探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
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２
先 证 点 Ｃ为 Ｐ Ｑ的 中点． 设Ｃ （ 。 ， Ｙ 。 ） ， 因 ｃ在过
点（ 。 ， Ｙ ｏ ）的直 线上 ， 所 以可 设 ｃ＝ｔ ｘ ０ ， Ｙ ＝ｔ ｙ 。 ． 由 于 直线 Ｐ Ｑ 与直线 ｆ ： ｍ ｘ 。 ＋ｎ ｙ 。 Ｙ ＝ １平 行 ， 且过 点 Ｃ （ ｔ ｘ ｏ ， ｔ ｙ ｏ ） ， 故直 线 Ｐ Ｑ方程为 ｍ ｏ ＋ｎ ｙ ｏ Ｙ＝ｔ （ ｍ ２ ｃ
（ ０ ， Ｙ ０ ） ．
图３
文［ １ ］将 此题 推广 为 ： 椭圆 ＋
口 ０
＝１ （ 口＞ｂ
证明： 连结 ＭＮ交 Ａ Ｂ于 点 Ｃ， 过 点 Ｃ作 Ｚ 的平 行 线 交 圆锥 曲线 于 点 Ｐ， Ｑ， 又设 直线 Ａ Ｂ交 Ｚ 于点 Ｄ ．
＞０ ）的左右顶 点为 Ａ， ， 为定 直 线 ＝ｔ （ ｔ ≠０ ） 上 的任 一点 ， 直 线 ， 船 与椭 圆分 别 交 于 点 Ｍ， Ｎ， 则
３ ． 问题 的一般性 推广
Ｂ
Ｎ
）
推广 如 图 ３ ， 过有 心 圆 锥 曲线 ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ：１ 的 中心 ０
ｙ
２
，
２
＼
Ｐ
圆 ＋ 々＝ １ 的 左 右 顶 点 为 Ａ ，
Ｂ， 右焦 点 为 Ｆ， 设过 点 Ｔ （ ｔ ， ｍ） 的直线 ， Ｔ Ｂ 与椭 圆分 别 交于 点 Ｍ（ ， Ｙ 。 ） ， Ｎ（ ： ， ｙ ） ， 其 中， ｍ ＞０ ， Ｙ ＞０ ， Ｙ ＜０ ． （ １ ） 、 （ ２ ）略． （ ３ ） 设
１ ）能 否作 一条直 线 Ｚ ， 与双 曲线交 于 Ａ、 Ｂ两点 ， 且点 Ｐ是 线段 Ａ Ｂ 的 中点？ 、
的判别 式 △ ＝一８ ＜０ ， 没 有 实数 解． 所 以符 合 题 意
的直 线 ｆ 不存 在．
／ ， ， 、 、 ，
当我 给 学 生讲 授 需要检 验 △ 时 ， 学 生觉 得 很 茫 然， 有学 生 还 问： “ 直 线 与椭 圆也 有 类似 的题 目， 为
值 得说 明的是 ， 对 于抛 物 线也有 类似 的结论 ， 证
线 ＭＮ 恒过定 点 （ 。 ， Ｙ 。 ） ．
为 Ｙ＝后 ， Ｙ＝ｋ ２ ｘ ． 从 而过 点 Ｃ， Ｆ， Ｄ， Ｅ的二次 曲线
系方程 为 。 ＋ｕ ｙ ＋ｖ ｘ ｙ＋ｗ ｙ—ｍ ＋Ａ（ ｋ ｌ 一Ｙ ） （ ｋ ２
证明： 若点 Ｐ （ ｘ 。 ， Ｙ ｏ ） 在 原点， 由对称性易知满
４ ． 问题 的进一 步 思考
（Ⅱ）当过 点 Ｐ（ ４ ， １ ）的动 直线 ｆ 与椭 圆 ｃ相交 于 两不 同点 Ａ， Ｂ时 ， 在 线段 Ａ Ｂ上取 点 Ｑ， 满足 Ｉ Ａ Ｐ Ｉ
