2018-2019年上海市上海中学高一下期末数学试卷及答案
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上海中学2019学年第二学期期终考试 数学试题
一、填空题 1. n 1lim 1_____________.n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭
2. 等差数列{}n a 中若13,21,2n a a d ===,则n = _____________.
3. 数列{}n a 中,已知*413.22,n n n a n N =-+∈,50为第_____________项.
4. {}n a 为等比数列,若1234126,52,a a a a a ++=-=则n a =_____________.
5. 用数学归纳法证明()()()()()*122.1.321n n n n n n n N +++=-∈……时,从“n = k 到 n = k + 1”,左边需增乘的代数式是____________.
6. 数列{}n a 满足()()1211,3,21,2,n n a a a n a n λ+===-=…,则3a 等于____________.
7. 数列{}n a 满足*1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==, 则2019x =_____________.
8.数列{}n a 满足下列条件:11a =,且对于任意正整数n ,恒有2n n a a n =+,则512a =____________.
9. 数列{}n a 定义为11cos ,sin cos ,1,n n a a a n n θθθ+=+=+≥则21n S +=____________. 10. 已知数列{}n a 是正项数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 若11
n n n n a b S S ++=, n T 是数列{}n b 的前n 项和,则99T =_____________. 11.一个三角形的三边成等比数列,则公比q 的范围是_____________.
12. 数列{}n a 满足123451,2,3,4,5,a a a a a =====≥当n 5时,
112...a 1n n a a a +=-…,则是否存在不小于2的正整数m ,使2221212...m m a a a a a a =+++……成立?若存在,则在横线
处直接填写m 的值;若不存在,就填写“不存在”_____________.
二、选择题
13. 已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且10100S =,则7a 的值为( )
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知321510.9S a a a =+=,则1a =( ) A. 13 B. 1-3 C. 19 D. 1-9
15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,112,0,3m m m S S S -+=-==,则m = ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
16. 设02a π
<<,若()()11sin ,x sin 1.2.3n x n x n αα+===…,则数列{}n x 是( )
A.递增数列
B. 递减是咧
C.奇数项递增,偶数项递减的数列
D.偶数项递增,奇数项递减的数列
三、解答题
17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,4662,75,S S =-=-求数列{}n a 前n 项和。
18. 已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =-+∈.
(1)求{}n a 的通项公式: (2)若数列{}n b 满足:()*133log log n n a n b n N
++=∈,求{}n b 的前n 项和n
T (结果需化简).
19. 某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不作广告宣传且每件获得a 元的前提下,可卖出b 件。
若做广告宣传,广告费为n 千元时比广告费为(n - 1)千元时多卖出2
n b 件()*n N ∈,设广告费为n 千元时,销售量为n S . (1)试写出销售量n S 与n 的函数关系式;
(2)当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告,才能获利最大?
20. 设数列{}n a 的前n 项和n S ,已知2*112121,
,33n n S a a n n n N n +==---∈ (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)是否对一切正整数n ,有
121115131
n a a a n +++<-+…?说明理由
21. 设集合(){}(){}121
,,,0,11,2,,n n S x x x x i n =∈=……,其中*
,2n N n ∈≥. (1)写出集合2S 中的所有元素;
(2)设()()1212,,,,,,,n n n a a a b b b S ∈……,证明:
“0110111212222222n n n n a a a b b b --⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅……”的充要条件是“()111,2,,a b i n ==…”;
(3)设集合(){}(){}121
,,,0,11,2,,,n S x x x x i n =∈=………,设()()1212,a ,,,,,,,,n n a a b b b S ∈…………,使得1212111222n n a a a A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……,且1212111222n
n b b b B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……,试判断“A = B”是“()111,2,a b i ==…”的什么条件并说明理由。
参考答案
一、填空题
1. 1
2.10
3.4
4.n-123⋅
5.()221k ⋅+
6.15
7. b - a 8. 512 9. ()()2sin 1cos n n n θθ+++ 10. 910
11. 11,22⎛-+ ⎝⎭
12. 70
二、选择题
13. C 14. C 15. C 16. C
三、解答题 17. 2
243,172343154,822
n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ 18. (1) 0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩(2) ()3899164
n n n n T ⋅-+= 19. (1)122n n S b ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
(2)生产7875件产品,做5千元广告,能使获利最大 20. (1)2n a n =(2)对一切正整数n ,有
1211151^31n a a a n +++<-+ 21. (1)(0,0),(0,1),(1,0),(1,1); (2)略; (3)必要非充分。