等差数列与等比数列PPT教学课件(1)
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数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
人教版高中数学课件-等差数列与等比数列
第9講 │ 要點熱點探究
【解答】 (1)a10＝10，a20＝10＋10d＝40，∴d＝3. (2)a30 ＝ a20 ＋ 10d2 ＝ 10(1 ＋ d ＋ d2) ＝ 10 d＋122＋34 (d≠0)．当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈[7.5，＋∞)． (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…， a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，数列 a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差为 dn 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出 a10(n＋1)关于 d 的关系式， 并求出 a10(n＋1)的取值范围．研究的结论可以是：由 a40＝ a30＋10d3＝10(1＋d＋d2＋d3)，依次类推可得：a10(n＋1)＝
第9講 │ 要點熱點探究
已知数列 a1，a2，…，a30，其中 a1，a2，…，a10 是首项 为 1，公差为 1 的等差数列；a10，a11，…，a20 是公差为 d 的等差 数列；a20，a21，…，a30 是公差为 d2 的等差数列(d≠0)．
(1)若 a20＝40，求 d； (2)试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围； (3)续写已知数列，使得 a30，a31，…，a40 是公差为 d3 的等差 数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类 似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结 论？
(2)已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，
则等比数列{an}的公比 q 的值为( )
1 A.4
1 B.2
C．2
D．8
(1)2 (2)B 【解析】 (1){an}为等比数列，所以 a4－ a3＝a2q2－a2q＝4，即 2q2－2q＝4，所以 q2－q－2＝0，解得 q ＝－1 或 q＝2.又{an}是递增等比数列，所以 q＝2.
2019高考数学一本策略复习专题三数列第一讲等差数列、等比数列课件文
[全练——快速解答 ]
3．(2018·天津模拟)已知等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn，且 8a2a4＝ a3a6，则Sa43＝___78_____.
由 8a2a4 ＝ a3a6 可 得 8a23＝a3a6，故 a6＝8a3， 设公比为 q，则 q3＝8，
q
＝
2
，
故
S3 a4
＝
a11＋a1qq3＋q2＝78.
2×2－1 2
×d
＋
4a1
＋
4×24－1×d，将 a1＝2 代
入上式，解得 d＝－3，
故 a5 ＝ a1 ＋ (5 － 1)d＝ 2 ＋ 4×(－3)＝－10.
故选 B.
[全练——快速解答 ]
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列
{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，
a3，a6 成等比数列，则{an}前 6 项
专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 课后训练 提升能力
年份 2018
卷别 Ⅰ卷
Ⅲ卷
考查角度 及命题位 置 等比数列 的判定及 通项求 法·T17
等比数列 的基本运 算及应 用·T17
命题分析及学科素养
命题分析 (1)高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数 列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减 法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主 要突出数学思想的应用． (2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在 17 题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客 观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现 在第 12 题或 16 题位置上，难度偏大，复习时应 引起关注． 学科素养 主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明及 基本运算考查逻辑推理与数学运算两大核心素养.
2015届高考数学(文)二轮专题课件：3.1等差数列与等比数列
栏 目 链 接
主干考 梳理
3．(2014· 新课标Ⅱ卷)等差数列{an}的公差是 2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( A ) A．n(n＋1) n（n＋1） C. 2 B．n(n－1) n（n－1） D. 2
栏 目 链 接
主干考 点梳理 解析：由已知得， a24＝a2·a8，又因为 {an}是公差
2
2
主干考 点梳理
考点2
等比数列的概念及通项公式
an＋1 1．等比数列的定义． an 数列{an}满足________＝q(其中 an≠0，q 是与 n
值无关且不为零的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 2．等比数列的通项公式． 若等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，则 an ＝
qn －1＝am·________( qn－m a1· ____ n，m∈N*)．
为 2 的等差数列，故(a2＋2d)2＝a2·(a2＋6d)，(a2＋4)2 ＝a2· (a2＋12)， 解得 a2＝4， 所以 an＝a2＋(n－2)d＝2n， n（a1＋an） 故 Sn＝ ＝n(n＋1)． 2
栏 目 链 接
主干考 点梳理 4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2 是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( B ) A．90 B．100 C．145 D．190
栏 目 链 接
∴bn＝2cn＝2n. ∴T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋„＋log2bn ＝log22＋log222＋log223＋„＋log22n n（ n＋1） ＝1＋2＋3＋„＋n＝ . 2
高考热 点突破 规律方法 (1) 涉及等差数列的 有关问题往往用待定系数法 “知三求二”进行解决．
4-3-1等比数列的概念(第一课时)课件(人教版)
析 (2)a2＋a5＝18，a3＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，，
③ ④
由④÷③得 q＝21，从而 a1＝32.