・
ｌ ｑ Ｂ ｌ＝Ｉ Ａ Ｑ ｌ ・ Ｊ Ｐ ｌ ， 证明： 点 ｑ总是 在某 定 直线
明方法 类似 ， 读 者不妨 自行 研 究． 从 以上推广 的证 明可 见 ， ２ ０ １ ０年 江 苏 高考 数 学
２ ０ １ ５年 第 ６期
中学数 学研 究 （Ｉ）求椭 圆 Ｃ的方程 ；
・ ２ ９・
卷第ｌ ８ 题 的第 ３小题 可看成 是 圆锥 曲线 蝴蝶定 理 背 景下 的 一道 试题 ， 其 实 圆锥 曲线 的 蝴蝶 定 理 早 就 引 起 了命 题 专 家 的注 意 ， 如２ ０ ０ ３年 高考 北 京理 科 卷 、 ２ ０ ０ ８年 高考 江 西 文科 卷 中都 出现 了以其 为 背 景 命 制 的高考题．
＋ｎ ｙ ２
ｃ
直线 ＭＮ 恒过定 点 Ｃ（ ， ０ ） ．
笔 者在寻 求原 题 的简 洁解 法 时， 意外发 现 ， 借 助 于 圆锥 曲线 的蝴蝶定 理 可获得 其更 一般 意义下 的推
广．
） ， 联立 ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ＝ １得 ｍ（ ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ） 一
２ ｅ ｒ ｘ ｏ ｔ （ ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ０ ２ ） ＋ ｔ ２ （ ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ） ２ 一ｎ ２＝０， 由根 与系数 关 系得 ＋ ０＝２ ｔ ｘ 。＝２ ｘ 。 ， 据 此知 Ｃ 即为 蝴 蝶定理 是平 面 几何 中 的一个 经 典 问题 ， 由于
Ｏ Ｑ ．
，
＿ ＿ ＝ 睾， 注 意 到 Ｘ Ａ ＝ 一 化 简 得 ｘ 。 ＝ ． 另 一 方 面 ，
将直线Ａ Ｂ方程 ｘ ｏ ｙ—ｙ ｏ ｘ＝０联 立 ｍｘ ＋ｎ ｙ ＝１ 得
２
一
Leabharlann Baidu
（ ｍ ｘ ； ＋ ｎ ｘ ～ ＝ ０ ， ． ・ ． Ｘ Ａ ＝—
，
， 即 ：
过 （ 一ｍ， ０ ） ， Ｂ（ ｍ， ０ ） ， 故可设 其 方程为 ＋ｕ ｙ ＋ ｖ ｘ ｙ＋ｗ ｙ—ｍ ＝０ ， 另设 直 线 Ｃ Ｄ和 Ｅ Ｆ的方 程分 别
＋凡 ｙ 。 ｙ
ｏ，
得 。
Ｘ ｏ
，
因此可得 ｃ Ｘ Ａ＝
Ｄ
｝ ｎ ＋ ｎｙｎ
又Ｃ （ ｃ ， Ｙ ｃ ） 在ｘ ｏ ｙ—ｙ ｏ ｘ＝０上 ， ． ’ ． Ｙ ｃ＝Ｙ ０ ， 故直
０ Ｄ
参 考文 献
［ １ ］ 邢 友宝 ， 宋 广 志． ２ ０ １ ０年高 考江 苏卷第 １ ８ （ ３ ） 题 的另 解
与推广 ［ Ｊ ］ ． 数学通讯 ， ２ ０ １ ０ （ ９下半月 ） ．
１ ） ， 且 左焦 点为 Ｆ （ 一 ， ０ ） ．
