数值分析第一章绪论习题答案

第一章绪论

1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。

* * e* x * _x

解：近似值x*的相对误差为:.=e*

x* x*

1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e*

x*

进而有；(ln x*)::.

2•设x的相对误差为2%求x n的相对误差。

解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1

n A.

x nx .

又7 f '(x)= nx n」C p

|=n

n

又；；r((x*) n) ： C p ；,x*)

且e r (x*)为2

.；r((x*)n) 0.02 n

3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0.

解：x；=1.1021是五位有效数字；

X2 =0.031是二位有效数字；

X3 =385.6是四位有效数字；

x4 = 56.430是五位有效数字；

x5 -7 1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4.

* * * *

其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。

解:

*

1 4

；(x-| ) 10

2

* 1 3

;(x 2) 10

2

* 1 1

；(x 3) 10 * 1 3

；(x 4) 10

2

* 1 1

；(x 5) 10

2 (1)；(为 X 2 X 4)

=；(为)亠：(x 2)亠：(x 4)

=1 10 4 1

10 J 丄 10^

2 2 2

= 1.05 10”

* * * (2)(X 1X 2X 3)

* * * ** * ** *

X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2)

1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10

(3) XX 2/X 4)

X 4

0.031 1

10” 56.430 丄 10’

2 2

56.430 56.430

=10°

5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 4

3

解：球体体积为V R 3

则何种函数的条件数为

=1.1021汉 0.031 汉 * 汉

10」+

0.215

RV' R 4 - R2

Ik -3

；r(V*) ： C pL；r(R*) =3；r(R*)

1

故度量半径R时允许的相对误差限为；r(R*) 1 ：0.33

3

6•设Y0=28，按递推公式丄J783 (n=1,2,…)

100

计算到Y oo。若取％/783乏27.982 ( 5位有效数字)，试问计算Y oo将有多大误差?

1 f_____

解：；* Yi 二丫n」…-783

100

<1

论。匸丫99 ^783

100

1 ____

783

丫99 - Y98

100

1 .

783

丫98 二丫97

100 1

Y1 = 丫) (783)

100

1

依次代入后，有Y,。。=Y -100'：——/783

100

即Y0°=Y)—J7西,

若取,783 27.982,. Y100 =Y0 -27.982

* 1 _3

二那(Y00)=欽丫。)+总(27.982)=『10」

1 」

■ 丫)。。的误差限为10 。

2

7•求方程x2-56x ^0的两个根，使它至少具有4位有效数字(.78^-27.982 )。解：x2-56x 1 =0 ,

故方程的根应为为,2=28±丁783

故X1 = 28 . 783 28 27.982 二55.982

-X1具有5位有效数字

-- 1 1 1

x2 =28-、、783 0.017863

28 、783 28 27.982 55.982

X2具有5位有效数字

N + 1

&当N充分大时，怎样求 2 dx ?

•N 1+x2

N + 1

解 2 dx = arcta n(N 1) 一 arcta nN

设：二 arcta n(N 1),：二 arcta nN 。

则 tan ： = N 1,tan ： = N.

N 1

1 2 dx

N 1 x 2

=cc 一 B 二 arctan(tan( _ -))

丄 tan 。-tan P

=arctan —

1 tan tan :

丄 N+1_N

二 arctan —

1 +(N +1)N

=arctan — N 2 +N +1

100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过 1cm 2 ? .；(A*) =2A*LI ；(X *).

当 x* =100 时，若；(A*)乞1,

1 2

则；(x*) 10

2

故测量中边长误差限不超过

0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 1cm 2 10.设 S = 1gt 2，假定g 是准确的 ，而对t 的测量有 0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的 绝对误差

增加，而相对误差却减少。

1

解：；S =-gt 2,t 0

2

.；(S*) =gt 2L ；(t*)

当t *增加时，S*的绝对误差增加 gt 2

L ；(t*) 1 * 2

(t*)

9.正方形的边长大约为了

解：正方形的面积函数为 A(x)二 x 2