解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，
又 an＝1，所以 32·12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
分析：三个数成等比数列，可怎么设为？
解： 设前三个数分别为a，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a， q
a＋ 由题意得 q
2aq－a
＝21，
a＋aq＝18，
解得 q＝2 或 q＝35.
当 q＝2 时，a＝6，这四个数为 3,6,12,18；
an a1q n1
当q=1时，这是一 个常数列， an ≠ 0。
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用。
小试牛刀
求下列等比数列的通项公式
(1)2，4，8，16，32，64, … (2) 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 4 8 16 (3)1，3，9，27，81，243，…
an 2 2n1 2n
（第一课时）
复习回顾
1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列. 符号表示：
2.等差中项的定义：
如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b 的等差中项,
A ab. 2
3.等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d , n N 不完全归纳法、累加法
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
等差数列与等比数列PPT精品课件_1
★ 剑竹大批枯死会引起大熊猫大量死亡；
★ 田野中害虫因为青蛙的大量繁殖而减少 …………
得出结论： 气候、食物、敌害等生活环境因素的变 化，对动物的寿命会有较大的影响。
动物还能在这里生活吗？ 这样的污染鱼还能活吗?
４、右图表示昆虫的变态发
育过程，据图回答：
Ａ
（１）图中Ｂ和Ｄ分别表示
__受_精__卵_期和__蛹____期。 Ｂ
成蛙
受精卵
幼蛙
胚胎
蛙的生活周期
蝌蚪
死亡
中年期 青春期
受精卵
儿童期
婴儿期
幼儿期
成蛙 幼蛙
受精卵 蝌蚪
成虫
蛹
受精卵 幼虫
死亡
成虫
受精卵
若虫
蝌蚪和成蛙的比较：
生活环境 运动器官 运动方式 呼吸器官
蝌蚪 水中
鳍
游泳
鳃
成蛙 陆上和水中
四肢
跳跃 肺和皮肤
像青蛙从幼体到成体的发育过程中， 在生活和形态结构上要发生很大的改变，
4.近年来，我国沿海局部海区藻类大量繁殖，出现
了“赤潮”，造成了大量鱼虾死亡的主要原因是C（
A.细菌感染
B.藻类与鱼虾争夺食物
C.水中溶解氧减少 D.藻类产生大量的有毒物质
5.下列各项中，描述了生物的一个完整生命周期的
是（ A ）
A.大豆从种子萌发到开花结果
B.人从婴儿期到成年期
C.受精的鸡蛋发育成能下蛋的母鸡
甲缸是由于自来水中的漂白粉释放的氯气使鱼死亡 乙缸是由于自来水中没有溶解氧使鱼死亡
返回
课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 点，在括号内适当的一个数是__3_1__.
★ 田野中害虫因为青蛙的大量繁殖而减少 …………
得出结论： 气候、食物、敌害等生活环境因素的变 化，对动物的寿命会有较大的影响。
动物还能在这里生活吗？ 这样的污染鱼还能活吗?
４、右图表示昆虫的变态发
育过程，据图回答：
Ａ
（１）图中Ｂ和Ｄ分别表示
__受_精__卵_期和__蛹____期。 Ｂ
成蛙
受精卵
幼蛙
胚胎
蛙的生活周期
蝌蚪
死亡
中年期 青春期
受精卵
儿童期
婴儿期
幼儿期
成蛙 幼蛙
受精卵 蝌蚪
成虫
蛹
受精卵 幼虫
死亡
成虫
受精卵
若虫
蝌蚪和成蛙的比较：
生活环境 运动器官 运动方式 呼吸器官
蝌蚪 水中
鳍
游泳
鳃
成蛙 陆上和水中
四肢
跳跃 肺和皮肤
像青蛙从幼体到成体的发育过程中， 在生活和形态结构上要发生很大的改变，
4.近年来，我国沿海局部海区藻类大量繁殖，出现
了“赤潮”，造成了大量鱼虾死亡的主要原因是C（
A.细菌感染
B.藻类与鱼虾争夺食物
C.水中溶解氧减少 D.藻类产生大量的有毒物质
5.下列各项中，描述了生物的一个完整生命周期的
是（ A ）
A.大豆从种子萌发到开花结果
B.人从婴儿期到成年期
C.受精的鸡蛋发育成能下蛋的母鸡
甲缸是由于自来水中的漂白粉释放的氯气使鱼死亡 乙缸是由于自来水中没有溶解氧使鱼死亡
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 点，在括号内适当的一个数是__3_1__.
