正常塞曼效应的理论解释
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第 23 卷 第 2 期 2007 年 4 月
赤峰学院学报 (自然科学版) Journal of Chifeng College(Natural Science Edition)
正常塞曼效应的理论解释
Vol. 23 No. 2 Apr. 2007
李海彦 ,王红梅 ,张 晨
(德州学院 物理系 ,山东 德州 253023)
式中 H^ 0 = ∑ i=1
2μ1 ^P2i + U^ (ri)
N
+ ∑U^′(rij) ∑H^ Lisi
i>j
i=1
(2. 7)
是没有外磁场时一个满壳层外有 N 个价电子的原子
的哈密顿算符.
H^ ′=
N
∑
i=j
2eμBL^zi
+
N
∑
i=j
eB μ
^Szi
=
2eμBL^z
+
eB μ
^Sz
(2. 8)
·5 ·
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
M1 = - 1 时 ,同理 ,原子在磁场方向 (z) 的角动量增加 1 个 η,所发光子必定在与磁场相反的方向上具有η角动量. 因 此 ,面对磁场方向时将观察到σ- 偏振. 图 2 给出了面对磁 场方向观察到的σ±偏振的情况. 对于这两条谱线 ,电矢量 在 xy 平面 ,因此 ,在与磁场 B 垂直的方向 (例如 x 方向) 观 察时 ,只能见到 Ey 分量 (横波特性) ,我们观察到二条与 B 垂直的线偏振光σ±;当 △M = M2 - M1 = 0 时 ,原子在磁场方 向 (z) 的角动量不变 ,η光子必定具有在与磁场垂直方向 (设为 x 方向) 的角动量η,光的传播方向与磁场方向垂直 , 与光相应的电矢量必定在 yz 平面内 ,它可以有 Ey 和 Ez 分 量. 但是 ,凡角动量方向在 xy 平面上的所有光子都满足 △M
级 En ,l ,j对 MJ 的简并解除. 考虑一个原子的两个能级 E2 和 E1 之间的跃迁 ,无外
磁场时 ,跃迁的能量为
hv = E2 - E1 在外磁场中 ,两个能级的能量分别为 E′2 = E2 + M2g2μBB E21 = E1 + M1g1 …BB 量子跃迁的能量为
(2. 1)
h/ 2 = E22 ∼ E21 = ( E2 ∼ E1) + (M2g2 ∼ M1g1) …BB = hv + (M2g2 - M1g1)μBB
根据量子力学理论 ,一个满壳层外有 N 个价电子的原 子在外磁场中的哈密顿算符 H^ 为 :
N
H^ = ∑ i=1
2μ1 ^P2i + U^ (ri)
+
∑U^′( rij )
i>j
N
+ ∑H^ Lisi i=1
+
N
∑
i=j
2eμBL^zi
+
N
∑
i=j
eB μ
^Szi
=
H^ 0
+
H^ ′
(2. 6)
N
2000. [3 ]曾谨言. 量子力学 (下册) . 科学出版社 ,1981. 380. [4 ]周世勋. 量子力学教程. 北京 : 高等教育出版社 ,1986.
204 - 206.
