经济理论中的最优化方法-第一章

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首先,假定最初配置
x1 0 x2 0
现在考虑一个小的套利操作:将少量但是数量 为正的收入 dI 从商品2转到商品1进行边际上 的再配置。 这意味着:多购买 dI p1 单位的商品1,少购买 dI p2 单位的商品2.
MU1 MU 2
两种商品的边际效用。
这意味着商品1数量上的变动 dx1 改变了 MU1dx1 个单 位的效用,商品2的变动 dx2 导致了MU 2 dx2 个单位的 效用变化。总效用的变化为
假定有n中商品,价格为
p1 ,..., pn ,数量为 x1 ,..., xn
对于所有在最优时都被购买了正的数量的商品,边际 效用对价格的比例必定有一个相同的值,这个值可以 被解释为收入的边际效用λ。 对于所有在最优时都没有被购买的商品,边际效用对 价格的比例必定小于或至多等于这个值λ。
MU1dx1 MU 2 dx2
dx2 MU1 MRS dx1 MU 2 MU1 p1 MU 2 p2
(1.7)
在最优选择处,无差异曲线的斜率等于预算线的斜 率。因而
(1.8)
§1.3 套利方法优点—角点解
套利方法在其中一种商品根本不被购买的情形下更 容易被采用。这种情况发生在预算线的顶端,这样 的最优选择通常称为角点解。 MU1 p1 MU 2 p2 0
将结果用公式表示,即为
= MU i pi
xi 0 xi 0
=0 xi 0 MU i pi 0 xi 0
(1.10)
套利方法也可以扩展到允许有多个约束条件的情形。 对于每个约束条件,需要一个单独的λ,它可以被解释 为放松那个约束条件的边际效用。
§1.6 套利方法优点—非紧的约束条件
最后,考虑一个与消费者理论并不非常相关的扩展, 但这一扩展在其他应用中是非常重要的。 设想一个消费者有如此之多的收入以至于他心满意足 并且无法花光所有收入,那么预算方程(1.1)应该是
p1 x1 p2 x2 I
通过定义一种新商品 x3,可以将这种情形纳入到 前述分析中。 x3是“没有被花掉的收入”,其价格 为1并且不产生效用。 那么预算方程变为
由于是在预算线上变动,不会造成额外的支出; 仅仅是某一数量的货币从购买一种商品转到另 一种商品的重新配置。 如果最初的配置不是最优的,变动可以提高效 用。 如果是最优的,变动不会提高效用。 整个推理过程记为“套利方法”,由此推导的 最优条件称为“无套利条件”。
dx
变量x的“一个微小的变动”。这里 假定商品是可分的。
x2 I p2 x1 p1 p2
预算线的斜率的数值为 p1 p2 无差异曲线的斜率是边际替代率(MRS),等于边 际效用的比率 MU MU
1 2
无差异曲线的斜率是边际替代率(MRS),等于边 际效用的比率 MU1 MU 2
如果 dx1单位的商品1的边际损失恰好被dx2 单位的商品2 的边际收益所补偿,那么边际替代率就是 dx2 dx1 。即
经济理论中的最优化方法
主讲人:马会强 13880024703 huiqiangma@hotmail.com 教材:阿维纳什· K· 迪克西特
第一章 导论
• 经济学研究的主要内容: 最优的利用稀缺 资源,即,在约束条件下最大化。 • 所有约束条件下的最大化问题有一个共同 的数学结构,这一数学结构又反过来为分 析这些问题提供了一个共同的经济学直觉。
dI 单位的额外收入增加了dI 单位的效用。
MU1 p1 MU 2 p2
(1.9)
最优化标准(1.6)两边相等的值的经济解释:他是收 入的边际效用。 所有约束条件下最优化问题的无套利条件,都可能有 一个类似的解释。
§1.5 套利方法优点—多种商品和多个约束条件
可以很容易的将分析扩展到多种商品,并且某些商品 可能根本不被消费的情形。
消费者选择模型
切与最 之无优 处差选 异择 曲: 先预 的算 相线
预算线:所有支付得起的两种商品的组合 无差异曲线:代表了目标,即要达到尽可能 高的曲线。
I
消费者的货币收入
p1 x1
p2 x2
商品的价格 商品的数量
预算线:
p1 x1 p2 x2 I
(1.1)
U x1 , x2
无差异曲线:
若全部用来消费商品2,则消费额外的 dI p2 单位 的商品2,并取得额外的 MU 2 dI p2 单位的效用。
由(1.6)式可知:这两个效用的增量必须相等。因而 在边际上可以将无穷小量的额外收入进行任意配置
于是,把每单位额外收入所带来的效用的增量简单 地称为收入的边际效用。并记一单位额外收入的边 际效用为λ。
MU1dx1 MU 2 dx2
(1.3)
注意:任何一个边际调整都是如此之小,以至于整个 过程中边际效用自身的变化忽略不计。
特别的,如果 x2 增加,和 x1减少, MU 2 MU1 就会下降, 这就是边际替代率递减原理
套利操作对效用的影响可以写成
MU1
p1 MU 2 p2 dI
如果这个式子的值为正,消费者就有动机实行这个在 配置,并试图做出相同方向上的进一步的再配置。 如果最初的消费配置是最优的,表达式的值不可能为 正。
消费者对两种商品数量的偏好
U x1 , x2 常数
(1.2)
曲线相切:相切处斜率相等
§1.1 套利方法
套利方法:从预算的任意一个实验性的配置开始, 考虑一个变动。(在预算线上变动) 如果变动产生了一个更高效用的消费束,那么就 将它作为一个新的实验性配置而被消费者采取。 ……。 一旦发现某个消费配置已经无法用这种方法来改 进,那么它就是最优配置。 最优化的检验条件:不可能再找到一个改进。
MU1 =MU 2 0
也就是,这些商品被消费到产生零边际效用的水平, 即达到了满足点。
因此,可以将“无套利标准”写成
MU1 p1 MU 2 p2 0
(1.4)
如果(1.4)的左边大于0,那么把一些支出转到商品 1上是值得的。 这种转移一直进行到使得(1.4)左式为零。 类似的,考虑一个相反方向的再配置,可以得到:如 果最初配置是最优的,必然有
MU1 p1 MU 2 p2 0
(1.4)
0, I
p2
§1.4 套利方法优点—收入的边际效用 两种商品最初都被购买。最优化标准
MU1 p1 MU 2 p2
(1.6)
假定消费者获得额外的数量为 dI的收入用于消费。 若全部用来消费商品1,则消费额外的 dI p1 单位 的商品1,并取得额外的 MU1dI p1 单位的效用。
பைடு நூலகம்
p1 x1 p2 x2 x3 I
MU 3 0
=0 MU i pi 0
xi 0 xi 0
0
(1.10)
由于消费者选择了一个正的 x3,由(1.10)可知
直观的含义:如果消费者甚至没有花完他所拥有的所 有收入,那么收入增量所带来的边际效用应该为0.
反过来,在对应于其他商品的(1.10)式中,可以得到
(1.5)
将这两个“无套利标准”合写成一个,得到完整的 “无套利条件”:如果数量均为正的配置是最优的, 那么在这点处边际效用必须满足
MU1 p1 MU 2 p2
(1.6)
经济解释:在最优选择处消费者对于将额外一单位的 货币收入配置给任何一种商品是无差异的。
§1.2 相切条件 复杂而常用的导出相同的最优性条件的方法,是基于 预算方程(1.1)所表示的预算线和效用函数(1.2) 所表示的无差异曲线的相切。预算方程改写为
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