第24章《解直角三角形》培优专题1：直角三角形的性质

图 2
P B
C
A
D E
C
A
图 1
E
D C A
图 3
B
E
D C
图 4
B
A 第24章《解直角三角形》培优习题1：直角三角形的性质
考点1：直角三角形30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半
题型1：直接利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半
例1、如图1，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，︒=∠30C ，BC 的垂直平分线交AC 于点D ，并交
BC 于点E ，若3=ED ，则AC 的长为（ ）
A 、33
B 、3
C 、6
D 、9
【同步练习】
1、如图2，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，︒=∠30B ，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长可能是（ ）
A 、5
B 、6.2
C 、7.8
D 、8
2、如图3，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，︒=∠30B ，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，若1=AE ，则BE 的长为（ ）
A 、2
B 、3
C 、2
D 、1
3、如图4，在ABC Rt ∆中，︒=∠60ACB ，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E 两点，若1=BD ，则AC 的长是（ ）
A 、4
B 、32
C 、6
D 、3
题型2：挖掘题中隐含30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半
例2、如图5，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，3=AC ，AB 的垂直平分线l 交BC 于点
D ，连接AD ，则BC 的长为（ ）
A 、12
B 、323+
C 、336+
D 、36
D B
C
图 5
l
A
D B
C
图 6
E
A
D
B C
图 7
E A
F
C E
图 10
A
D
P
O
A
C
图 9
B
A M
P O
B
N
图 8 E
A
D
C
P B
图 11
E A
D
B
图 12
E A
D C
B
图 13
【同步练习】
1、如图6，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，垂足是点E ，若cm AD 8=，则AC 的长是（ ）
A 、4cm
B 、5cm
C 、cm 34
D 、6cm
2、如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，cm AE 6=，则=AC （ ）
A 、6cm
B 、5cm
C 、4cm
D 、3cm
题型3：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与角平分线综合应用
例3、如图8，︒=∠30AOB ，P 是角平分线上的点，OB PM ⊥于点M ，OB PN //交OA 于点
N ，若1=PM ，则______=PN .
【同步练习】
1、如图9，︒=∠=∠15BOP AOP ，OA PC //，OA PD ⊥，若4=PD ，则PC 的长为 ；
2、如图10，在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，点D 在BC 上，14=AD ，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E ，F ，且DF DE =，则DE 的长为 .
题型4：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与等边三角形综合应用
例4、如图11，BD 是等边ABC ∆的角平分线，AB DE ⊥，垂足为点E ，线段BC 的垂直平分
线交BD 于点P ，垂足为F ，若2=PF ，则DE 的长为（ ）
A 、2
B 、32
C 、3
D 、4
【同步练习】
E
A
D
B
图 14
E
A
D
C
图 15
E
A
D
C
图 16
D F
G
H 图 3
E
A
C B
K
1
F
G
H
图 1
E
A
C
B C K
G
H
图 2
E
A B
O
D 1、如图12，在等边ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作BC D
E ⊥于点E ，且2=CE ，则AB 的长为（ ）
A 、8
B 、4
C 、6
D 、7.5
2、如图13，在等边ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥，若cm AC 16=，则BE 的长是（ ）
A 、4cm
B 、5cm
C 、6cm
D 、7cm
3、如图14，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，B ，C ，E 三点在同一条直线上，若3=AB ，
︒=∠150BAD ，则DE 的长为（ ）
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
4、如图15，在等边ABC ∆中，cm AB 10=，D 是AB 的中点，过点D 作AC DE ⊥于点E ，则EC 的长是（ ）
A 、2.5cm
B 、5cm
C 、7cm
D 、7.5cm
5、如图16，在等边ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作BC DE ⊥于点E ，且6=AB ，
则EC 的长为（ ）
A 、3
B 、4.5
C 、1.5
D 、7.5
题型5：综合创新题
例5、如图1，已知直线GH EF //，且EF 和GH 之间的距离为1，小明同学制作了一个直角
三角形硬纸板ACB ，其中︒=∠90ACB ，︒=∠60BAC ，1=AC ，小明利用这块三角板进行了如下的操作探究：
（1）如图1，若点C 在直线EF 上，且︒=∠20ACE ，求∠1的度数；
（2）若点A 在直线EF 上，点C 在EF 和GH 之间（不含EF 、GH 上），边BC 、AB 与直线GH 分别交于点D 和点K ；
①如图2，AKD ∠、CDK ∠的平分线交于点O ，在ABC ∆绕着点A 旋转的过程中，O ∠的度数是否变化？若不变，求出O ∠的度数：若变化，请说明理由；
②如图3，在ABC ∆绕着点A 旋转的过程中，设︒=∠n EAK ，()︒--=∠1034n m CDK ，求m 的取值范围。

【同步练习】
E
A
D
B
O F 图 乙
E
A
C
D
B
O
图 甲
A
C
D
B F P 图 丙
E
A
C
D B
1、如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，AB DE //，过点E 作DE EF ⊥，交BC 的延长线于点F .
（1）求F ∠的度数；
（2）若4=CD ，求EF 的长。