圆 锥 曲 线 有 关 中 点 的 存 在 性 探 究
上．
推广 中 的点 Ｃ和 直 线 ｚ 有着更 深刻 的射 影 几何
背景 ， 它们 其实是 圆锥 曲线 的一对极 点和 极 线． 由于
该 题 中 的 椭 圆 Ｃ 的 方 程 易 知 为 等＋ 等＝ １ ； 第
（ １ Ｉ ）小题 中 由已知 ｌ Ａ Ｐ Ｉ ・ Ｉ Ｑ ８ ｌ＝Ｉ Ａ Ｑ ｌ ・ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ ，
一
是线段 Ａ Ｂ 的 中 点 ，那 么 点 Ｐ （ ， Ｚ ｏ ） 在原点或 区域 一 Ｙ Ｏ
图１
＜ 。 或 薯 一 鲁 ． ＞ １ ． 如 １ ， 即 落 在 双 曲 线 的 内 部 （ 区
域 Ｉ）及 两条渐 近 线 围成 的区域（区域 Ⅱ） ．
１代入 一 ＝１ ， 得到 ２ ｘ 一４ ｘ＋３ ＝０ ． 该 方程
・
２ ８・
中学数 学研 究
２ ０ １ ５第 ６期
探 析 以圆锥 曲线 蝴 蝶 定 理 为背 景 的高 考题
江 苏省 兴化 中学
１ ． 问题提 出 的背景 ２ ０ １ ０年 江 苏高考 数 学 卷 第 ｌ ８题 的第 ３小题是 一道 备 受 关 注 的试 题 ， 该题为： 在平面直角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中（ 如 图１ ） ， 已知椭
即Ｌ
：Ｌ
，
说 明 Ｑ点在 极 点 Ｐ关 于椭 圆 Ｃ
ｌ Ｐ Ｂ Ｉ
ｌ Ｑ Ｂ Ｉ
值 等 式 ： ， 反 映 的 正 是 极 点 ｃ 与 极 线 对 应 的 极 线 上 ， 其 方 程 为 警 ＋ 等 ＝ １ ， 即 ＋ 等 ｌ
上 的点 Ｄ 关于 圆锥 曲线 共轭 的性 质 ， 以此 为背 景 的 高考 试题 俯拾 皆是 ， 如２ ０ ０ ８年 安徽 高考 数学理 科 第 ２ ２题 ： 设椭 圆ｃ： ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞０ ） 过点 （ ，
极 点不 一定 在 圆锥 曲线 的形 内， 因此 上述 推 广 中 的
（ 。 ， Ｙ ｏ ）也 可进 一 步推 广到 形 外． 事 实上 ， 它仍 可采 用 与上 文类 似 的方 法进 行 证 明 ， 不 过 蝴蝶 定 理 的形 式需做 相应 的变化． 另外， 在推 广 中 ， 我们 得 到 的 比
广 东省广 州市增城 中学 （ ５ １ １ ３ ０ ０ ） 钟康 生
有 关 圆锥 曲线 的 中点性 质 是 一类 值 得 研 究 的 问题． 本 文 受一道 课 后题 启 发 ， 经过 探 究 ， 得 到 了有 关 圆锥 曲线 中点 弦和 某类 线段 中点 的一 些结论． 题目 （ 高 中数 学人教 版 Ａ版 选修 ２ — １第 ６ ２ 页 日组 第 ４题 ）已知双 曲线 一 ＝１ ， 过 点 Ｐ（ １ ，
Ｉ ｆ ｂ ￣０ 十 ｔ ｔ ｙｏ
