高中数学：简单的线性规划 调整最优解

答（略）
例题分析
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y
y 15
B(3,9)
9
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
x+y =0
2 1 0 12 78
x
18
27
作出一组平行直线t = x+y, 2x+y=15
x+2y=18 x+3y=27
（在包括边界的情况下）
2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先求出该 点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域内适当放缩目 标函数值,使它为整数,且与Z最接近,在这条对应的直线 中,取可行域内整点,如果没有整点,继续放缩,直至取到整 点为止。
3.在可行域内找整数解,一般采用平移找解法,即打网络、 找整点、平移直线、找出整数最优解；还可以用调整最 优值法。
。
l
l2
若实数x , y满足 3xx45yy235求z=2x+y的取值范围
x 1
y
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
A(5,2), B(1,1),
x=1 6
C(1, 22)。 5
作斜率为-2的直线
l：2x y - z 0，
5• 4 C•
3
使之与平面区域有公共点, 2
x-4y+3=0
A •
卡车为504元,问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低,最
低解为：多设少每元天？调出(要的A求型每车型x 卡车至少安排y一辆）
辆,B型车y辆,公司所花的费用 4x+5y=30
x+y=10
x=8
为z元,则
{x≤8 y≤4 x+y≤10 4x+5y≥30
4
3 2
x,y∈N* Z=320x+504y
1
10 B(3,9) 8 C(4,8)
A(18/5,39/5)
6 4 2
02
作出一组平行直线z=x+y,
4
6 8 12 18
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x 27
x+3y=27
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8) 直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.
巩固练习1:
x 0
y
不等式组
y
0
表示的平面区域内的整数点共有
4x 3y 12 4
3
（ ）个
2
1
0
1
2
34
x
4x+3y=12
练习2：求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、 纵坐标为整数）的个数。
y
共有：
•4 ••• •••• •
9 + 2 ( 7 + 5 + 3 + 1－) 4•
求S 5x 4 y的最大值。
3 x2 y10 x4 y11
x , yZ x0 , y0
3.深圳市福田区水泥制品厂生产两种水泥,已知生产甲种水泥 制品1吨,需矿石4吨,煤3吨；生产乙种水泥制品1吨,需矿石5 吨,煤10吨,每1吨甲种水泥制品的利润为7万元,每1吨乙种水 泥制品的利润是12万元,工厂在生产这两种水泥制品的计划中, 要求消耗的矿石不超过200吨,煤不超过300吨,甲乙两种水泥 制品应生产多少,能使利润达到最大值？
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,
在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解. 答:(略)
在可行域内找出最优解、线性规划整数 解问题的一般方法是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解；
x=1
22
把z看成参数,同样是一组平行线6 ,
且平行线与可行域有交点。 5 •
最大截距为过C(1, 22)
5
的直线 l1
最小截距为过A(5,2)
l1
C• 4 3
的直线 l 2
注意：直线取最大截距时,
2 1 B•
等价于
1z
取得最大值,则z取2 得最小 -1 O 1
23 4
值 z m in
1
2
22 5
39 l0
5
-1
l2
A
x-4y+3=0
•
3x+5y-25=0
56 7
x
同理,当直线取最小截距时,z有最大值
zmax 5 2 2 1
变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
作斜率为 3 的直线
5
l：3x 5y - z 0，
使之与平面区域有公共点,
由图可知,当 l 过B(1,1)时,
y=4
X
作出可行域
0 1 2 34 5 6 7 8
作出可行域中的整点,
可行域中的整点（5,2）使Z=320x+504y取得最小 值,且Zmin=2608元
320x+504y=0
课后练习:
1.在x,y的值都是不小于0的整数点（x,y)中，
满足x + y ≤ 4的点的个数为_____1_5_
2. 设变量x, y满足条件
或
zmax 31 5 5 25
23 4 56 7
l0 l1
l
l2x
例题分析：关于取整数解的问题
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格,每张
钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型 钢板类型
第一种钢板 X张
A规格 2
B规格 1
C规格 1
第二种钢板 y张
1
2
3
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截 这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢 板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图）
例题分析
{2x+y≥15, x+2y≥18,
x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N
y 15
调整优值法
目标函数z= x+y x+y =0
= 41
• • •
••••
• •
••o••
• •
• • •
• • •
•4
x
•••• •
••• －4•
3.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资
的任务,该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的
B型卡车,有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4
次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元,B型
ｚ的值最小,当 l
过A(5,2)、C(1, 22)时, z的值最小, 5
y x=1
6
5• 4 C•
3
2 1 B•
本题以最大值解为坐 标的点落在线段AC上, 即线段AC上所有点的 坐标为最大值解
A
x-4y+3=0
•
3x+5y-25=0
zmin 31 51 8 -1 O 1
-1
zmax
3
5
5
2
22
25
③ 你能否设计一个目标函数,使得其取最优解的
情况有无穷多个？
④ 请你分别设计目标函数,使得最值点分别 在A处、B处、C处取得？
⑤ (课后思考题）若目标函数是 z=x2+y2 ,
你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得
zmin和zmax
？如果是 z
y 1或 z x
2y 3 x 1
呢？
(如图2,①②问参考答案: ① z=x+y 在 点A 处有最大值 6 ,在边界BC处有最小值 1 ；②z=x+y 在 点C 处有最大值 1 ,在 点 B 处有最小值 -3)
6
5• 4 C•
3
wenku.baidu.com2 1 B•
x-4y+3=0 A •
3x+5y-25=0
使 z=2x+y 取 得 最 大 值 的 可 行 解为 (5,2) ,
-1
O
1
23 4 56 7
x
且最大值为 12 ；
-1
使z=2x+y取得最小值的可行解 (1, 1) ,
且最小值为 3 ；
l0 l1
最优解
这两个最值都叫做问题的
y
B
(1 , 2)
A (2 , 4)
x y 6
y x yA 3
(2 , 4)
B
(1, 2)
x y 1
0C (1 , 0)
x
x y 1
（ 图2 ）
0C
(1, 0)
x
复习引入: 若实数x , y满足 3xx45yy235,求z=2x+y的取值范围. y x 1
（1）画出不等式组所表示的平面区域； x=1
（ 2 ） 设 z=2x+y, 则 式 中 变量x,y满足的二元一次 不 等 式 组 叫 做 x,y
的 线性约束条件；
z=2x+y 叫做 线性目标函数 ；
满足 线性约束条件 的解(x,y)都 叫做可行解；
y
A(2,4)
【练习4】
B(-1,2)
如图1所示,已知△ABC中的三顶点
A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点P(x,y) 在△ABC内部及边界运动,
0 C(0,1)
x
请你探究并讨论以下问题：
（图1）
① z=x+y在_____处有最大值___,在____处有最小值____；
② z=x-y 在___处有最大值____,在____处有最小值____；
由图可知,当l过B(1,1)时ｚ 1 B•
的值最小,当l过A(5,2)时, z
的值最大.
-1 O 1 2 3 4
3x+5y-25=0
56 7
x
-1
zmin 2 11 3 zmax 2 5 2 12
l0 l1
l
l2
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：目标函数变形为 y
y 1x1z