(责任编辑 白海龙)
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
n = 3 ,z = 1 ,B < 0. 15T;z = 2 ,B < 2. 5T
n = 4 ,z = 1 ,B < 0. 03T;z = 2 ,B < 0. 5T 我们根据不同的原子选取不同强度的外磁场 Bˇ,使得 (2. 9) 所表示的弱磁场原子和相互作用势能远小于
| △E′jj| 2eμB h < < | △E′jj|
下面以镉为例对正常塞曼效应现象作一叙述. 将镉光 源放入磁场中 , 对谱线进行测量 , 当垂直磁场 B 方向观察 时 , 测得三条谱线 : v ‰ - △v % , v ‰, v ‰ + △v % , 这 三条谱线都是线偏振的波数为 v ‰的谱线的偏振方向平行 磁场 , 记为π线 , 其波数与原谱线波数相同 , 而波数为 v ‰±△v %的两条线的偏振方向与磁场垂直 , 记为σ线 ,
是外磁场与一个满壳层外有 N 个价电子的原子的相
互作用能算符 ,当外磁场足够弱时 ,Bˇ不能解脱轨道总角动
ω
ω
ωω
ω
ω
量 L 和自旋总角动量 S 之间的耦合 ,L 和 S 合成 J ,并且 L
ωω
ω
和 S 绕 J 旋进 ,同时 J 又绕外磁场旋进 ,因此 (2. 8) 式变为
H^ ′=
2eμBL^z
= 0 的条件 ,因此 ,平均的效果将使 Ey 分量为零. 于是 ,在 沿磁场方向 (z) 上既观察不到 Ey 分量 ,也不会有 Ez 分量 (横 波特性) ,因此就观测不到与 △M = 0 相应的π偏振谱线. 在 与磁场垂直的方向上只能观测到与磁场平行的 Ez 分量 ,即 与磁场平行的π偏振谱线.
,如果原子的总
N
自旋为零 (S = 0) ,有 J = L ,MJ = ML ,g = 1 , (2. 9) 中的 ∑H^Lisi = i=1
0 , (2. 10) 中只有轨道运动与外磁场的相互作用势能算符 H^′
= 2eμBL^z ,这时原子能级的一级修正值 △E′为 △E′= B4πeμhML , 故波数变化为 :
J^2 - L^2 + ^S2 2
Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ=
MJ h = J (J
+ 1)
-
L (L + 1) + S(S + 1) 2J (J + 1)
所 以,
△E′ =
g
Beh 4πμ
MJ ,
g
=
1
+
J
(J
+ 1)
-
L (L + 1) 2J (J + 1)
+
S(S + 1)
·g 为朗德因子
(2. 10)
当实验条件满足 (2. 10) 时 , (2. 9) 可看作微扰 ,因此 ,可
选取Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ 为零级近似波函数 ,所以在弱磁场中原子
能级的一级修正值 △E′等于微扰 ,H^′= 2eμB (J^z + ^Sz) 在这个零
级近似波函数中的平均值.
∫ △E′a ;b ;L ;s ;J ;MJ
它们与 v ‰有同样的间隔 △v % ,
而
△v
‰=
eB 4πmc
=
L
(洛
伦兹单位) , 当平行于磁场方向观察时 , 只观察到波数分
别为 v ‰+ △v %和 v ‰- △v %的谱线 , 中间那条不出现 ,
而且这两条线都是圆偏振的 , 其中 v ‰+ △v %线沿逆时
针方向作圆偏振 , 而 v ‰ - △v %线沿顺时针作圆偏振.
如下图 1 所示.
图 1 镉谱线的塞曼效应 2 对正常塞曼效应现象的解释
在此我们采用了半经典半量子理论和量子理论中的微 扰理论两种方法对正常塞曼效应进行解释.
