第24章《解直角三角形》培优专题1:直角三角形的性质

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图 2
P B
C
A
D E
C
A
图 1
E
D C A
图 3
B
E
D C
图 4
B
A 第24章《解直角三角形》培优习题1:直角三角形的性质
考点1:直角三角形30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半
题型1:直接利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半
例1、如图1,在ABC Rt ∆中,︒=∠90A ,︒=∠30C ,BC 的垂直平分线交AC 于点D ,并交
BC 于点E ,若3=ED ,则AC 的长为( )
A 、33
B 、3
C 、6
D 、9
【同步练习】
1、如图2,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,3=AC ,︒=∠30B ,点P 是BC 边上的动点,则AP 的长可能是( )
A 、5
B 、6.2
C 、7.8
D 、8
2、如图3,在ABC Rt ∆中,︒=∠90A ,︒=∠30B ,BC 的垂直平分线交AB 于点E ,垂足为D ,若1=AE ,则BE 的长为( )
A 、2
B 、3
C 、2
D 、1
3、如图4,在ABC Rt ∆中,︒=∠60ACB ,DE 是斜边AC 的垂直平分线,分别交AB 、AC 于D 、E 两点,若1=BD ,则AC 的长是( )
A 、4
B 、32
C 、6
D 、3
题型2:挖掘题中隐含30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半
例2、如图5,在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,︒=∠15B ,3=AC ,AB 的垂直平分线l 交BC 于点
D ,连接AD ,则BC 的长为( )
A 、12
B 、323+
C 、336+
D 、36
D B
C
图 5
l
A
D B
C
图 6
E
A
D
B C
图 7
E A
F
C E
图 10
A
D
P
O
A
C
图 9
B
A M
P O
B
N
图 8 E
A
D
C
P B
图 11
E A
D
B
图 12
E A
D C
B
图 13
【同步练习】
1、如图6,在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,︒=∠15B ,DE 垂直平分AB ,垂足是点E ,若cm AD 8=,则AC 的长是( )
A 、4cm
B 、5cm
C 、cm 34
D 、6cm
2、如图7,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,︒=∠15B ,DE 垂直平分AB ,交BC 于点E ,cm AE 6=,则=AC ( )
A 、6cm
B 、5cm
C 、4cm
D 、3cm
题型3:30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与角平分线综合应用
例3、如图8,︒=∠30AOB ,P 是角平分线上的点,OB PM ⊥于点M ,OB PN //交OA 于点
N ,若1=PM ,则______=PN .
【同步练习】
1、如图9,︒=∠=∠15BOP AOP ,OA PC //,OA PD ⊥,若4=PD ,则PC 的长为 ;
2、如图10,在ABC ∆中,︒=∠60BAC ,点D 在BC 上,14=AD ,AB DE ⊥,AC DF ⊥,垂足分别为E ,F ,且DF DE =,则DE 的长为 .
题型4:30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与等边三角形综合应用
例4、如图11,BD 是等边ABC ∆的角平分线,AB DE ⊥,垂足为点E ,线段BC 的垂直平分
线交BD 于点P ,垂足为F ,若2=PF ,则DE 的长为( )
A 、2
B 、32
C 、3
D 、4
【同步练习】
E
A
D
B
图 14
E
A
D
C
图 15
E
A
D
C
图 16
D F
G
H 图 3
E
A
C B
K
1
F
G
H
图 1
E
A
C
B C K
G
H
图 2
E
A B
O
D 1、如图12,在等边ABC ∆中,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,过点D 作BC D
E ⊥于点E ,且2=CE ,则AB 的长为( )
A 、8
B 、4
C 、6
D 、7.5
2、如图13,在等边ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AB DE ⊥,若cm AC 16=,则BE 的长是( )
A 、4cm
B 、5cm
C 、6cm
D 、7cm
3、如图14,ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形,B ,C ,E 三点在同一条直线上,若3=AB ,
︒=∠150BAD ,则DE 的长为( )
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
4、如图15,在等边ABC ∆中,cm AB 10=,D 是AB 的中点,过点D 作AC DE ⊥于点E ,则EC 的长是( )
A 、2.5cm
B 、5cm
C 、7cm
D 、7.5cm
5、如图16,在等边ABC ∆中,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,过点D 作BC DE ⊥于点E ,且6=AB ,
则EC 的长为( )
A 、3
B 、4.5
C 、1.5
D 、7.5
题型5:综合创新题
例5、如图1,已知直线GH EF //,且EF 和GH 之间的距离为1,小明同学制作了一个直角
三角形硬纸板ACB ,其中︒=∠90ACB ,︒=∠60BAC ,1=AC ,小明利用这块三角板进行了如下的操作探究:
(1)如图1,若点C 在直线EF 上,且︒=∠20ACE ,求∠1的度数;
(2)若点A 在直线EF 上,点C 在EF 和GH 之间(不含EF 、GH 上),边BC 、AB 与直线GH 分别交于点D 和点K ;
①如图2,AKD ∠、CDK ∠的平分线交于点O ,在ABC ∆绕着点A 旋转的过程中,O ∠的度数是否变化?若不变,求出O ∠的度数:若变化,请说明理由;
②如图3,在ABC ∆绕着点A 旋转的过程中,设︒=∠n EAK ,()︒--=∠1034n m CDK ,求m 的取值范围。

【同步练习】
E
A
D
B
O F 图 乙
E
A
C
D
B
O
图 甲
A
C
D
B F P 图 丙
E
A
C
D B
1、如图,在等边三角形ABC 中,点D ,E 分别在边BC ,AC 上,AB DE //,过点E 作DE EF ⊥,交BC 的延长线于点F .
(1)求F ∠的度数;
(2)若4=CD ,求EF 的长。

