理论力学-第一章点的运动学1-3 自然坐标描述法

lτ
vA
( qτ ln)v
y
A

rv
v
q
M
x
r n
O
vA

第 1章
点 的 运 动 学
返回
点 的 运 动 学
dr 1 ds
dr τ ds

P

s
P´
r
s s (t )
s0
r
o
r
v (t ) sτ ( s)
r r ( s(t ))
加速度 第 1章
v (t ) s ( s )
d ds
ds dt
大小？ d ? ds 方向？ 1 n
点 的 运 动 学
1

— 曲线上P点的曲率



s
P´


2sin 2
P
s s (t )
s0
r

o
r
返回
d / ds 的方向
第 1章
d 与 垂直，令 n d ds ds
点 的 运 动 学
n 是单位矢量，如果运动轨迹为平面曲 线，它就是曲线在P点的法向单位矢量

P
s s (t )
s0

Байду номын сангаас
P´


n
返回
密切面 第 1章
如果P点的运动轨迹为空间曲线
点 的 运 动 学

P
b
n



P´

密切面
b n —自然坐标系
密切面：由轨迹上无限接近的两点的两条 切线所确定的极限平面。
例1 第 1章
单摆的运动规律为 0 sin t，ω为常数， OA = l。求摆锤A的速度v和加速度a。 解：以O1点为原点建立弧坐标s。 A点弧坐标形式的运动方程为 s l l0 sin t
点 的 运 动 学
y
A
q
v
M
r
O
x
例2 第 1章
l r τ
q r lτ
解
q r n
点 的 运 动 学
l v τ r τ v v r n
d r lτ vA v lτ lv n dt
q v v
第3 节
自然坐标描述法
2018年4月16日
运动方程 第 1章
如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方 程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间 变化的规律描述。
点 的 运 动 学
运动方程: s s(t )
速度 第 1章
dr d r d s v (t ) dt ds dt dr r lim ds s 0 s
v sτ l0 cos tτ
a sτ s n l l0 2 sin tτ 0 cos 2 tn
2
点 的 运 动 学
O

O1
l
A
s
例2
第 1章
设有一点M的轨迹是平面曲线，M点的向径 为r，速度为v。直线OA垂直于过M点的切线， 并且与切线交于A点。试求A点的速率。
a (t ) s s
a (t ) s s n
2

切 向 加 速 度
法 向 加 速 度
d / ds 的大小
第 1章
d lim ds s 0 s
lim s 0 s lim 1 2sin s 0 s 2
点 的 运 动 学
d ds