2013年江苏省海门中学自主招生考试数学试卷

2013年江苏省海门中学自主招生考试数学试卷
一、选择题
1． 计算：329632-÷--+m m m m 的结果为（ ） A 1 B 33+-m m C 33-+m m D 3
3+m m 2． 下列说法正确的是：（ ）
A 两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定
B 某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生
C 学校气象小组预报明天下雨的概率为，则明天下雨的可能性较大
D 为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法
3． 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果 43=∠α，则β∠的度数是（ ）
A 43
B 47
C 30 D
60
4． 如图，O 是锐角⊿ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ∶OE ∶OF=（ ）
A c b a :: B
c
b a 1:1:1 C C B A cos :cos :cos D C B A sin :sin :sin 5． 用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
6． 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 2
35
352只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ） A 2116-<<-a B 2116-<≤-a C 2116-≤<-a D 2
116-≤≤-a 7． 某品牌电视机连续两次降价20℅后，又再降价10℅，或者连续两次降价25℅，则前者的售价比后者的售价（ ）
A 少2℅
B 不多也不少
C 多5℅
D 多1.35℅
8． 已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于点()0,2-，()0,1x ，且211<<x ，与y 轴的正半轴的交点在()2,0的下方，下列结论：①024=+-c b a ；②0<<b a ；
③02>+c a ；④012>+-b a ，其中正确结论的个数有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
二．填空题
9． 计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛----2211826 10． 函数12
-=x y 中，自变量x 的取值范围为
11． 已知31=-
x
x ，那么多项式5723+--x x x 的值是 12． 如图，双曲线x
k y =经过OMN Rt ∆斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA=2AN ，OAB ∆的面积为5，则k 的值是
13． 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，以A 为圆心，AD 为半径的圆与
BC 边相切于点M ，于AB 交于点E ，将扇形A-DME 剪下围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为
14． A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 上的六个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率
是 。

15． 如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC
的延长线交于点F ，BE 与DE 交于点O ，若ADE ∆的面积为S ，则四边形BOGC 的面积=
16． 如图，在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图
画了出来，如图所示，则这堆正方全货箱共有 箱。

17． 代数式1342222+-+
++x x x x 的最小值为 18． 已知 ,3906255,781255,156255,312558765====，则20135的末4位数
是 。

三．解答下列各题（共78分）
19． 已知：如图，在四边形ABCD 中， 90=∠ABC ，CD ⊥AD ，2
222AB CD AD =+ ⑴求证：AB=BC ；⑵当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE=AE+CD
20． 若关于x 的方程
x
kx x x x x k 1122+=---只有一个解，试求k 的值与方程的解。

21． 已知实数c b a ,,满足：4,2==++abc c b a 。

⑴求c b a ,,中的最大者的最小值；⑵求c b a ++的最小值。

22． 如图，已知抛物线p nx mx y ++=2与562
++=x x y 关于y 轴对称，与y 轴交于点M ，与x 轴交于点A 和B 。

求⑴p nx mx y ++=2
的解析式为 ，试猜想出与一般形式抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的二次函数解析式为
⑵若A 、B 的中点是点C ，求CMB ∠tan ；
⑶如果过点M 的一条直线与p nx mx y ++=2
图象相交于另一点()b a N ,，b a ≠，且满足0,02
2=+-=+-q b b q a a （q 为常数），求点Ｎ的坐标。

23． 如图，已知ABC ∆内接于⊙Ｏ，点E 在弧BC 上，AE 交BC 于点D ，EA
ED EB ⋅=2经过B 、C 两点的圆弧交AE 于I
⑴求证：ABE ∆∽BDE ∆；
⑵如果BI 平分ABC ∠，求证：EI AE BD AB = ⑶设O 的半径为5，BC=8， 45=∠BDE ，求AD 的长。

24． 已知以()2,0A ，()0,2B ，()0,0O 三点为顶点的三角形被直线a ax y -=分成两部分，
设靠近原点O 一侧部分的面积为S ，
⑴试写出用a 表示的S 的解析式；
⑵求S 的取值范围。