2010年全国大学生数学建模优秀论文(A题)(20170801145241)

进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球 冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。在计算球冠内储油 量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个 变量之间的关系：
β
α
测量的油位高度 h0
实际的油位高度 h
计算体积所需的高度 H
的距离； （ 4）假设油浮子到达最高处时便不再加油。
四、符号说明
h ：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度； x ：问题一中建立空间直角坐标系后 X 轴方向上油料宽度的一半； y ：建立空间直角坐标系后 Y 轴方向上的油料长度； z ：建立空间直角坐标系后 Z 轴方向上的变量； Vi ：问题一纵向变位第 i 种情况下相应某一高度时的油的体积； h0 ：问题一中变位后测得的油料高度； H ：问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度； S ：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积； Vg ：实际储油罐球冠内储油量；
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定。题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主 体为圆柱体，两端为球冠体。并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位 的截面示意图。
倾斜角为 =4.1 o的纵向变位，我们采用二重积分的方法，分三种情况进行计算。先在
油位高度方向积分得到任意处油截面的面积，再积分得到体积公式。最后利用附件
1中
的实际数据对公式的准确度进行检验，并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别。
第二问中，将储油罐分成三部分进行计算：中间的圆柱体和两端的球冠体。对于
与 的处理问题，对 、 已经确定的静态储油罐建立空间直角坐标系，根据几何关系
得出测得的油位高度 h0 与实际油位高度 h 的关系（含有参数 ），实际油位高度 h 与计算
体积所需的高度 H 1 、 H 2 的关系（含有参数 ），并计算得到储油量关于 H 1 、 H 2 的表 达式，于是便得到了储油量与测量油位高度 h0 及变位参数 、 的关系式，代入若干组
于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度
和横向偏转角度 ）
之间的一般关系。再利用附表 2 中的数据列方程组寻找 与 最准确的取值。
1
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 / 出油量与罐内油位高度等数据，通过预 先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油 位高度和储油量的变化情况。
第二种情况： 当 2450 tan H 1200 （单位： mm）时，两端罐底都接触油面，如图 6：
6
油位探针 Z
Y
H
h0
X
图 6 第二种情况
2450
V2
S h dy
0
代入
h H y tan
得：
V2 2.558 109 6.462 106 H 1.250 104 H 2 6.057H 3
7.450 106 arcsin 1.667 10 3 H 1.2927 H
1200
结合公式以及图 9 可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响： 变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为 0，刚好接触油浮子时，将数据 代入公式可计算得此时储油量约为 1.75L；在变位后的第一阶段内，曲线斜率小于变位 前，这个阶段内储油量变化较慢；第二阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上 升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第一阶段储油量较少，这是储油量比变 位前小 220L 左右；第三阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为 1200mm 时，油 罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约 100L。根据假设，为使油位高度与储油量 是一一对应的关系，此时不再加油，认为该值即为储油最大值。
V1 8.622 10 3 H 4 1.242 104 H 2 20.69H 3
6
3
7.45 10 arcsin 1.667 10 H 1 H
h
arcsin
1
600
2
1.17 108 H 7.021 109
4.47 109 arcsin 1.667 10 3 H 1 7.45 106 1200H H 2
附表 2 中的实际数据，即可确定 与 ，之后用实际检测数据检验所建模型的正确性与
2
方法的可行性。
三、模型假设
（ 1）忽略油罐厚度对油罐容积的影响，认为由图中数据得到的容积即为油罐的标准容 积；
（ 2）忽略油罐内各种管道如进出油管道，油位探针所占的体积； （ 3）不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面
V3 1.3083 109 V1 H '
将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中， 并与实际测量的数据做对 比，得到如下关系图（图 8）：
4500
纵向变 位后 储油 量与 测量 油位 高度关系 图
4000
3500
3000 L /
量 2500 油 储 2000 内 罐
1500
1000
500
0 0
将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中，得到图 9：
8
4500
纵向 变位前后 储油量 与测量 油位高 度关系 对比图
4000
3500
3000
量 油 2500 储 内 2000 罐
1500
1000
500
0 0
变位前 变位后
200
400
600
800
1000
测 量 油 位 高 度 / mm
图 9 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比
二、问题分析
本题是一个在罐体变位后重新标定罐容表的问题， 就是需要得出变位后油位高度与 油料体积的关系，然后在油料高度间隔为 1cm 或 10cm的情况下，算出所有高度所对应
的体积值，即可得到新的罐容表标定值。
第一问中共做了两次实验，分别为罐体无变位与纵向变位。对于无变位的情况，可 以选择合适的体积微元，在油位高度方向积分即可算出油体积与油位高度的关系；对于
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用） ： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号） ：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号） ：
地下储油罐的变位分析与罐容表标定
摘要
