双曲线的渐近线

2．(2013·云南模拟)已知F(c,0)是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)
的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x－c)2＋y2＝
1 2
c2相切，
则双曲线C的离心率为________．
解析：依题意得，圆心
F(c,0)到渐近线的距离等于
22c，即有
b＝
2 2
c(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c2
练习、求下列双曲线的渐近线方程
(1)4x2－9y2=36,
2x±3y=0
(2)25x2－4y2=100. 5x±2y=0
例2.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像：
1). x2 y2 1
x2 y2 2). 1
y
94
94
0
x
例3 求与双曲线 x2 y2 1共渐近线且过点 (2 3， 3) 16 9
因为焦点都在圆x2+y2=100上，
y2 a2
x2 b2
1
所以c=10，
又双曲线的渐近线方程为y=±
4 3
x
所所以以ba双 曲43 线由的方a2程bab是2 431y020
解得
x2
a2 b2
1
64 36
64 36
例5.已知双曲线的方程渐近线为
y
4 3
x
并且焦点都在圆 x 2 y2 100 上，求双曲线方程.
(a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得
x2 a2
y2 b2
0
( x y )( x y ) 0 a ba b
x y 0或 x y 0.
ab
ab
y＝ b x a
结论：
双曲线 x2 y2 ( 0) 渐近线方程 x2 y2 0.
a2 b2
a2 b2
由双曲线方程求渐近线方程的方法： __(_1_)_定__焦__点__位__置__，__求__出___a_、__b_，__写__出__方__程____ __(_2_)_由__双__曲__线__方__程__的__常__数__项__令__为__零__即__可_____
角度一 已知离心率求渐近线方程
1．(2013·新课标卷Ⅰ)已知双曲线C：
x2 a2
－
by22＝1(a>0，b>0)的离
心率为 25，则C的渐近线方程为
()
A．y＝±14x
B．y＝±13x
C．y＝±12x
D．y＝±x
解析：∵e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22＝54，∴ba22＝14，∴ba＝12，
＝2b2＝2(c2－a2)，c2＝2a2，ac＝ 2，即双曲线 C 的离心率为 2.
答案： 2
双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点. 归纳起来常见的命题角度有：
1已知离心率求渐近线方程； 2已知渐近线求离心率； 3已知离心率确定渐近线夹角问题； 4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.
2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的 两条渐近线互相垂直(位置关系)． 3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b
4．渐近线与离心率
x2 a2
－
by22＝
1(a>0
，b>0)的
一
条渐
近线
的斜
率
为ba＝
b2 a2
＝
c2－a2a2＝ e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质
解： ∵ 双曲线的方程渐近线为
x 3
y 4
0
∴ 可双曲线方程为：
x2 32
y2 42
(
0)
∵焦点都在圆 x 2 y2 100 上， c2 100 .
(3 | |)2 (4 | |)2 100 4 .
∴所求双曲线方程：
x2 32
y2 42
4
即
x2 y2 1 . 36 64
都表示双曲线张口的大小．
[练一练]
1．(2013·福建高考)双曲线x42－y2＝1 的顶点到其渐近线的距离等于
2
4
A.5
B.5
()
25 C. 5
45 D. 5
解析：双曲线x42－y2＝1 的渐近线方程为 y＝±x2，即 x±2y＝0，
所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为
25＝2 5
5 .
答案：C
且双曲线过点 M (4, 3) 求双曲线方程。
变形：已知双曲线渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点 N (4, 5)求双曲线方程。
令双曲线为 x2 a2
y2 b2
，若求得
0, 则双曲线的交点在x轴;
源自文库
若 0,则焦点在y轴上。
例5．已知双曲线的渐近线方程为y=±4 x ,
3
并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1（－ a，0），A2（a，0）
离心率 渐进线
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，－a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？
双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
的双曲线方程及离心率．
解： 设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为
x2 16
y2 9
0
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 16 9
1 4
故所求双曲线方程为：x2 16
y2 9
1 4
即
y2 x2 94
1.
4
a 3 ，b 2， c 2
9 4
4
5 2
.
∴ 离心率
e
5 3
.
例4．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
若渐近线方程为 mx ±ny = 0，则双曲线方程
为 ____m__2 _x_2_－__n__2_y_2_=__k__(_k__≠_0__)__ 整式
或 _______nx_22___m_y_22___k_(k___0_)_______
标准
例1．已知双曲线的焦点在x轴上，中心在 原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双 曲线的标准方程及其渐近线的方程。
方程。
解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是
x2 y2 1 a2 b2
因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，
又双曲线的渐近线方程为y=±
4 3
x
所以 b 4
a3
a2 b2 100
由
b4
a3
a2 36 解得 b2 64
所以双曲线的方程是 x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是