探究空间四边形

探究空间四边形

陕西汉中市405学校 侯有岐 任娟 723312

空间四边形是立体几何中的最基本图形之一．通过对空间四边形在点、线、面方面的研究，可以使学生在空间概念的建立、空间想象能力的培养上起到事半功倍的效果，从而使分散的知识点集中起来，复杂的问题变得简单容易. 如图，四边形ABCD 是空间四边形，若连结两条对角线，则空间四边形就成了常见的几何体——三棱锥（即四面体）.

一、位置关系

例1 如图，在空间四边形中ABCD 中，AB 与CD ，AD 与BC ，BD 与AC 的位置关系是 .

解析： 假设AB 与CD 共面，则A B C D 、、、

在同一个平面内，这与四边形ABCD 是空间四边形

矛盾，所以，AB 与CD 是异面直线，同理可得AD

与BC ，BD 与AC 也是异面直线.

例2 如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上,若EH 和GF 不平行.

求证：EH 和GF 的交点在BD 上.

分析：本例实质是证明EH 、GF 和BD 三线共点问题，用公理3即可. 证明: 由于EH 和GF 在同一平面上,

且EH 和GF 不平行,则EH 和

GF 必相交于一点P .

P E H P A B D E H A B D ∈⎫⎪⇒∈⊂⎬≠⎪⎭

直线平面平面, 同理P CBD ∈平面,

而ABD CBD BD = 平面平面, P BD ∴∈,

EH 和GF 的交点在BD 上.

点评：以上两例，体现了空间四边形中的线线、线面位置关系.既考查了异面直线的证明,又考查了用公理3证明三线共点问题的一般方法,同时又涉及了数学中的一种重要证题方法——反证法.

二、数量关系

例3 已知E F G H 、、、分别为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，对角线AC =6，BD =8，求22EG HF +的值

.

分析: 空间四边形各边中点连线构

成平行四边形是空间四边形的一个重要

性质,这样就可以利用平行四边形性质解

决相关问题,因而先利用三角形中位线证

明有关线段平行.

解: E H 、分别为AB 、AD 的中点，

12EH BD ∴= . 同理12

FG BD ∴= EH FG ∴=

∴四边形EFGH 是平行四边形. 113, 422

EF AC EH BD ==== ∴由平行四边形性质得 22EG HF +=22222()2(34)50EF EH +=+=.

例4 空间四边形一组对边中点的连线段小于另一组对边和的一半. 分析: 本题讨论的是三边之间的大小关系,

因而首先利用空间四边形将有关线段转化在同

一三角形内,再利用三角形三边关系定理解决.

解: 如图,在空间四边形ABCD 中,取BD 中

点E ,连结ME 、NE ,

则 1,2ME AB = 12

NE CD = . 在EMN ∆中，MN ME NE <+. 故命题成立.

点评:以上两例, 体现了空间四边形中特殊线段间的等量与不等量关系,所包含的方法及技巧体现了转化与化归的数学思想,应引起重视.

三、图形形状

例5 如图，E F G H 、、、分别是空间四边形各 边上的点，且有, AE AH CF CG m n EB HD FB GD

====. (1)证明: E F G H 、、、四点共面;

(2),m n 满足什么条件时,

EFGH 是平行四边形.

解: (1) AE AH EB HD = , EN BD ∴ . CF CG FB GD

= , FG BD ∴ . EN FG ∴ ∴E F G H 、、、四点共面.

(2) 当且仅当 EH FG =

时,四边形EFGH 为平行四边形. , 11

EH AE m m EH BD BD AE EB m m ==∴=+++ .

同理 1

n FG BD n =+. 由 EH FG = 得 m n =. 故当 m n =时,四边形EFGH 为平行四边形.

点评: 空间四边形是立体几何的一个基本图形,它各边中点连线构成平行四边形；当两对角线相等时,该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时, 该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时, 该平行四边形为正方形.

通过以上三个方面的讨论,可以看出,以空间四边形作为思维的“生长点”，可以有效沟通有关知识间联系，形成知识链，从而提高学生的空间想象能力，有助于空间概念的建立，应引起重视.