5静电场中的电介质总结

S
1 ′＝Q0 1－ Q εr

D P
+σ0 -σ'
E
+σ' -σ0
电位移矢量
v v v D＝ε 0ε r E = εE
自由电荷
电位移通量
v v ∫∫ D ⋅ dS = Q0
S
在静电场中， 在静电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移矢量通量等于该面 有介质时的高斯定理。 所包围的自由电荷的代数和——有介质时的高斯定理。 有介质时的高斯定理 所包围的自由电荷的代数和
∆V ∆Sd
2、电介质中的电场强度 、
E0 = σ 0 / ε 0
E ′＝σ ′ / ε 0
E
E0 E’
+σ0 -σ' +σ' -σ0
v v v E＝E 0＋E ′
E= 1 (σ 0 − σ ′ )

E＝ E 0 − E ′
σ0 E＝ = ε r ε 0ε r
E0
1 Q ′＝Q0 1－ εr
+++++++++++
εr
d
-----------
球形电容器内、外半径分别为R 例2 球形电容器内、外半径分别为 1和 R2 ，所带电荷为 ．若在两球壳间充以εr 所带电荷为±Q． 的电介质，求电容器内的电场强度？ 的电介质，求电容器内的电场强度？ 真空中的高斯定理
v v ∑q内 自由电荷 ∫S E ⋅ d S = ε 束缚电荷 0
v v v v v ∫S D ⋅ dS = ∑ Q0内 D = ε 0ε r E = ε E
+
−
R 2
R 1
P = (ε r −1)ε 0 E P = σ ′
解 (1) ( R1 < r < R2 ) )
v v ∫S D ⋅ dS = ∫ DdS = D ∫ dS = λl
侧面 侧面
+
−
l
D 2 π rl = λl
( R1 < r < R2 )
v v 2 ∫S D ⋅ dS = ∫S DdS = D 4πr = Q
Q D = 4π r 2
∴E = Q 4πε 0 ε r r
2
εr
Q
-Q
R1
E=
D
r
R2
ε 0ε r
Q = 4πε r 2
真空中：E =
Q 4πε 0 r 2
介质中的高斯定理
v v ∫S D ⋅ d S = ∑ Q 0内
6.电位移矢量和电场强度的关系 电位移矢量和电场强度的关系
v v D＝ε 0ε r E
v v P = (ε r − 1)ε 0 E
v v v D＝ε 0 E＋P
说明 •电位移矢量是辅助量 电位移矢量是辅助量 •在电介质中，环路定理仍然 在电介质中， 在电介质中 成立，静电场是保守场。 成立，静电场是保守场。
σ0 εr1 εr2 d1 d2
设两电介质中场强分别为E 解：(1)设两电介质中场强分别为 1和E2， 设两电介质中场强分别为 所以 选如图所示的上下底面面积均为S'的柱 选如图所示的上下底面面积均为 的柱 面为高斯面，上底面在导体中， 面为高斯面，上底面在导体中，下底面 D＝σ 0 在电介质中，侧面的法线与场强垂直， 在电介质中，侧面的法线与场强垂直， 电介质中的电场强度 柱面内的自由电荷为 D σ0 E1 = = ∑ Q0 = σ 0 S ′ ε 0 ε r 1 ε 0ε r 1 根据高斯定理 v v ∫∫ D ⋅ dS = DS1 = σ 0 S1
v v ∫ D ⋅ dS =
S
∑Q
i =1
n
0i
电位移矢量 电位移通量
v v v D = ε 0ε r E = ε E
∫
S
v v D ⋅ dS
Байду номын сангаас
D=
λ
2πr
r
D λ E= = ε0 εr 2 π ε0 εr r ( R1 < r < R2 )
R 2
R 1
ε r −1 P = (ε r −1)ε 0 E = λ (R1 < r < R2 ) 2 πεrr
真空中：E =
λ
2 π ε0 r
λ (2) E = ) ( R1 < r < R2 ) 2 π ε 0ε r r λ (r = R1 外侧) E1 = 2 π ε 0ε r R1 λ E2 = (r = R2 内侧) 2 π ε 0ε r R2
3、极化电荷与自由电荷的关系 、
ε0
1 σ ′＝σ 0 1－ εr
4、电介质的极化规律 、
P＝ σ ′
1 σ ′＝σ 0 1－ εr
v v P = (ε r − 1)ε 0 E
χ = εr −1
v v P = χε 0 E
1 ＝ε 0 E 0 1－ εr
电位移矢量
v v v D = ε 0ε r E = ε E
对称性：自由电荷 电介质 对称性：自由电荷+电介质 如：自由电荷与电介质均有球对 r 称性， 具有球对称性。 称性，则 D 具有球对称性。
图中是由半径为R 例3 图中是由半径为 1的 长直圆柱导体和同轴的半径为 R2的薄导体圆筒组成，其间充 的薄导体圆筒组成， 的电介质. 以相对电容率为εr的电介质 设 直导体和圆筒单位长度上的电 荷分别为+λ和 ) 荷分别为 和- λ. 求(1)电介 质中的电场强度、 质中的电场强度、电位移和极 化强度； ) 化强度； (2)电介质内外表面 的极化电荷面密度. 的极化电荷面密度
Q
a b c
εr
ua = ∫
∞
a
b
v v E ⋅ dr
c ∞ Q Q Q =∫ dr + ∫ dr + ∫ dr 2 2 2 a 4πε r b 4πε ε r c 4πε r 0 0 r 0 Q 1 1 = − 4πε0 a b
Q + 4πε0 εr Q + 4πε0 c