２
—
图２
； 将直线Ａ Ｂ 方程 Ｘ ｏ ｙ—Ｙ ｏ ＝０联 立 ｍ ｘ 。
２
， ， ０ １ ＿ｔ ｒ ｙｏ
证明： 建立 如 图 ２所 示 的
平 面直 角 坐标 系． 设Ａ （ 一ｍ， ０ ） ， Ｂ（ ｍ， ０ ） ， Ｐ（ ｘ Ｐ ， ０ ） ， Ｑ（ ｘ ０ ， ０ ） ， 因 为 二 次 曲 线 Ｑ
，
‘
（ ２ ２ ５ ７ ０ ０ ） 成开华
—
） ＝０ ， 其 中 Ａ为实 数 ， 令 Ｙ＝０， 则 ， ｏ是方 程
（ １十Ａ ｋ ２ ） 一ｍ ＝０两个 根． 由根 与系数 的关 系
ｒ
得 Ｐ＋ Ｑ＝０ ， ． ・ ．１ Ｏ Ｐ Ｉ＝ｌ Ｏ Ｑ ｌ ， 得 证．
图 １
和形 内定 点 （ 。 ， Ｙ 。 ）的直 线 交
曲 线 于 Ａ， ， 为定直 线 Ｚ ：
ｍｘ ｏ ＋ｎ ｙ ０ Ｙ ＝１上 的任 一点 ，
｜ Ｑ
ｔ＝９ ， 求证 ： 直 线ＭＮ必过 轴上一定 点 （ 其 坐标 与 ｍ
无关 ） ．
２ ２
直线 Ｔ Ａ， Ｔ Ｂ 与椭 圆分 别 交 于 点 Ｍ， Ｎ， 则直 线 ＭＮ 恒过 定 点
＝
１￣ｆ ｆ － Ａ、 Ｂ两 点 ， 且点Ｐ
） 一 （ ） ， ＋ ） ， ２ ） （ ＿ 三 ） ＝ ０ ， 由 于 点 Ｐ 是 线 段 Ｂ
的中 点， 贝 ４ 。 ＋ ２ ＝ ２ ， Ｙ ｌ ＋ Ｙ ２ ＝ ２ ， 所以２ 一 ÷（ ２ ）
＝０ ， 解 得 ｋ＝２， 直线ｚ 为 ｙ＝２ ｘ一１ ． 但 是将 Ｙ＝２ ｘ
Ｙ ｌ
结论 １
如果 能过 点
２
下
：１ ， ； 一 Ｙ ２：１ ， 上两式相减， 得到（ 一 ； ）一 Ｐ（ ｘ 。 ， Ｙ ｏ ）作 直 线 ｚ 与双 曲线
一
÷（ Ｙ ｌ — Ｙ ； ）＝０ ． 当 。 ＝ ： 时， 直线ｆ 斜率不存在，
可知 点 Ｐ不是 线段 Ａ Ｂ的 中点 ； 当 。≠ ２时， （ ＋
如 图２ ， Ａ Ｂ为 二次 曲线 ｎ
Ｊ ，
Ｌ
ｌ Ｄ Ｉ
一Ｌ
ｌ Ｔ Ｄ Ｉ
一
口 Ⅱ 二 一
Ｄ一 口
２ ．．
ｌ ＢＤ ｌ
．，
ｌ ＡＤ Ｉ’
的弦， ０是 Ａ Ｂ的中点 ， 过 ０作 Ｑ 的两条弦 Ｃ Ｄ和 Ｅ Ｆ ， 其中 Ｃ ， Ｅ位于 Ａ Ｂ 同 一侧 ， 若 过 点 Ｃ ， Ｆ， Ｄ， 的任 一二 次 曲线 与 直线Ａ Ｂ 交 于 Ｐ， Ｑ， 则Ｏ Ｐ＝
２ ． 圆锥 曲线的蝴 蝶定 理
ＰＱ的 中点．
由 圆锥 曲线 的蝴蝶定 理知 Ｉ Ｃ Ｅ ｌ＝ｌ Ｃ Ｆ ｌ ， 因此
一
其意境 幽美 ， 结论简洁， 想象洵美， 蕴理深刻 ， ３ ０ ０多 年来 引无数 中外 数 学爱好 者 为 之 驻足 ， 为 之 浮想 联 翩． 下 面我们 给 出圆锥 曲线 中的蝴蝶 定理．
什 么不用 检验 ， 而到 了双 曲线就 需要检 验 ？ ”我 想 不
到 学生 竟然提 出这 样 的 问题 ， 一下子 也 回答 不 出来 。 课后 ， 我 对该题 目进 行 了深 入 的探 究 ， 发现 以下 的结