2、请阅读下列材料:如图甲,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O 、由矩形的性质得,
AC AO BO 2
1
=
=.于是我们得到定理1:直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。

前面的条件不变,若︒=∠30ACB ,由矩形的性质得,︒=∠60AOB ,所以ABO ∆为等边三角形,所以AC AO AB 2
1
=
=.于是我们得到定理2:
直角三角形中,30°的直角边等于斜边的一半。

请你运用以上两个定理,解答下面两题:
(1)如图乙,O 为矩形ABCD 的对角线交点,DF 平分ADC ∠交AC 于点E ,交BC 于点F ,
︒=∠15BDF ,则_____=∠COF 度;
(2)如图丙,在ABC ∆中,4=AB ,3=AC ,5=BC ,P 为边BC 上一动点,AB PE ⊥于E ,
AC PF ⊥于F ,D 为EF 的中点,求AD 的最小值。

3、如图,在ABC ∆中,︒=∠90C ,︒=∠30ABC ,m AC =,延长CB 至点D ,使AB BD = (1)求D ∠的度数; (2)求︒75tan 的值。

考点2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
C
D
D E 例题7图 B C
A F
A
D E
同步练习2
B D E
同步练习1
B C
A P
D
同步练习3
B
C
F
M
E
同步练习4
B
C
A
例6、若直角三角形的两直角边a ,b 满足0361282=+-+-b b a ,则斜边c 上中线的长
为 .
【同步练习】
已知直角三角形的两直角边a 、b 满足02586222=+-+-+b b a b a ,则斜边c 上中线的长为 .
例7、如图,在ABC ∆中,︒=∠90ACB ,AB CE ⊥,垂足为E ,点D 是边AB 的中点,20=AB ,
30=∆CAD S ,则DE 的长度是( )
A 、6
B 、8
C 、91
D 、9
【同步练习】
1、如图,在ABC ∆中,15==AC AB ,AD 平分BAC ∠,点E 为AC 的中点,连接DE ,若C D E ∆的周长为21,则BC 的长为( )
A 、6
B 、9
C 、10
D 、12
2、在ABC ∆中,AC AB =,BC AD ⊥,中线CE 交AD 于点F ,18=AD ,5=EF ,则BC 长
为( )
A 、12
B 、14
C 、16
D 、18
3、如图,在ABC ∆中,︒=∠90ACB ,︒=∠60ABC ,
BD 平分ABC ∠,P 点是BD 的中点,若6=AD ,则CP 的长为( )
A 、3
B 、3.5
C 、4
D 、4.5
4、如图,在ABC ∆中,AB CF ⊥于F ,AC BE ⊥于E ,M 为BC 的中点,6=EF ,10=BC ,则EFM ∆的面积是( )
A 、6
B 、8
C 、12
D 、30
例8、如图,在ABC ∆中,B C ∠=∠2,点D 为BC 上一点且AB AD ⊥,点E 是BD 的中点,
P 同步练习2
D
E
B
C
A
F 同步练习3
D
E C
A
D
E
B
A
同步练习1
M D E
B C A N
M D
E
B C
A
N
连结AE .
(1)求证:C AEC ∠=∠; (2)求证:AC BD 2=;
(3)若5.8=AE ,8=AD ,求ABE ∆的周长。

【同步练习】
1、如图,ABC ∆中,B C ∠=∠2,D 是BC 上一点,且AB AD ⊥,点E 是BD 的中点,连结AE .
(1)求证:AC BD 2=;
(2)若5.6=AE ,5=AD ,求ABE ∆的周长。

2、如图,在ABC ∆中,AD 是ABC ∆的高线,CE 是ABC ∆的角平分线,它们相交于点P . (1)若︒=∠40B ,︒=∠75AEC ,求证:BC AB =;
(2)若︒=∠90BAC ,AP 为AEC ∆边EC 上中线,求B ∠的度数。

3、如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,CD 是斜边AB 上的中线,过点A 作CD AE ⊥于点F ,交CB 于点E ,且DCB EAB ∠=∠.
(1)求B ∠的度数; (2)求证:CE BC 3=
例9、如图,ABC ∆中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,M 、N 分别是线段BC 、DE 的中
点。

(1)求证:DE MN ⊥;
(2)连结DM ,ME ,猜想A ∠与DME ∠之间的关系,并写出推理过程;
(3)若将锐角ABC ∆变为钝角ABC ∆,如图,上述(1)(2)中的结论是否都成立?若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由。

【同步练习】
1、如图,四边形ABCD 中,CD BD ⊥,BA CA ⊥,点M ,N 分别为BC ,AD 中点。

同步练习1
A
M
D
B
C N
F
同步练习2
A
M E
B C
N
E
同步练习3
A
M
D
B
C
N
(1)求证:CD MN ⊥;
(2)若a AD =,b MN =,求BC 的长。

2、如图:BE 、CF 是锐角ABC ∆的两条高,M 、N 分别是BC 、EF 的中点,若6=EF ,24=BC . (1)证明:ACF ABE ∠=∠;
(2)判断EF 与MN 的位置关系,并证明你的结论; (3)求MN 的长。

3、如图,已知在ABC ∆中,AC BD ⊥于D ,AB CE ⊥于E ,M ,N 分别是BC ,DE 的中点。

(1)求证:DE MN ⊥;
(2)若10=BC ,6=DE ,求MDE ∆的面积。

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