1 1 − b c
(2)分界面处第一层电介质的极化电荷面密度为 分界面处第一层电介质的极化电荷面密度为
ε r1 − 1 ′ σ 1 = P1 = σ0 ε r1
第二层电介质的极化电荷面密度为
′ σ 2 = P2 =
εr2 − 1 σ0 ε r2
(3)电位移矢量为 电位移矢量为
D1 = D2 = D = σ 0
小结： 小结： 有介质时的高斯定理 ——求介质中电场强度的方法 求介质中电场强度的方法
1.电极化强度和极化电荷面密度的关系 电极化强度和极化电荷面密度的关系
柱体，长为 、面积为∆S， 柱体，长为d、面积为 ， 极化电荷面密度分别为-σ'和 极化电荷面密度分别为 和+σ‘ 电偶极矩大小为: 电偶极矩大小为 +σ0 -σ'
P
l
+σ' -σ0
∑ p = σ ′∆Sd
电极化强度的大小为
∑ p = σ ′∆Sd ＝σ ′ P＝
-
εr
- Q -
-Q
R1 -
介质中的高斯定理 v v ∫S D ⋅ d S = ∑ Q 0内 自由电荷 v v v D = ε 0ε r E = ε E
- - r-
R2
球形电容器内、外半径分别为R 例2 球形电容器内、外半径分别为 1和 R2 ，所带电荷为 ．若在两球壳间充以εr 所带电荷为±Q． 的电介质，求电容器内的电场强度？ 的电介质，求电容器内的电场强度？ 解
例4
Q
a b c
εr
解
v v ∫ D ⋅ dS = ∑ q
s
D ⋅ 4πr = ∑ q
2
0 D= Q 4πr 2
0≤r ≤a a≤r≤∞
Q
a b c
εr
D = ε0 ε r E
0≤r ≤a 0 Q a≤r ≤b 2 4πε r 0 E = Q b≤r≤c 4πε ε r 2 0 r Q c≤r≤∞ 4πε r 2 0
S1
E2 =
D
ε 0ε r 2
σ0 = ε 0ε r 2
两极板的电势差为
v v U＝∫ E ⋅ dl =E1d 1 + E 2 d 2
电容
σ 0 d1 d 2 = ε + ε ε 0 r1 r2 Q0 ε 0ε r 1ε r 2 S C＝ ＝ U ε r 1d 2 + ε r 2 d 1
有电介质时的高斯定理的应用
计算电场强度 步骤 •首先由高斯定理求出电位移矢量的分布 首先由高斯定理求出电位移矢量的分布 •由电位移矢量的分布求出电场强度的分布 由电位移矢量的分布求出电场强度的分布
电位移矢量 有介质
高
的电介质， 例1 把一块相对电容率εr =3的电介质， 的电介质 放在相距d=1mm的两平行带电平板之间 的两平行带电平板之间. 放在相距 的两平行带电平板之间 放入之前，两板的电势差是1000V . 试求 放入之前，两板的电势差是 两板间电介质内的电场强度E 两板间电介质内的电场强度 ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
Q
a b c
εr
例题5． 例题 ．一平板电容器充满两层厚度 各为d 的电介质， 各为 1和d2的电介质，它们的相对电 容率分别为ε 极板的面积为S。 容率分别为εr1和εr2，极板的面积为 。 电容器的电容； 当极板上 求：(1)电容器的电容；(2)当极板上 电容器的电容 的自由电荷面密度为σ 的自由电荷面密度为σ0时，两介质分 解面上的极化电荷的面密度； 两 解面上的极化电荷的面密度；(3)两 层介质的电位移。 层介质的电位移。
-----------
电位移矢量 有介质
高
U 解 E0 = = 103 kV ⋅ m−1 d E = E 0 ε r = 3.33 × 10 2 kV ⋅ m −1
P = (ε r −1)ε 0 E = 5.89 ×10−6 C ⋅ m- 2
εr =3，
d=1mm， U=1000V U
+++++++++++
E0 = σ 0 / ε 0
E＝ E 0 / ε r
1 P＝σ ′＝σ 0 1－ εr
χ--电极化率 --电极化率
= (ε r − 1)ε 0 E
5.有电介质时的高斯定理 有电介质时的高斯定理
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS = (Q0 − Q′ )
S
Q0 = σ 0 S
ε0
Q0 − Q′＝Q0 / ε r v v ∫∫ ε 0ε r E ⋅ dS = Q0
εr
d
-----------
8-3 电位移矢量 有介质
高
σ 0 = ε 0 E0 = 8.85×10−6 C ⋅ m−2
*σ ' = P = 5.89×10−6 C ⋅ m−2
D = ε 0ε r E = ε 0 E0 = σ 0 = 8.85×10 C ⋅ m
−6
-2
εr =3，
d=1mm， U=1000V U
r =R 外 : 侧 1
( ε r −1)λ σ1' = −P = −( ε r −1)ε0 E1 = − 1 2 π ε r R1
+
−
r
r =R 内 : 侧 2 ( ε r − 1 )λ σ 2' = P2 = ( ε r − 1 )ε 0 E2 = 2 π ε r R2
R 2
R 1
P =σ′
一半径为a的导体球 被围在内半径为b 一半径为 的导体球, 被围在内半径为 的导体球 外半径为c， 、外半径为 ，相对介电系数为εr 的介质同 心球壳内，若导体球带电荷量为Q， 求 心球壳内，若导体球带电荷量为 ， D(r)，E (r)和导体表面 ， 和导体表面 电势. 电势