论：
解： 设 点 Ａ（ １ ， ｙ １ ） ， Ｂ（ ｘ ， Ｙ 。 ）在 双 曲线上 ， 一
先 证 点 Ｃ为 Ｐ Ｑ的 中点． 设Ｃ （ 。 ， Ｙ 。 ） ， 因 ｃ在过
点（ 。 ， Ｙ ｏ ）的直 线上 ， 所 以可 设 ｃ＝ｔ ｘ ０ ， Ｙ ＝ｔ ｙ 。 ． 由 于 直线 Ｐ Ｑ 与直线 ｆ ： ｍ ｘ 。 ＋ｎ ｙ 。 Ｙ ＝ １平 行 ， 且过 点 Ｃ （ ｔ ｘ ｏ ， ｔ ｙ ｏ ） ， 故直 线 Ｐ Ｑ方程为 ｍ ｏ ＋ｎ ｙ ｏ Ｙ＝ｔ （ ｍ ２ ｃ
（ ０ ， Ｙ ０ ） ．
图３
文［ １ ］将 此题 推广 为 ： 椭圆 ＋
口 ０
＝１ （ 口＞ｂ
证明： 连结 ＭＮ交 Ａ Ｂ于 点 Ｃ， 过 点 Ｃ作 Ｚ 的平 行 线 交 圆锥 曲线 于 点 Ｐ， Ｑ， 又设 直线 Ａ Ｂ交 Ｚ 于点 Ｄ ．
＞０ ）的左右顶 点为 Ａ， ， 为定 直 线 ＝ｔ （ ｔ ≠０ ） 上 的任 一点 ， 直 线 ， 船 与椭 圆分 别 交 于 点 Ｍ， Ｎ， 则
３ ． 问题 的一般性 推广
Ｂ
Ｎ
）
推广 如 图 ３ ， 过有 心 圆 锥 曲线 ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ：１ 的 中心 ０
ｙ
２
，
２
＼
Ｐ
圆 ＋ 々＝ １ 的 左 右 顶 点 为 Ａ ，
Ｂ， 右焦 点 为 Ｆ， 设过 点 Ｔ （ ｔ ， ｍ） 的直线 ， Ｔ Ｂ 与椭 圆分 别 交于 点 Ｍ（ ， Ｙ 。 ） ， Ｎ（ ： ， ｙ ） ， 其 中， ｍ ＞０ ， Ｙ ＞０ ， Ｙ ＜０ ． （ １ ） 、 （ ２ ）略． （ ３ ） 设
１ ）能 否作 一条直 线 Ｚ ， 与双 曲线交 于 Ａ、 Ｂ两点 ， 且点 Ｐ是 线段 Ａ Ｂ 的 中点？ 、
的判别 式 △ ＝一８ ＜０ ， 没 有 实数 解． 所 以符 合 题 意
的直 线 ｆ 不存 在．
／ ， ， 、 、 ，
当我 给 学 生讲 授 需要检 验 △ 时 ， 学 生觉 得 很 茫 然， 有学 生 还 问： “ 直 线 与椭 圆也 有 类似 的题 目， 为
值 得说 明的是 ， 对 于抛 物 线也有 类似 的结论 ， 证
线 ＭＮ 恒过定 点 （ 。 ， Ｙ 。 ） ．
为 Ｙ＝后 ， Ｙ＝ｋ ２ ｘ ． 从 而过 点 Ｃ， Ｆ， Ｄ， Ｅ的二次 曲线
系方程 为 。 ＋ｕ ｙ ＋ｖ ｘ ｙ＋ｗ ｙ—ｍ ＋Ａ（ ｋ ｌ 一Ｙ ） （ ｋ ２
证明： 若点 Ｐ （ ｘ 。 ， Ｙ ｏ ） 在 原点， 由对称性易知满
４ ． 问题 的进一 步 思考
（Ⅱ）当过 点 Ｐ（ ４ ， １ ）的动 直线 ｆ 与椭 圆 ｃ相交 于 两不 同点 Ａ， Ｂ时 ， 在 线段 Ａ Ｂ上取 点 Ｑ， 满足 Ｉ Ａ Ｐ Ｉ
・
ｌ ｑ Ｂ ｌ＝Ｉ Ａ Ｑ ｌ ・ Ｊ Ｐ ｌ ， 证明： 点 ｑ总是 在某 定 直线