2. 1 正常曼效应的半经典半量子理论 在原子物理学中我们学习了原子磁矩 ,拉莫尔 (Lar2
mor) 进动的相关知识 ,基于这些知识我们可采用半经典半 量子理论解释塞曼效应. 我们知道 ,当外磁场 B 的作用比 原子内部轨道磁矩μl 与自旋磁矩μs 间的耦合作用弱时 ,原 子内部 L —S 耦 合 成 μJ ,μJ 在 B 中 产 生 附 加 能 量 △Em = MJ gJμBB ,其中磁量子数 MJ = j ,j - 1 ,Λ , - j + 1 , - j ,于是能
(2. 2)
由于不考虑自旋 (或总自旋均为零) ,此时朗德因子 g2
= g1 = 1 ,因此 hv′= hv + (M2 - M1)μBB
(2. 3)
据选择定则 △M = 0 , ±1 ,只能有三条谱线
> …BB ( □M = 1)
∫ hv′= hv + | 0 ( □M = 0)
(2. 4)
├∼ …BB ( □M = ∼ 1) 相邻两条谱线的间隔相等 ,用波数表示则有
λ1′-
1 λ
=
eη·B 2m hc
=
eB 4πnc
=L
式中 L = 4πeBnc为洛仑兹单位. 下面讨论塞曼效应的偏振特性. 解释谱线的偏振性的 依据之一 ,是角动量守恒定律 :在辐射过程中 ,原子和所发 射的光子作为整体的角动量是守恒的 ;依据之二是原子跃 迁的选择定则. 当 △M = M2 - M1 = 1 时 ,原子在磁场方向 (z) 的角动量 减少 1 个η;因此 ,所发光子必定在磁场方向具有η角动量. 当面对磁场方向观察时 ,由于磁场方向即光传播方向 ,所以 J 与光传播方向一致 ,我们将观察到σ+ 偏振 ;当 △M = M2 -
∫Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (^S)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ] =
∫ MJ h
J (J + 1) h2
Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (^S·J^)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ=
∫ MJ h
J (J + 1) h2
Φ3 a ;b ;L ;s ;J ;MJ
图 2 面对磁场观察到的谱线 2. 2 正常塞曼效应的量子理论
可以证明 :如果原子的总自旋为零 (S = 0) ,那么它发出 的光谱线 ,不管外磁场是弱中等强度还是强的 ,每一条谱线 皆分裂成不带任何精细结构的三条偏振化的谱线 ,均属正 常塞曼效应 ,在此我们试从外磁场很弱的情况下解释正常 塞曼效应现象.
原子处在恒定外磁场中 , 它的光谱线常常发生复杂的 分裂 , 且谱线间的裂距正比于磁场强度 , 且谱线各分量有 特殊的偏振和方向特性 , 这就是光谱的塞曼效应. 根据谱 线的分裂情况又可分为以下两种 : 相应于单态谱线在外磁 场中的分裂称为正常塞曼效应 ; 相应于非单态谱线在外磁 场中的分裂称为反常塞曼效应. 下面我对正常塞曼效应的 实验现象进行一下理论解释. 1 正常塞曼效应实验现象
△v~
=
△EL
Beh 4πμc
=
△EL·L
ML 的选择定则为 △ML = 0 , ±1 ,因此加外磁场后 ,当原
子总自旋为零时 (S = 0) 谱线波数变化为 : △v~ = 0 , ±L.
参考文献 : [1 ]褚圣麟. 原子物理学[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1994. [2 ]杨福家. 原子物理学 (第 3 版) . 北京 :高等教育出版社 ,
∫ 于总角动量的部分对平均值有贡献 ,所以 , Φa3;b ;L ;s;J ;MJ (S^· ∫ J^2)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ= Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (^S·J^)J^Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ
取上式的 Z 分量 ,并将 J^2 和 J^z 的本征值代入 ,则有 :
=
eB 2μ
Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (J^z + ^Sz)
∫ Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ·dτ= 2eμB [ MJ h +
Φ3 a ;b ;L ;s ;J ;MJ
( Sz)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ
·dτ]
(2. 11)
ω ωω
在总角动量确定的状态中 ,L 和 S 绕 J 旋进 ,只是平行
摘 要 : 从塞曼效应的实验现象入手 , 分别利用半经典半量子理论和量子力学微扰跃迁对正常塞曼效应进行了解
释.
关键词 : 塞曼效应 ; 正常塞曼效应 ; 量子力学
中图分类号 : O562. 3 + 2
文献标识码 : A
文章编号 : 1673 - 260X (2007) 02 - 0005 - 02
+
eB μ
^Sz
=
2eμB (J^z
+
^Sz)
(2. 9)
因为自旋 ———轨道相互作用的强弱随Biblioteka Baidu素和量了数 n
·6 ·
而变 ,外磁场的强弱完全是一个相对的概念. 例如 ,对于类 氢原子 ,外磁场的强弱相对于不同的量子数 n 和核电荷数 z 而变其弱场条件计算如下 :
n = 2 ,z = 1 ,B < 1. 6T;z = 2 ,B < 26T
赤峰学院学报 (自然科学版) Journal of Chifeng College(Natural Science Edition)
正常塞曼效应的理论解释
Vol. 23 No. 2 Apr. 2007
李海彦 ,王红梅 ,张 晨
(德州学院 物理系 ,山东 德州 253023)
式中 H^ 0 = ∑ i=1
2μ1 ^P2i + U^ (ri)
N
+ ∑U^′(rij) ∑H^ Lisi
i>j
i=1
(2. 7)
是没有外磁场时一个满壳层外有 N 个价电子的原子
的哈密顿算符.
