第24章《解直角三角形》培优专题1：直角三角形的性质

图 2

P B

C

A

D E

C

A

图 1

E

D C A

图 3

B

E

D C

图 4

B

A 第24章《解直角三角形》培优习题1：直角三角形的性质

考点1：直角三角形30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半

题型1：直接利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半

例1、如图1，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，︒=∠30C ，BC 的垂直平分线交AC 于点D ，并交

BC 于点E ，若3=ED ，则AC 的长为（ ）

A 、33

B 、3

C 、6

D 、9

【同步练习】

1、如图2，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，︒=∠30B ，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长可能是（ ）

A 、5

B 、6.2

C 、7.8

D 、8

2、如图3，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，︒=∠30B ，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，若1=AE ，则BE 的长为（ ）

A 、2

B 、3

C 、2

D 、1

3、如图4，在ABC Rt ∆中，︒=∠60ACB ，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E 两点，若1=BD ，则AC 的长是（ ）

A 、4

B 、32

C 、6

D 、3

题型2：挖掘题中隐含30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半

例2、如图5，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，3=AC ，AB 的垂直平分线l 交BC 于点

D ，连接AD ，则BC 的长为（ ）

A 、12

B 、323+

C 、336+

D 、36

D B

C

图 5

l

A

D B

C

图 6

E

A

D

B C

图 7

E A

F

C E

图 10

A

D

P

O

A

C

图 9

B

A M

P O

B

N

图 8 E

A

D

C

P B

图 11

E A

D

B

图 12

E A

D C

B

图 13

【同步练习】

1、如图6，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，垂足是点E ，若cm AD 8=，则AC 的长是（ ）

A 、4cm

B 、5cm

C 、cm 34

D 、6cm

2、如图7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，cm AE 6=，则=AC （ ）

A 、6cm

B 、5cm

C 、4cm

D 、3cm

题型3：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与角平分线综合应用

例3、如图8，︒=∠30AOB ，P 是角平分线上的点，OB PM ⊥于点M ，OB PN //交OA 于点

N ，若1=PM ，则______=PN .

【同步练习】

1、如图9，︒=∠=∠15BOP AOP ，OA PC //，OA PD ⊥，若4=PD ，则PC 的长为 ；

2、如图10，在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，点D 在BC 上，14=AD ，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E ，F ，且DF DE =，则DE 的长为 .

题型4：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与等边三角形综合应用

例4、如图11，BD 是等边ABC ∆的角平分线，AB DE ⊥，垂足为点E ，线段BC 的垂直平分

线交BD 于点P ，垂足为F ，若2=PF ，则DE 的长为（ ）

A 、2

B 、32

C 、3

D 、4

【同步练习】

E

A

D

B

图 14

E

A

D

C

图 15

E

A

D

C

图 16

D F

G

H 图 3

E

A

C B

K

1

F

G

H

图 1

E

A

C

B C K

G

H

图 2

E

A B

O

D 1、如图12，在等边ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作BC D

E ⊥于点E ，且2=CE ，则AB 的长为（ ）

A 、8

B 、4

C 、6

D 、7.5

2、如图13，在等边ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥，若cm AC 16=，则BE 的长是（ ）

A 、4cm

B 、5cm

C 、6cm

D 、7cm

3、如图14，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，B ，C ，E 三点在同一条直线上，若3=AB ，

︒=∠150BAD ，则DE 的长为（ ）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

4、如图15，在等边ABC ∆中，cm AB 10=，D 是AB 的中点，过点D 作AC DE ⊥于点E ，则EC 的长是（ ）

A 、2.5cm

B 、5cm

C 、7cm

D 、7.5cm

5、如图16，在等边ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作BC DE ⊥于点E ，且6=AB ，

则EC 的长为（ ）

A 、3

B 、4.5

C 、1.5

D 、7.5

题型5：综合创新题

例5、如图1，已知直线GH EF //，且EF 和GH 之间的距离为1，小明同学制作了一个直角

三角形硬纸板ACB ，其中︒=∠90ACB ，︒=∠60BAC ，1=AC ，小明利用这块三角板进行了如下的操作探究：

（1）如图1，若点C 在直线EF 上，且︒=∠20ACE ，求∠1的度数；

（2）若点A 在直线EF 上，点C 在EF 和GH 之间（不含EF 、GH 上），边BC 、AB 与直线GH 分别交于点D 和点K ；

①如图2，AKD ∠、CDK ∠的平分线交于点O ，在ABC ∆绕着点A 旋转的过程中，O ∠的度数是否变化？若不变，求出O ∠的度数：若变化，请说明理由；

②如图3，在ABC ∆绕着点A 旋转的过程中，设︒=∠n EAK ，()︒--=∠1034n m CDK ，求m 的取值范围。

【同步练习】