明方法 类似 ， 读 者不妨 自行 研 究． 从 以上推广 的证 明可 见 ， ２ ０ １ ０年 江 苏 高考 数 学
２ ０ １ ５年 第 ６期
中学数 学研 究 （Ｉ）求椭 圆 Ｃ的方程 ；
・ ２ ９・
卷第ｌ ８ 题 的第 ３小题 可看成 是 圆锥 曲线 蝴蝶定 理 背 景下 的 一道 试题 ， 其 实 圆锥 曲线 的 蝴蝶 定 理 早 就 引 起 了命 题 专 家 的注 意 ， 如２ ０ ０ ３年 高考 北 京理 科 卷 、 ２ ０ ０ ８年 高考 江 西 文科 卷 中都 出现 了以其 为 背 景 命 制 的高考题．
＋ｎ ｙ ２
ｃ
直线 ＭＮ 恒过定 点 Ｃ（ ， ０ ） ．
笔 者在寻 求原 题 的简 洁解 法 时， 意外发 现 ， 借 助 于 圆锥 曲线 的蝴蝶定 理 可获得 其更 一般 意义下 的推
广．
） ， 联立 ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ＝ １得 ｍ（ ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ） 一
２ ｅ ｒ ｘ ｏ ｔ （ ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ０ ２ ） ＋ ｔ ２ （ ｍ ｘ ＋ｎ ｙ ） ２ 一ｎ ２＝０， 由根 与系数 关 系得 ＋ ０＝２ ｔ ｘ 。＝２ ｘ 。 ， 据 此知 Ｃ 即为 蝴 蝶定理 是平 面 几何 中 的一个 经 典 问题 ， 由于
Ｏ Ｑ ．
，
＿ ＿ ＝ 睾， 注 意 到 Ｘ Ａ ＝ 一 化 简 得 ｘ 。 ＝ ． 另 一 方 面 ，
将直线Ａ Ｂ方程 ｘ ｏ ｙ—ｙ ｏ ｘ＝０联 立 ｍｘ ＋ｎ ｙ ＝１ 得
２
一
Leabharlann Baidu
（ ｍ ｘ ； ＋ ｎ ｘ ～ ＝ ０ ， ． ・ ． Ｘ Ａ ＝—
，
， 即 ：
过 （ 一ｍ， ０ ） ， Ｂ（ ｍ， ０ ） ， 故可设 其 方程为 ＋ｕ ｙ ＋ ｖ ｘ ｙ＋ｗ ｙ—ｍ ＝０ ， 另设 直 线 Ｃ Ｄ和 Ｅ Ｆ的方 程分 别
＋凡 ｙ 。 ｙ
ｏ，
得 。
Ｘ ｏ
，
因此可得 ｃ Ｘ Ａ＝
Ｄ
｝ ｎ ＋ ｎｙｎ
又Ｃ （ ｃ ， Ｙ ｃ ） 在ｘ ｏ ｙ—ｙ ｏ ｘ＝０上 ， ． ’ ． Ｙ ｃ＝Ｙ ０ ， 故直
０ Ｄ
参 考文 献
［ １ ］ 邢 友宝 ， 宋 广 志． ２ ０ １ ０年高 考江 苏卷第 １ ８ （ ３ ） 题 的另 解
与推广 ［ Ｊ ］ ． 数学通讯 ， ２ ０ １ ０ （ ９下半月 ） ．
１ ） ， 且 左焦 点为 Ｆ （ 一 ， ０ ） ．
圆 锥 曲 线 有 关 中 点 的 存 在 性 探 究
上．
推广 中 的点 Ｃ和 直 线 ｚ 有着更 深刻 的射 影 几何
背景 ， 它们 其实是 圆锥 曲线 的一对极 点和 极 线． 由于