H^ ′=
N
∑
i=j
2eμBL^zi
+
N
∑
i=j
eB μ
^Szi
=
2eμBL^z
+
eB μ
^Sz
(2. 8)
·5 ·
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
M1 = - 1 时 ,同理 ,原子在磁场方向 (z) 的角动量增加 1 个 η,所发光子必定在与磁场相反的方向上具有η角动量. 因 此 ,面对磁场方向时将观察到σ- 偏振. 图 2 给出了面对磁 场方向观察到的σ±偏振的情况. 对于这两条谱线 ,电矢量 在 xy 平面 ,因此 ,在与磁场 B 垂直的方向 (例如 x 方向) 观 察时 ,只能见到 Ey 分量 (横波特性) ,我们观察到二条与 B 垂直的线偏振光σ±;当 △M = M2 - M1 = 0 时 ,原子在磁场方 向 (z) 的角动量不变 ,η光子必定具有在与磁场垂直方向 (设为 x 方向) 的角动量η,光的传播方向与磁场方向垂直 , 与光相应的电矢量必定在 yz 平面内 ,它可以有 Ey 和 Ez 分 量. 但是 ,凡角动量方向在 xy 平面上的所有光子都满足 △M
级 En ,l ,j对 MJ 的简并解除. 考虑一个原子的两个能级 E2 和 E1 之间的跃迁 ,无外
磁场时 ,跃迁的能量为
hv = E2 - E1 在外磁场中 ,两个能级的能量分别为 E′2 = E2 + M2g2μBB E21 = E1 + M1g1 …BB 量子跃迁的能量为
(2. 1)
h/ 2 = E22 ∼ E21 = ( E2 ∼ E1) + (M2g2 ∼ M1g1) …BB = hv + (M2g2 - M1g1)μBB
根据量子力学理论 ,一个满壳层外有 N 个价电子的原 子在外磁场中的哈密顿算符 H^ 为 :
N
H^ = ∑ i=1
2μ1 ^P2i + U^ (ri)
+
∑U^′( rij )
i>j
N
+ ∑H^ Lisi i=1
+
N
∑
i=j
2eμBL^zi
+
N
∑
i=j
eB μ
^Szi
=
H^ 0
+
H^ ′
(2. 6)
N
2000. [3 ]曾谨言. 量子力学 (下册) . 科学出版社 ,1981. 380. [4 ]周世勋. 量子力学教程. 北京 : 高等教育出版社 ,1986.
204 - 206.
(责任编辑 白海龙)
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
n = 3 ,z = 1 ,B < 0. 15T;z = 2 ,B < 2. 5T
n = 4 ,z = 1 ,B < 0. 03T;z = 2 ,B < 0. 5T 我们根据不同的原子选取不同强度的外磁场 Bˇ,使得 (2. 9) 所表示的弱磁场原子和相互作用势能远小于
| △E′jj| 2eμB h < < | △E′jj|
下面以镉为例对正常塞曼效应现象作一叙述. 将镉光 源放入磁场中 , 对谱线进行测量 , 当垂直磁场 B 方向观察 时 , 测得三条谱线 : v ‰ - △v % , v ‰, v ‰ + △v % , 这 三条谱线都是线偏振的波数为 v ‰的谱线的偏振方向平行 磁场 , 记为π线 , 其波数与原谱线波数相同 , 而波数为 v ‰±△v %的两条线的偏振方向与磁场垂直 , 记为σ线 ,
是外磁场与一个满壳层外有 N 个价电子的原子的相
互作用能算符 ,当外磁场足够弱时 ,Bˇ不能解脱轨道总角动
ω
ω
ωω
ω
ω
量 L 和自旋总角动量 S 之间的耦合 ,L 和 S 合成 J ,并且 L
ωω
ω
和 S 绕 J 旋进 ,同时 J 又绕外磁场旋进 ,因此 (2. 8) 式变为
H^ ′=
2eμBL^z
= 0 的条件 ,因此 ,平均的效果将使 Ey 分量为零. 于是 ,在 沿磁场方向 (z) 上既观察不到 Ey 分量 ,也不会有 Ez 分量 (横 波特性) ,因此就观测不到与 △M = 0 相应的π偏振谱线. 在 与磁场垂直的方向上只能观测到与磁场平行的 Ez 分量 ,即 与磁场平行的π偏振谱线.
