探究指数函数与其反函数图象的交点个数

探究指数函数与其反函数图象的交点个数
引言：
（a为实数）有几个实数根？，相信每个人都会利用图像法来解决问题，如a=1.5时，可画出图像1显然无解，可对于所有的a的值都适用吗？
正文：
（a为实数）有几个实数根，此类问题一般分两类情况讨论，即a∈（0,1）和a∈（1,+∞）在此，先讨论a∈（1,+∞）时的情况。

之前已经知道a=1.5时显然无交点，a=2时，图像如图2所示，a=3,4,5,6……时两图线的距离不断增大，因此可推得当a增大时，两函数图像直接距离越来越大。

而当a≈1.445时两函数图像基本相切（如图3），同时，当a继续减小时图像将会出现两个焦点（图4），由于两函数各点上的切线斜率单调递增（递减）所以最多出现两个交点。

因此可以得出结论对于方程当a∈（1,+∞）时，方程的解有如下三种情况：①当a∈（1,1.445）时，方程无解。

②当a∈（1.445，+∞）时，方程有两个解。

③当a≈1.445时，方程有且仅有一个解。

接下来讨论a∈（0,1）时的情况。

当a∈（0,1）时，图像看似比较简单如a=0.5时的图像（图5）以及a=1/16时的图像（图6，蓝色图线为y=（1/16)^x）。

通过图像可以看到a=0.5时x有一个解，而图6中可被观察到的交点也只有一个。

然而事实并非如此。

当a=1/16时，因为两函数互为反函数且与y=x均有交点（图7），两个互为反函数的函数关于直线y=x轴对称，所以易得两函数与y=x的交点横坐标即为函数的第一个解。

然而将x=0.5与x=0.25带入方程时会发现，这两个x的值也可以使等号两边成立。

且两交点为（0.5，0.25)与(0.25,0.5)均不在直线y=x上所以当x=1/16时，该方程有3个解。

将图像放大也可以找到这三个解：与直线y=x的交点，(0.5,0.25),(0.25,0.5)（图8）。

虽然图8不尽清晰，但放大后可观察到三个解的出现是由于在两函数图线与直线y=x的交点附近的凸起相交后形成的，可当a取何值时才会出现三个解呢？
通过软件的运算，我们可以得出，当a∈（0,1/e^e)时会出现三个解，而a∈（1/e^e，1）时则仅有一个解。

因此可以得出结论，对于方程，当a∈（0,1）时，方程的解有如下两种情况：
①当a∈（0,1/e^e)时方程有三个解。

②当a∈（1/e^e，1）时方程有且仅有仅有一个解。

结论：
对于方程来说，解的个数有如下四中情况：
①当a∈（0,1/e^e)时方程有三个解。

②当a∈（1.445，+∞）时，方程有两个解。

③当a∈（1/e^e，1）∪｛1.445｝时方程有且仅有仅有一个解。

④当a∈（1,1.445）时，方程无解。

注：这里的1.445仅为近似值，非精确值。