该 题 中 的 椭 圆 Ｃ 的 方 程 易 知 为 等＋ 等＝ １ ； 第
（ １ Ｉ ）小题 中 由已知 ｌ Ａ Ｐ Ｉ ・ Ｉ Ｑ ８ ｌ＝Ｉ Ａ Ｑ ｌ ・ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ ，
一
是线段 Ａ Ｂ 的 中 点 ，那 么 点 Ｐ （ ， Ｚ ｏ ） 在原点或 区域 一 Ｙ Ｏ
图１
＜ 。 或 薯 一 鲁 ． ＞ １ ． 如 １ ， 即 落 在 双 曲 线 的 内 部 （ 区
域 Ｉ）及 两条渐 近 线 围成 的区域（区域 Ⅱ） ．
１代入 一 ＝１ ， 得到 ２ ｘ 一４ ｘ＋３ ＝０ ． 该 方程
・
２ ８・
中学数 学研 究
２ ０ １ ５第 ６期
探 析 以圆锥 曲线 蝴 蝶 定 理 为背 景 的高 考题
江 苏省 兴化 中学
１ ． 问题提 出 的背景 ２ ０ １ ０年 江 苏高考 数 学 卷 第 ｌ ８题 的第 ３小题是 一道 备 受 关 注 的试 题 ， 该题为： 在平面直角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中（ 如 图１ ） ， 已知椭
即Ｌ
：Ｌ
，
说 明 Ｑ点在 极 点 Ｐ关 于椭 圆 Ｃ
ｌ Ｐ Ｂ Ｉ
ｌ Ｑ Ｂ Ｉ
值 等 式 ： ， 反 映 的 正 是 极 点 ｃ 与 极 线 对 应 的 极 线 上 ， 其 方 程 为 警 ＋ 等 ＝ １ ， 即 ＋ 等 ｌ
上 的点 Ｄ 关于 圆锥 曲线 共轭 的性 质 ， 以此 为背 景 的 高考 试题 俯拾 皆是 ， 如２ ０ ０ ８年 安徽 高考 数学理 科 第 ２ ２题 ： 设椭 圆ｃ： ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞０ ） 过点 （ ，
极 点不 一定 在 圆锥 曲线 的形 内， 因此 上述 推 广 中 的
（ 。 ， Ｙ ｏ ）也 可进 一 步推 广到 形 外． 事 实上 ， 它仍 可采 用 与上 文类 似 的方 法进 行 证 明 ， 不 过 蝴蝶 定 理 的形 式需做 相应 的变化． 另外， 在推 广 中 ， 我们 得 到 的 比
广 东省广 州市增城 中学 （ ５ １ １ ３ ０ ０ ） 钟康 生
有 关 圆锥 曲线 的 中点性 质 是 一类 值 得 研 究 的 问题． 本 文 受一道 课 后题 启 发 ， 经过 探 究 ， 得 到 了有 关 圆锥 曲线 中点 弦和 某类 线段 中点 的一 些结论． 题目 （ 高 中数 学人教 版 Ａ版 选修 ２ — １第 ６ ２ 页 日组 第 ４题 ）已知双 曲线 一 ＝１ ， 过 点 Ｐ（ １ ，
Ｉ ｆ ｂ ￣０ 十 ｔ ｔ ｙｏ
２
—
图２
； 将直线Ａ Ｂ 方程 Ｘ ｏ ｙ—Ｙ ｏ ＝０联 立 ｍ ｘ 。
２
， ， ０ １ ＿ｔ ｒ ｙｏ
证明： 建立 如 图 ２所 示 的