,如果原子的总
N
自旋为零 (S = 0) ,有 J = L ,MJ = ML ,g = 1 , (2. 9) 中的 ∑H^Lisi = i=1
0 , (2. 10) 中只有轨道运动与外磁场的相互作用势能算符 H^′
= 2eμBL^z ,这时原子能级的一级修正值 △E′为 △E′= B4πeμhML , 故波数变化为 :
J^2 - L^2 + ^S2 2
Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ=
MJ h = J (J
+ 1)
-
L (L + 1) + S(S + 1) 2J (J + 1)
所 以,
△E′ =
g
Beh 4πμ
MJ ,
g
=
1
+
J
(J
+ 1)
-
L (L + 1) 2J (J + 1)
+
S(S + 1)
·g 为朗德因子
(2. 10)
当实验条件满足 (2. 10) 时 , (2. 9) 可看作微扰 ,因此 ,可
选取Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ 为零级近似波函数 ,所以在弱磁场中原子
能级的一级修正值 △E′等于微扰 ,H^′= 2eμB (J^z + ^Sz) 在这个零
级近似波函数中的平均值.
∫ △E′a ;b ;L ;s ;J ;MJ
它们与 v ‰有同样的间隔 △v % ,
而
△v
‰=
eB 4πmc
=
L
(洛
伦兹单位) , 当平行于磁场方向观察时 , 只观察到波数分
别为 v ‰+ △v %和 v ‰- △v %的谱线 , 中间那条不出现 ,
而且这两条线都是圆偏振的 , 其中 v ‰+ △v %线沿逆时
针方向作圆偏振 , 而 v ‰ - △v %线沿顺时针作圆偏振.
如下图 1 所示.
图 1 镉谱线的塞曼效应 2 对正常塞曼效应现象的解释
在此我们采用了半经典半量子理论和量子理论中的微 扰理论两种方法对正常塞曼效应进行解释.