【步步高】高考数学考前3个月(上)专题复习专题三第一讲等差数列与等比数列课件
解 设{an}的首项为 a1，公差为 d，
本 讲 栏
则aa11＋＋32dd＋aa11＋ ＋65dd＝＝0－，16，
目 开 关
即aa211＋＝8－da41d＋，12d2＝－16，
解得ad1＝＝2－8 或ad1＝＝－8，2，
因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9) 或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).
本 讲 栏 目 开 关
考点与考题
第一讲
第一讲 等差数列与等比数列
本
讲 栏
【考点整合】
目 开
1.等差数列
关 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数).
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (3)前 n 项和公式：Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d.
(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
则 a1＋a10＝
()
本 A.7
B.5
C.－5
D.－7
讲 栏 目 开
解析 方法一 由题意得aa45＋ a6＝a7＝ a1qa41×q3＋ a1qa51＝q6＝ a21q29，＝－8，
关
∴qa31＝ ＝－ 1 2，
或q3＝－12， a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
考点与考题
第一讲
故 a2＝a1＋d＝1. 答案 1
题型与方法
第一讲
题型一 等差数列的有关问题
本
讲 题型概述 等差数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考
栏
目 查等差数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重
开
关 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.
题型与方法
等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
返回
课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
Sports
等差数列和等比数列的应用教学课件
数学建模
等差数列在数学建模中有着广泛的应用，如解决物 理学、工程学等领域的问题。
统计学
在统计学中，等差数列常被用于描述和分析数据， 如时间序列分析、人口统计等。
计算机科学
在计算机科学中，等差数列被用于实现各种算法和 数据结构，如二分查找、快速排序等。
03 等 比 数 列 的 应 用
等比数列在日常生活中的应用
02
等比数列在物理学中 的应用
等比数列在物理学中也有着重 要的应用，例如在研究波的传 播、电磁波的传播等方面。
03
等比数列在经济学中 的应用
等比数列在经济学中也有着广 泛的应用，例如在研究复利、 股票价格等方面。
04
等差数列和等比 数列的交叉应用
等差数列和等比数列的相互转化
01 等差数列与等比数列的定义
储蓄和贷款
等比数列在计算复利、计算贷款利息
等方面有广泛应用。 01
增长率计算
等比数列可以用于计算增长率，例如
预测未来销售额、人口增长等。
03
资产评估
等比数列可以用于计算资产的增长和
折旧，例如房屋、车ຫໍສະໝຸດ 等。 02等比数列在数学和其他学科中的应用
01
等比数列在数学中的 应用
等比数列在数学中有着广泛的 应用，例如在解决几何问题、 组合数学问题等方面。
的应用。
等差数列和等比数列的组合应用题解析
解题思路
掌握等差数列和等比数列的性质，灵活运 用公式，是解决这类问题的关键。
等差数列和等比数列组合
等差数列和等比数列组合在一起，可以形 成多种复杂的应用题。
实际应用
等差等比组合应用题在日常生活和工作中 有着广泛的应用，掌握这类题目的解法十
高三高考数学复习等差数列、等比数列(共29张PPT)
即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，
即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是
“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、
公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等． 精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
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变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
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法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d
等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
an 2
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
数列—等差数列与等比数列(初等数学课件)
am an 2ap 。
例题讲解
例 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an1
+1 = 1 +
an bn
an2 bn2
b 2
∈ ∗ ，求证：数列 n 是等差数列。
an
证明 由题意知
an1
an bn
an2 bn2
1
bn
an
bn
1
an
2ຫໍສະໝຸດ bn1 bn 1
an
2
n N ，
例题讲解
2
2
2
bn1 bn
bn
bn1
1
所以
1 ，从而
初等数学研究
等差数列
等差数列的概念
如果数列 an 满足
an1 an d n N , d为常数
那么这个数列就叫做等差数列，常数 d 叫做等差数列的公差。
等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1d ，其前 n 项的和为
等差数列的性质
（1）设 an 是公差为 d 的等差数列。则 an b, b都是常数 是公差为 d
的等差数列。
（2）设 an ，bn 是等差数列，则 1an 2bn 1, 2都是常数也是等差数列。
（3）设 an ， bn 是等差数列，且 bn N ，则 abn 也是等差数列。
（ 4 ） 若 m n p q ， 则 am an ap aq 。 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ，
an1
an1 an
4.3等比数列(一)PPT课件(人教版)
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an=a1qn-1
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
这些你都记 得吗？
三、等差中项法
探究一：等比数列的定义
视察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... (3)1, 1 , 1 , 1 , 24 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q.