加油站地下储油罐在使用一段时间后， 由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向 偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。本文即 针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。 首先从简单的小椭圆型 储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直 角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度 的关系。将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在 3.5%以内。纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变 位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油 位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。
V0 ：实际储油罐中间圆柱部储油量； mi ：附表 2 中编号为 i 的流水号所对应的出油量。
五、模型的建立与求解
5.1 小椭圆型储油罐 5.1.1 无变位情况
首先以一侧罐底中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中下部阴影部分 为油料：
Z
Y
hx
y X
图 1 无变位情况下建立空间直角坐标系
3
从侧面观察得到如下示意图： Z
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ：
所属学校（请填写完整的全名） ：
参赛队员 ( 打印并签名 ) ： 1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人 ( 打印并签名 ) ：
日期： 2010
年 9 月 13 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ：
油位探针 Z
Y
H
h0
X
图 5 第一种情况
先在 Z 轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：
S2
h 600 8902
600
8902 z2 6002 d z
h
h2
890 h 600 300 6002
5.34 105
再将 h 视为变量，在 Y 轴方向上定积分：
H
V1
tan S h d y
0
其中 h H y tan ，代入后解得：
+5.778 109 arcsin 1.667 10 3 H 1.2927 7.450 10 25
2.416 1067 1 1062 H 2 1.551 1065 H 7.45 106 arcsin 1.667 10 3 H 1 H 4.47 109 arcsin 1.667 10 3 H 1
7.45 106 1.2 103 H H 2
x
X
h
图 2 截面椭圆示意图
根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：
x2
z2
0.892 0.62 1
于是有
x
0.892
0.892 z2 0.62
取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元，得到体积微元公式：
d v 2 2.45
0.892
0.892 z2 0.62 d z
体积微元在 z 轴方向进行积分，得到体积公式：
3500
3000
L / 2500 量 油 2000 储
1500
1000
500
0 0
计算 得到数 据 实际 测量数 据
0.2
0.4
0.6
0.8
1
油位 高度 /m
图 3 计算曲线与实际数据对比图
1.2
1.4
从图像上可以看出， 计算得到的数据与实际测量数据吻合较好， 相对误差始终很小， 实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化 模型，本文忽略这部分影响。
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道， 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
第 一阶 段 第 二阶 段 第 三阶 段 实 际数 据
200
400
600
800
测 量 油 位 高 度 / mm
图 8 变位后储油量与油位高度关系图
1000
1200
从图 8 可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。通过代入数据，误差保 持在 3%以内。因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。
V
2 2.45
h 0.6 0.892
0.6
0.892 z2 0.62 d z
2.18025 h 0.6
h h2
h
1.3083 arcsin
1
0.3 0.36
0.6
2
将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图， 得到如下曲线：
4
4500
储 油量与 油位高 度关系 图
4000
请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体） 示意图， 分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.1 0的纵向变位两种情况做了 实验，实验数据如附件 1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给 出罐体变位后油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。 （2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量 与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用 罐体变位后在进 / 出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据你们所建立的数学模型确 定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。进一步利用附件 2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
第三种情况：
当 H 0 1200 ， 其中 H 0 h0 400tan
被油浸没，如图 7：
油位探针
Z
h0
H0
（单位： mm）时，一端罐底已经完全
Y
X
图 7 第三种情况
7
V3 2450 890 600 且 h H ' y tan ，其中
H'
tan S h d y
0
代入上式解得：
H ' 2450tan H 0 1200 ，
5.1.2
4.1 o纵向变位
以椭圆罐底中心为原点， X 轴， Z 轴平行于罐底， Y 轴平行于油罐侧壁方向建立空
间直角坐标系：
油位探针
Z Y
H
h0
X
由图 4 可知：
图 4 纵向变位情况下建立空间直角坐标系
H h0 400tan
5
接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油ห้องสมุดไป่ตู้体积。
第一种情况： 当 400 tan H 2450 tan （单位： mm ）时，只有一端罐底接触油面， 如图 5：