2. 1 正常曼效应的半经典半量子理论 在原子物理学中我们学习了原子磁矩 ,拉莫尔 (Lar2
mor) 进动的相关知识 ,基于这些知识我们可采用半经典半 量子理论解释塞曼效应. 我们知道 ,当外磁场 B 的作用比 原子内部轨道磁矩μl 与自旋磁矩μs 间的耦合作用弱时 ,原 子内部 L —S 耦 合 成 μJ ,μJ 在 B 中 产 生 附 加 能 量 △Em = MJ gJμBB ,其中磁量子数 MJ = j ,j - 1 ,Λ , - j + 1 , - j ,于是能
(2. 2)
由于不考虑自旋 (或总自旋均为零) ,此时朗德因子 g2
= g1 = 1 ,因此 hv′= hv + (M2 - M1)μBB
(2. 3)
据选择定则 △M = 0 , ±1 ,只能有三条谱线
> …BB ( □M = 1)
∫ hv′= hv + | 0 ( □M = 0)
(2. 4)
├∼ …BB ( □M = ∼ 1) 相邻两条谱线的间隔相等 ,用波数表示则有
λ1′-
1 λ
=
eη·B 2m hc
=
eB 4πnc
=L
式中 L = 4πeBnc为洛仑兹单位. 下面讨论塞曼效应的偏振特性. 解释谱线的偏振性的 依据之一 ,是角动量守恒定律 :在辐射过程中 ,原子和所发 射的光子作为整体的角动量是守恒的 ;依据之二是原子跃 迁的选择定则. 当 △M = M2 - M1 = 1 时 ,原子在磁场方向 (z) 的角动量 减少 1 个η;因此 ,所发光子必定在磁场方向具有η角动量. 当面对磁场方向观察时 ,由于磁场方向即光传播方向 ,所以 J 与光传播方向一致 ,我们将观察到σ+ 偏振 ;当 △M = M2 -
∫Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (^S)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ] =
∫ MJ h
J (J + 1) h2
Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (^S·J^)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ=
∫ MJ h
J (J + 1) h2
Φ3 a ;b ;L ;s ;J ;MJ
图 2 面对磁场观察到的谱线 2. 2 正常塞曼效应的量子理论
可以证明 :如果原子的总自旋为零 (S = 0) ,那么它发出 的光谱线 ,不管外磁场是弱中等强度还是强的 ,每一条谱线 皆分裂成不带任何精细结构的三条偏振化的谱线 ,均属正 常塞曼效应 ,在此我们试从外磁场很弱的情况下解释正常 塞曼效应现象.
原子处在恒定外磁场中 , 它的光谱线常常发生复杂的 分裂 , 且谱线间的裂距正比于磁场强度 , 且谱线各分量有 特殊的偏振和方向特性 , 这就是光谱的塞曼效应. 根据谱 线的分裂情况又可分为以下两种 : 相应于单态谱线在外磁 场中的分裂称为正常塞曼效应 ; 相应于非单态谱线在外磁 场中的分裂称为反常塞曼效应. 下面我对正常塞曼效应的 实验现象进行一下理论解释. 1 正常塞曼效应实验现象
△v~
=
△EL
Beh 4πμc
=
△EL·L
ML 的选择定则为 △ML = 0 , ±1 ,因此加外磁场后 ,当原
子总自旋为零时 (S = 0) 谱线波数变化为 : △v~ = 0 , ±L.
参考文献 : [1 ]褚圣麟. 原子物理学[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1994. [2 ]杨福家. 原子物理学 (第 3 版) . 北京 :高等教育出版社 ,
∫ 于总角动量的部分对平均值有贡献 ,所以 , Φa3;b ;L ;s;J ;MJ (S^· ∫ J^2)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ= Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (^S·J^)J^Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ ·dτ
取上式的 Z 分量 ,并将 J^2 和 J^z 的本征值代入 ,则有 :
=
eB 2μ
Φa3;b ;L ;s ;J ;MJ (J^z + ^Sz)
∫ Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ·dτ= 2eμB [ MJ h +
Φ3 a ;b ;L ;s ;J ;MJ
( Sz)Φa ;b ;L ;s ;J ;MJ
·dτ]
(2. 11)
ω ωω
在总角动量确定的状态中 ,L 和 S 绕 J 旋进 ,只是平行
摘 要 : 从塞曼效应的实验现象入手 , 分别利用半经典半量子理论和量子力学微扰跃迁对正常塞曼效应进行了解
释.
关键词 : 塞曼效应 ; 正常塞曼效应 ; 量子力学
中图分类号 : O562. 3 + 2
文献标识码 : A
文章编号 : 1673 - 260X (2007) 02 - 0005 - 02
+
eB μ
^Sz
=
2eμB (J^z
+
^Sz)
(2. 9)
因为自旋 ———轨道相互作用的强弱随Biblioteka Baidu素和量了数 n
·6 ·
而变 ,外磁场的强弱完全是一个相对的概念. 例如 ,对于类 氢原子 ,外磁场的强弱相对于不同的量子数 n 和核电荷数 z 而变其弱场条件计算如下 :
n = 2 ,z = 1 ,B < 1. 6T;z = 2 ,B < 26T