2、请阅读下列材料：如图甲，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 、由矩形的性质得，
AC AO BO 2
1
=
=.于是我们得到定理1：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

前面的条件不变，若︒=∠30ACB ，由矩形的性质得，︒=∠60AOB ，所以ABO ∆为等边三角形，所以AC AO AB 2
1
=
=.于是我们得到定理2：
直角三角形中，30°的直角边等于斜边的一半。

请你运用以上两个定理，解答下面两题：
（1）如图乙，O 为矩形ABCD 的对角线交点，DF 平分ADC ∠交AC 于点E ，交BC 于点F ，
︒=∠15BDF ，则_____=∠COF 度；
（2）如图丙，在ABC ∆中，4=AB ，3=AC ，5=BC ，P 为边BC 上一动点，AB PE ⊥于E ，
AC PF ⊥于F ，D 为EF 的中点，求AD 的最小值。

3、如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30ABC ，m AC =，延长CB 至点D ，使AB BD = （1）求D ∠的度数； （2）求︒75tan 的值。

考点2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
C
D
D E 例题7图 B C
A F
A
D E
同步练习2
B D E
同步练习1
B C
A P
D
同步练习3
B
C
F
M
E
同步练习4
B
C
A
例6、若直角三角形的两直角边a ，b 满足0361282=+-+-b b a ，则斜边c 上中线的长
为 .
【同步练习】
已知直角三角形的两直角边a 、b 满足02586222=+-+-+b b a b a ，则斜边c 上中线的长为 .
例7、如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CE ⊥，垂足为E ，点D 是边AB 的中点，20=AB ，
30=∆CAD S ，则DE 的长度是（ ）
A 、6
B 、8
C 、91
D 、9
【同步练习】
1、如图，在ABC ∆中，15==AC AB ，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 的中点，连接DE ，若C D E ∆的周长为21，则BC 的长为（ ）
A 、6
B 、9
C 、10
D 、12
2、在ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥，中线CE 交AD 于点F ，18=AD ，5=EF ，则BC 长
为（ ）
A 、12
B 、14
C 、16
D 、18
3、如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠60ABC ，
BD 平分ABC ∠，P 点是BD 的中点，若6=AD ，则CP 的长为（ ）
A 、3
B 、3.5
C 、4
D 、4.5
4、如图，在ABC ∆中，AB CF ⊥于F ，AC BE ⊥于E ，M 为BC 的中点，6=EF ，10=BC ，则EFM ∆的面积是（ ）
A 、6
B 、8
C 、12
D 、30
例8、如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠2，点D 为BC 上一点且AB AD ⊥，点E 是BD 的中点，
P 同步练习2
D
E
B
C
A
F 同步练习3
D
E C
A
D
E
B
A
同步练习1
M D E
B C A N
M D
E
B C
A
N
连结AE .
（1）求证：C AEC ∠=∠； （2）求证：AC BD 2=；
（3）若5.8=AE ，8=AD ，求ABE ∆的周长。

【同步练习】
1、如图，ABC ∆中，B C ∠=∠2，D 是BC 上一点，且AB AD ⊥，点E 是BD 的中点，连结AE .
（1）求证：AC BD 2=；
（2）若5.6=AE ，5=AD ，求ABE ∆的周长。

2、如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的高线，CE 是ABC ∆的角平分线，它们相交于点P . （1）若︒=∠40B ，︒=∠75AEC ，求证：BC AB =；
（2）若︒=∠90BAC ，AP 为AEC ∆边EC 上中线，求B ∠的度数。

3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作CD AE ⊥于点F ，交CB 于点E ，且DCB EAB ∠=∠.
（1）求B ∠的度数； （2）求证：CE BC 3=
例9、如图，ABC ∆中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中
点。

（1）求证：DE MN ⊥；
（2）连结DM ，ME ，猜想A ∠与DME ∠之间的关系，并写出推理过程；
（3）若将锐角ABC ∆变为钝角ABC ∆，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由。

【同步练习】
1、如图，四边形ABCD 中，CD BD ⊥，BA CA ⊥，点M ，N 分别为BC ，AD 中点。

同步练习1
A
M
D
B
C N
F
同步练习2
A
M E
B C
N
E
同步练习3
A
M
D
B
C
N
（1）求证：CD MN ⊥；
（2）若a AD =，b MN =，求BC 的长。

2、如图：BE 、CF 是锐角ABC ∆的两条高，M 、N 分别是BC 、EF 的中点，若6=EF ，24=BC . （1）证明：ACF ABE ∠=∠；
（2）判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； （3）求MN 的长。

3、如图，已知在ABC ∆中，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，M ，N 分别是BC ，DE 的中点。

（1）求证：DE MN ⊥；
（2）若10=BC ，6=DE ，求MDE ∆的面积。