保险精算课件 第4章生存年金

m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x : m
m Ex
a xm : n
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11
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m a x
kEx
k m 1
ax
a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
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例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
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例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
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5
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
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1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
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推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
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公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
＊期初付和期末付年金之间的关系
ax ax 1
max maxmEx
a x:n
1a x:n
nEx
m ax m1 ax
a 1a
x:n
x:n1
mnax m1nax
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例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生
存年金，利息力 0.03 。死亡密度为
f(x)0.02e0.02x.
求保单的趸缴净保费。
（1）ax
E(a ) T
a
0t
fT(x)(t)dt
1vt
0
t
pxxtdt
(2) ax
vt
0
t
pxdt
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2.连续定期生存年金
n
(1 )a x： n0a ttp x x tdtnp xa n
(2)
a x:n
nvt
0
t
pxdt
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20
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
lxnE x(1i)nlxn
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2
例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获 得其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需 提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1 的生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009 E12 50000 v9 9 p12
500001.069 l21 l12
4.延期m年n年定期连续生存年金
m a x :n m m n v ttp x d t a x :m n a x :m m E xa x m :n
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※生存年金递推公式
ax1vpxax1
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5.4 生存年金与寿险的关系
公式一： 1dax Ax
解释： (x)投保时的1单位元等于(x)在存活期 每年初的1单位元的预付利息d和 (x)死亡年末 1单位元赔付现值之和
岁起以生存为条件得到年金。假设年金每年支 付一次，一次支付6000元。用精算符号表示 该保单的趸缴净保费。
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5.3 连续生存年金
＊连续年金
年支付额为1个单位的t年期连续年金的现值为
a t a1(s)ds
t
0
常数利率情形下：
a t vsds 1vt
t
0
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1.连续终身生存年金
ax kEx vkk px
k0
k0
它是一系列保险期逐步延长的纯生存保险之和
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7
• 期末付终身生存年金
ax kEx vkk px a x 1
k1
k1
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8
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
f(t)0.015e0.015t(t0), 利息力为0.05。试计算精算现值 a x ，
并求该现值足够用于实际支付年金的概率。
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例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05, 试计算精算现值 a 50 :10
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3.延期m年连续生存年金
m a xm v ttp x d t a x a x:m m E xa x m
50000 0.5918985 991353 995225
29479.78 (元)
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3
＊利率和生者利下的
累积系数 折现系数
1 1 (1i)n lx
nEx vn n px
lxn
nEx t Ex nt Ext
也叫精算累积因子和精算折现因子。
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4
练习:
1. 计算(25)购买40年定期纯生存险的趸缴纯 保费。利率i＝6％，保险金额为3万元。
m n1
m n a x
kEx
k m 1
a a
x:mn
x:m
m E x axm :n
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例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。
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第4章 生存年金精算现值
5.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险
人存活为条件，按预先约定的金额以间隔相 等的时期（年、半年、季、月）进行一系列 给付的保险。
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1
注：在生存年金研究中，习惯用 n E x 表示1
单位元纯生存保险的精算现值，即
nEx Ax:1n vnnpx
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2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
n1
n1
a x:n
kEx
vkkpx
k0
k0
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
kEx
vk k px
k1
k1
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10
3.延期期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
m a x k E x
km
精算
现值
ax
a x:m