(江西版)高考数学总复习 第二章2.15 导数在函数最值及生活实际中的应用教案 理 北师大版

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第二章2.15 导数在函

数最值及生活实际中的应用

考纲要求

1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．会利用导数解决某些实际问题．

知识梳理

1．函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )，在[a ，b ]上____有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )______有最大值与最小值．

(2)求最大值与最小值的步骤：设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：

①求f (x )在(a ，b )内的____值；

②将f (x )的各____值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2．解决优化问题的基本思路

基础自测

1．函数f (x )＝x e －x

，x ∈[0,4]的最大值是( )．

A ．0

B ．1e

C ．4e 4

D ．2

e 2

2．函数f (x )＝x 3

－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( )． A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1

C ．－1＜a ＜1

D ．0＜a ＜1

2

3．函数f (x )＝2x 3－3x 2

－12x ＋5在[0,3]上的最大值是__________，最小值是__________. 4．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的底面半径为__________时，才能使饮料罐的体积最大．

思维拓展

1．如何求实际问题中的最值问题？

提示：有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．

2．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？

提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a ，b ]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．

一、函数的最值与导数

【例1－1】已知f (x )＝x ln x .

(1)求函数y ＝f (x )的图像在x ＝e 处的切线方程；

(2)设实数a ＞0，求函数F (x )＝

f (x )

a 在[a,2a ]上的最小值． 【例1－2】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2

＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇

函数．

(1)求f (x )的表达式；

(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 方法提炼求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；

(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

请做[针对训练]1

二、利用导数解决实际生活中的优化问题

【例2－1】某电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A ，

B 型号电视机的价值分别为p ，q 万元，农民购买两种型号的电视机获得的补贴分别为1

10

p ，m ln(q

＋1)(m ＞0)万元．已知厂家把总价值为10万元的A ，B 两种型号电视机投放市场，且A ，B 两型号的电视机投放金额都不低于1万元．

(1)当m ＝2

5

时，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出

其最大值；

(2)讨论农民得到的补贴随厂家投放B 型号电视机金额的变化情况．(精确到0.1，参数数据：ln 4≈1.4)

【例2－2】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P 与日产量x (x ∈N

＋)件之间的关系为P ＝

4 200－x

2

4 500

，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)

(1)将日利润y (元)表示成日产量x (件)的函数；

(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 方法提炼利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

1．分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，根据实际意义确定定义域；

2．求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； 3．比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； 4．还原到原实际问题中作答．

请做[针对训练]2

考情分析

从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，考查时多与函数的单调性、极值结合命题，主要考查学生做综合题的能力．

预测2013年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题．

针对训练

1．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )．

A ．211e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，

B ．211

,e 22π

⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．π

2[1,e ] D ．π2

(1,e )