( 3 ) 2 n ( 1 )( 2 n ) 2 n ( 2 ) 2 n ( 4 ) 6 ]
( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) ( 2 n 6 ) 6 4 2
2[n(n1)]n(n1) 2
❖如
2xx11
2x2 4x2
1 2
❖当 1×4-2×2=0
❖ 实际上只有一个有效方程.此时有无穷多 解.
❖ 又如
2xx11
2x2 4x2
1 3
❖当 1×4-2×2=0
❖ 但两方程矛盾
❖ ∴无解
❖ 显然,a11a22－a12a21≠0是方程组是否有 解起了关键作用.
❖ 例2：求i,j。使排列3972i15j4是偶排列 ❖ 解:由定义:i,j只能取6,8两个数 ❖当i=6 j=8 ❖ τ(397261584)=20 ❖ ∴该排列为偶排列 ❖ 例3：已知: ❖135… (2n-1)(2n)(2n-2) …42 ❖ 求该排列的逆序数
解 :(1 3 (2 n 5 1 )2 n ()2 n ( 2 ) 6)42
❖ 2°再证一般性
❖
该排列…ik1k2…kmj…Biblioteka Baidu
经过 m1次jiK 1K2Km
经过 m次 JK 1K2Kmi
❖一共经过2m+1次相邻对换，也改变 了奇偶性。
❖例4 若排列j1j2…jn的逆序数 τ(j1j2…jn)=K 证明：
(jnjn 1j2j1)n(n 2 1)K
证明:n元排列,中 任意两个数做一组
n·(n-1)·(n-2)……3·2·1=n!
❖ 上例三元排列中，只有123的数字是从小到 大按自然数的顺序,其他排列中都有大的数排 列在小的数之前,因此,引入逆序和逆序数的 概念
❖ 定义1.2 在一个排列中,如一个较大的数排 在一个较小的数前面,就称这两个数构成一个 逆序.一个n元排列中所有逆序的总数,称为这 个排列的逆序数.记作