平 面直 角 坐标 系． 设Ａ （ 一ｍ， ０ ） ， Ｂ（ ｍ， ０ ） ， Ｐ（ ｘ Ｐ ， ０ ） ， Ｑ（ ｘ ０ ， ０ ） ， 因 为 二 次 曲 线 Ｑ
，
‘
（ ２ ２ ５ ７ ０ ０ ） 成开华
—
） ＝０ ， 其 中 Ａ为实 数 ， 令 Ｙ＝０， 则 ， ｏ是方 程
（ １十Ａ ｋ ２ ） 一ｍ ＝０两个 根． 由根 与系数 的关 系
ｒ
得 Ｐ＋ Ｑ＝０ ， ． ・ ．１ Ｏ Ｐ Ｉ＝ｌ Ｏ Ｑ ｌ ， 得 证．
图 １
和形 内定 点 （ 。 ， Ｙ 。 ）的直 线 交
曲 线 于 Ａ， ， 为定直 线 Ｚ ：
ｍｘ ｏ ＋ｎ ｙ ０ Ｙ ＝１上 的任 一点 ，
｜ Ｑ
ｔ＝９ ， 求证 ： 直 线ＭＮ必过 轴上一定 点 （ 其 坐标 与 ｍ
无关 ） ．
２ ２
直线 Ｔ Ａ， Ｔ Ｂ 与椭 圆分 别 交 于 点 Ｍ， Ｎ， 则直 线 ＭＮ 恒过 定 点
＝
１￣ｆ ｆ － Ａ、 Ｂ两 点 ， 且点Ｐ
） 一 （ ） ， ＋ ） ， ２ ） （ ＿ 三 ） ＝ ０ ， 由 于 点 Ｐ 是 线 段 Ｂ
的中 点， 贝 ４ 。 ＋ ２ ＝ ２ ， Ｙ ｌ ＋ Ｙ ２ ＝ ２ ， 所以２ 一 ÷（ ２ ）
＝０ ， 解 得 ｋ＝２， 直线ｚ 为 ｙ＝２ ｘ一１ ． 但 是将 Ｙ＝２ ｘ
Ｙ ｌ
结论 １
如果 能过 点
２
下
：１ ， ； 一 Ｙ ２：１ ， 上两式相减， 得到（ 一 ； ）一 Ｐ（ ｘ 。 ， Ｙ ｏ ）作 直 线 ｚ 与双 曲线
一
÷（ Ｙ ｌ — Ｙ ； ）＝０ ． 当 。 ＝ ： 时， 直线ｆ 斜率不存在，
可知 点 Ｐ不是 线段 Ａ Ｂ的 中点 ； 当 。≠ ２时， （ ＋
如 图２ ， Ａ Ｂ为 二次 曲线 ｎ
Ｊ ，
Ｌ
ｌ Ｄ Ｉ
一Ｌ
ｌ Ｔ Ｄ Ｉ
一
口 Ⅱ 二 一
Ｄ一 口
２ ．．
ｌ ＢＤ ｌ
．，
ｌ ＡＤ Ｉ’
的弦， ０是 Ａ Ｂ的中点 ， 过 ０作 Ｑ 的两条弦 Ｃ Ｄ和 Ｅ Ｆ ， 其中 Ｃ ， Ｅ位于 Ａ Ｂ 同 一侧 ， 若 过 点 Ｃ ， Ｆ， Ｄ， 的任 一二 次 曲线 与 直线Ａ Ｂ 交 于 Ｐ， Ｑ， 则Ｏ Ｐ＝
２ ． 圆锥 曲线的蝴 蝶定 理
ＰＱ的 中点．
由 圆锥 曲线 的蝴蝶定 理知 Ｉ Ｃ Ｅ ｌ＝ｌ Ｃ Ｆ ｌ ， 因此
一
其意境 幽美 ， 结论简洁， 想象洵美， 蕴理深刻 ， ３ ０ ０多 年来 引无数 中外 数 学爱好 者 为 之 驻足 ， 为 之 浮想 联 翩． 下 面我们 给 出圆锥 曲线 中的蝴蝶 定理．
什 么不用 检验 ， 而到 了双 曲线就 需要检 验 ？ ”我 想 不
到 学生 竟然提 出这 样 的 问题 ， 一下子 也 回答 不 出来 。 课后 ， 我 对该题 目进 行 了深 入 的探 究 ， 发现 以下 的结
论：
解： 设 点 Ａ（ １ ， ｙ １ ） ， Ｂ（ ｘ ， Ｙ 。 ）在 双 曲线上 ， 一