平面向量及三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心
已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：
0=++•••OC S OB S OA S C B A
如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则
B
C
COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆
图1
=
OD BC DC OB +BC
BD
OC
=C B B
S S
S +OB +C
B C S S S +OC
C
B A
COA BOA COD BOD COA COD BOA
BOD S S S S S S S S S S
S OA OD +=++==
= 图2
∴C
B A S S S OD +-
=OA
∴C
B A S S S +-
OA =
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
∴0=++•••OC S OB S OA S C B A
推论O 是ABC ∆内的一点，且
0=++•••OC OB OA z y x ，则
z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆
O
A B
C
D
O
A B
C
有此定理可得三角形四心向量式
O 是ABC ∆的重心
⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA
O 是ABC ∆的内心
⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a
O 是ABC ∆的外心
⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC
C OB B OA A
O 是ABC ∆的垂心
⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A
证明：如图O 为三角形的垂心，DB
CD
B AD CD A ==
tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :
∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆
同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan
:=∆∆
∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

与“重心”有关的向量问题
1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
如图⑴.
A'
G
C
A
B
2已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，
时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足（λ
图⑴
图⑵
M
P
C
B
A
∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心
B ．重心
C ．外心
D ．垂心
解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.
A
B
C
4已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC
△的( )．
图⑶
图⑷
H F
E
M A
P
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
， 即
0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B
AC C
⋅⋅+
=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点
在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.
5若H 为ABC △所在平面内一点，且2
2
2
2
2
2
HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
证明:
2222
HA HB CA BC -=-
()()HA HB BA CA CB BA ∴+•=+•
得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题
6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若
0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )
．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心
【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，
∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫
⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭
， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=
+ ⎪++⎝⎭
．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．
同理可证：BI 平分
ABC ∠，CI
平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.
7已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =OP OA +λ
⎫
⎛，(0)λ∈+∞，
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )． A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭
，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.
8若O 在△ABC 所在的平面内：
图⑸
图⑹
B
O
C
A
B
=
，则O 是△ABC
的（ ） A ．垂心 B ．重心
C ．内心
D ．外心
解：∵向量
的模等于1，因而向量
是单位向量
∴向量、和等都是单位向量
∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，
∵
可得AO 在∠BAC 的平分线上
同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．
与“外心”有关的向量问题
8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
M O
B C
A
P
【解析】若2
2
2
OA OB OC ==，则2
2
2
OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是
ABC △的外心，如图⑺。

9 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过
ABC △的( )。

A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由于2
OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫
⎪+ ⎪⎝⎭
表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。

），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻
四心的相互关系
1.三角形外心与垂心的向量关系及应用
设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。

2.三角形外心与重心的向量关系及应用
设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3
OG OA OB OC =++
3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用
设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且1
2
OG GH =。

相关题目
10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．
图⑺
图⑻
求证：（1）H是△ABC的垂心；
（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O，
∴
又∵
∴
则=•==0
即AH⊥BC
同理BH⊥AC，CH⊥AB
即H是△ABC的垂心；
（2）∵G为△ABC的重心
∴=3=3+=即=3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2。