例 3 等比数列{an}的前三项的和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比 中项．
变式 1:若 a,2a＋2,3a＋3 成等比数列，求 实数 a 的值．
变式2：一等比数列有3项，如果把第2项加上
4，那么所得3项就成等差数列，如果把这个等
差数列的第3项加上32， 那么所得的3项又成等 比数列，求原等比数列.
例1.在等比数列 an中,
(1)a4 27, q 3,求an; (2)a3 12,a4 18,求a1.
变式：求出下列等比数列中的未知项：
（1）2,a,8； a 4
(2)a5 =4,a7 =6,求a9. a9 9
例2.已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，求n；
变式训练：{an}为等比数列，求下列各值． (1) 已知 a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比 q. (2) a 4 · a 7 = 512，a3 + a 8 = 124,公比 q 为整数 求 a 10.
中职数学数列PPT课件
解答
根据等差数列的求和公式$S_n = na_1 + frac{n(n1)}{2}d$，代入$n = 10$，$a_1 = 1$，$d = 2$， 得到$S_{10} = 10 times 1 + frac{10 times 9}{2} times 2 = 100$。
解答
根据等差数列的性质一，有$a_3 + a_8 = a_1 + a_{10} = 2a_6$，代入已知条件$a_3 + a_8 = 10$， 得到$2a_6 = 10$，解得$a_6 = 5$。
3
等差数列与等比数列的通项公式 an=a1+(n-1)d（等差数列），an=a1*q^(n-1) （等比数列）。
其他类型数列简介
递推数列
由递推公式确定的数列，如斐波那契 数列。
复合数列
由两种或两种以上类型数列组合而成 的数列。
周期数列
具有周期性规律的数列，如三角函数 值数列。
数列在实际问题中应用
等差数列性质探讨
性质一
等差数列中任意两项之和等于它们前后两项之和，即$a_i + a_j = a_{i+1} + a_{ j-1}$（$i,j$为正整数，且$i neq j$）。
性质二
等差数列中任意一项的值都等于其前后两项值的平均数，即$a_i = frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$（$i$为正整数，且$i neq 1, n$）。
查找等问题。
数列在生物学中的应用，如利 用数列的模型描述生物种群的
增长、衰减等问题。
THANKS
感谢观看
实际问题中的数列模型
01
将实际问题抽象为数列模型，如人口增长模型、贷款还款模型
等比数列的概念及通项公式(一)PPT课件
2、等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
an=am+(n-m)d (n,m∈N*)
3、等差数列通项公式的推导方法：
归纳法
累 加 法最新课件
3
一、引入新课：
1.细胞分裂个数组成数列:
1,2,4,8,16,
2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:
1, 1 , 1 , 1, 1 , 2 4 8 16
最新课件
21
(2)证明：当 n≥2 时，
由 an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得 an ＝－1，又a2＝－1，
an－1
2
a1
2
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等
比数列．
最新课件
22
你有什么收获？
小结：填写下表
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数 ,那么这个数列 叫做等比数列.
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
最新课件
6
课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1, 1, 1, 1 ,
2 4 8 16
(3) 5，5，5，5，5，5，…
即9为该数列的第5项.
变 式 ： 3m 1是 该 数 列 中 的 项 吗 ？ 若 是 ， 是 第 几 项 ?
n1
分析：令3m1 3 2 ，则n=2m+3
最新课件
17
例 3 ： 已 知 { a n} 的 通 项 公 式 a n 3 n,求 证 ： { a n} 是
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差、等比数列的运用(1)
在利用an≥0，an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差数列前n项和Sn 的最值时，符号不能丢掉.
2.在能力· 思维· 方法4中，如果数不清项数，看不清下标， 将会出错.
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3.下列命题中正确的是( B
)
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列 B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是{an}为等比数列的 充要条件 C.数列既是等差数列，又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于1
4.等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则Sn 中最大的是 C ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
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延伸·拓展
5.已知数列{an}和{bn}满足b n
1 a1 2 a 2 n a n 1 2 n
(n∈
N+)，试证明：{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数 列. 【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan，应将其看做数列 {nan}的和Sn．而本题要证an+1-an为常数，故应在等式中消 去a1+2a2+…+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1， 就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列 和有关的问题的常用方法.
第3课时 等差、等比数列的运用 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.差数列前n项和的最值 设Sn是{an}的前n项和，则{an}为等差数列 Sn=An2+Bn，其中A、B是常数. {an}为等差数列， an ≥0 若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，n可由 确定 an+1≤0 若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，n可由 an≤0 an+1≥0 确定.
2.在能力· 思维· 方法4中，如果数不清项数，看不清下标， 将会出错.
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3.下列命题中正确的是( B
)
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列 B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是{an}为等比数列的 充要条件 C.数列既是等差数列，又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于1
4.等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则Sn 中最大的是 C ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
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延伸·拓展
5.已知数列{an}和{bn}满足b n
1 a1 2 a 2 n a n 1 2 n
(n∈
N+)，试证明：{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数 列. 【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan，应将其看做数列 {nan}的和Sn．而本题要证an+1-an为常数，故应在等式中消 去a1+2a2+…+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1， 就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列 和有关的问题的常用方法.
第3课时 等差、等比数列的运用 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.差数列前n项和的最值 设Sn是{an}的前n项和，则{an}为等差数列 Sn=An2+Bn，其中A、B是常数. {an}为等差数列， an ≥0 若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，n可由 确定 an+1≤0 若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，n可由 an≤0 an+1≥0 确定.
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 点，在括号内适当的一个数是__3_1__.
)，38的特
2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根
组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( D)
A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72
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Module 2 Me,my parents and my friends
Unit 1 I can speak English
Introduce yourself:
My name is …. I’m a …. I’m from …. I’m … years old. My favourite sport is ….
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误. 2.延伸拓展5中，证明一个数列是等比数列(或等差数列)， 用有限项作比(差)得出常数是典型错误，应用an+1与an关系.
【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用到 了数学中重要的思想方法.
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延伸·拓展
4.若a1，a2，a3成等差数列，公差为d；sina1，sina2，sina3 成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z
【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差
5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的 公共项由小到大排成的数列是{cn}. ①写出{cn}的前5项. ②证明{cn}是等比数列.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再
求，也是可行的，但运算量较大.
3 . 已 知 点 An(n,an) 为 函 数 F1∶y=√x2+1 上 的 点 ， Bn(n,bn) 为 函 数F2∶y=x上的点，其中n∈N+，设cn=an-bn(n∈N+). (1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较cn与cn+1的大小.
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
Play basketball Play table tennis
Play tennis Play Ridefoaotbbaiklel
Ride a Sing horse
Swim
What can Lingling do ?
She can swim, play football and play tennis.
Name:
Can Can’t
Play basketball
Play football Play table tennis Play tennis
A.20
B.22
C.24
D.28
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
3.等差(比)中项
如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差(比)数列， 则A叫a、b的等差(比)中项．A＝(a+b)/2或A＝±√ab
4.重要性质：
m+n=p+q
am+an＝ap+aq(等差数列)(m、n、p、q∈N*) am·an＝ap·aq(等比数列)
特别地 m+n=2p
am+an＝2ap(等差数列) am·an＝a2p(等比数列)
Listen and read
What can Betty do?
She can play football, play basketball and speak English.
What can’t Betty do?
She can’t speak Chinese.
What can Tony do?
第1课时 等差数列与等比数列
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差(比)数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差
(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列.
2.通项公式
等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1
Sports
play basketball
play football
play tennis
play table tennis
play the piano
ride a bike
ride a horse
sing
swim
Match
Check the answer
Look,read a数，且a2 ,a3/2,a1成等差数列， 则a4+a5a5+a6的值是( B )
A. 5 1 B. 5 1 C. 1 5
2
2
2
D. 5 1或 5 1
2
2
4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=___9______
5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的 值为( C )
My friend can’t speak English. Betty can’t play basketball.
Make a dialogue
Example: -A:Can Betty speak English? -B:Yes, she can. -A:Can Tony swim? -B:No,he can’t.