离散数学第五章第五节

定义3 设<A,*>是代数系统， f是<A,*>到<A,*>的一个同 态（同构），则称f为自同态（自同构）。 定理2：设G是代数系统的集合，则G中代数系统间的同构 关系是等价关系。
证：设任意<A,*>G，令f：AA，f(a)=a，aA。从而 <A,*><A,*>，即代数系统间的同构关系是自反的。
f(a)*f(a-1)=f(aa-1)=f(e)=f(a-1a)=f(a-1)* f(a) 因f(e)是<f(A),*>的幺元，所以f(a-1)是f(a)的逆元。
所以任意b=f(a)f(A)有逆元, 即f(a)-1=f(a-1) 。 由上述， <f(A),*>是群。
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4、同态(同构)代数系统间的关系(3)
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3、同构
定义2 设f是<A,>到<B,*>一个同态，如果f是A到B的满 射(入射)f，则称f是<A,>到<B,*>满同态(单一同态)。 如果f为双射，则称f为同构映射，并称<A,>与<B,*>同 构，记作AB。
例1 设R是实数集，R+为正实数集合，说明代数系统<R+,>与<R,+>是 同构的。 解：为说明<R+,>与<R,+>是同构的，必 须建立R+ 到R的双射f,并且对任意 x1,x2R+,有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
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1、例子（2）
在代数系统<A,>和<B,*>之间，可建立从A到B的映射f,
1 f ( x) 0 1 x , x x , ,


对任意a1,a2A, 有 f(a1 a2)=f(a1)* f(a2)
例如， f( )=f()=0， f()*f()=1*(-1)= 0。 所以， f( )=f()*f()
定义4 设f是群<G,>到群<H,*>的一个同态，eH是<H,*> 的幺元,令Ker(f)={x|xG且f(x)=eH}。称Ker(f)是同态映 射f的核，简称同态核。 定理3 设f是群<G,>到群<H,*>的一个同态，则f的同态 核K是G的子群。(<K,>是<G,>的子群) 证明：对任意k1,k2K,有 f(k1k2)=f(k1)*f(k2)=eH*eH=eH 所以k1k2K,所以运算在K上封闭。进而可知运算在 K上可结合。 又因f是群<G,>到群<H,*>的同态，根据定理1， eH=f(e)，这说明eK，e也是K的幺元。 对任意kK, f(k)=eH。 f(k-1)=(f(k))-1=(eH)-1= eH 所以k-1K,即K中任意元素有逆元。从而K是G的子群。
设<A,*><B,>，那么存在双射f：AB，故f-1：BA也 是双射，所以<B,><A,*>。因而该关系是对称的。 设<A,*><B,>，<B,><C,>，则存在双射f：AB和 g：BC,那么gf：AC也是双射，所以<A,*><C,>。 因而该关系是传递的。
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5、同态核
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6、同余关系（1）
定义5 设<A,*>是一个代数系统，R是A上的等价关系。如 果<a1,a2>,<b1,b2>R时，有<a1*b1,a2*b2>R，则称R为A 上关于运算*的同余关系。由该同余关系将A划分成的等 价类叫做同余类。 例2 给定代数系统<I,+>和I上的模K等价关系R，证明R是 I上关于运算+的同余关系。 证：设<a,b>,<c,d>R,那么可令： a-b=kn1, c-d=kn2, n1,n2I 所以， (a-b)+(c-d)=k(n1+n2), n1+n2I 即 (a+c)-(b+d)=k(n1+n2) 亦即 <a+c,b+d>R 按定义，R是I上关于运算+的同余关系。
这时，称f为代数系统<A,>到<B,*>的一个同态。
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1、例子（3）
f()=f()=f()=1,f()=f()=0,f()=-1, = ; 1*(-1)=0 f( )=f()= 0 =1*(-1)= f()*f()
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2、同态
定义1 设<A,>和<B,*>是两个代数系统， 和*分别是A 和B上的二元运算。如果存在映射f:AB,对任意a1,a2A, 有f(a1a2)=f(a1)*f(a2),则称f是<A,>到<B,*>的一个同 态映射，简称同态。并称<A,>同态于<B,*>，记作AB； 称<f(A),*>为<A,>的一个同态象。
注：从同余关系的定义可知，同余关系首先是等价关系。 同余关系与代数系统上的运算有关，所以等价关系不一 定是同余关系。
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6、同余关系（3）
定理4 设<A,*>是一个代数系统，R是A上的同余关系。 B={A1,A2,…,Ar}是由R诱导的A一个划分，那么必存在新 的代数系统<B,>，它是<A,*>的同态象。 本定理证明线索： 1、在B上建立运算； 2、证<A,*>与<B,>满同态，即要构造一个满射f:AB, 使 f(x*y)=f(x)f(y)。 证：在B上定义二元运算：对任意Ai,AjB，任取a1Ai, a2Aj，如果a1*a2Ak，则定义AiAj=Ak。 因R是A上的同余关系，所以上述定义中Ak是唯一确定的。 其次，作映射f:AB,f(a)=Ai,aAi。显然f是满射。 对任意x,yA,则x,y应属于某一分块，可设xAi yAj， 这里1i,jr,于是f(x*y)=Ak=AiAj=f(x)。因此，f是由 <A,*>到<B,>的满同态，即<B,>是<A,*>的同态象。
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6、同余关系（4）
定理5 设f是<A,*>到<B,>的同态映射，定义A上的二元 关系R：aRb当且仅当f(a)=f(b),则R是A上的同余关系。 证：先证R是A上的等价关系：对任意aA,因f(a)=f(a)， 所以aRa；若aRb,则f(a)=f(b)，亦有f(b)=f(a)，所以 bRa；若aRb,bRc,则f(a)=f(b)，f(b)=f(c),于是 f(a)=f(c)，所以aRc。 其次，若aRb,cRd,则 f(a*c)=f(a)f(c)=f(b)f(d)= f(b*d) 所以，(a*c)R(b*d)。 故R是A上的同余关系。
第5-5讲 同态与同构
1. 例子 2.同态 3.同构 4.同态代数系统间的关系 5.同态核 6. 第5-5讲 作业
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1、例子（1）
设、、是带正电荷的粒子，、是中性粒子，是带 负电荷的粒子，下表描述了这些粒子间相互作用的结果：
Leabharlann Baidu
令 A={,,,,,} ，则 <A,> 是一个代数系统。如果 只考虑带电粒子的正负特性，则这些粒子相互作用的结 果可用另一个系统<B,*>(B={1,0,-1})概括地描述。
可令f:R+R,f(x)=lnx,则f是R+ 到R 的双射，且 f(x1x2)=ln（x1x2）=lnx1+lnx2 =f(x1)+f(x2)
所以，代数系统<R+,>与<R,+>是同构的。
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4、同态(同构)代数系统间的关系(1)
定理1 设f是代数系统<A,>到<B,*>一个同态，如果 <A,>是半群(独异点、群)，则同态象<f(A),*>也是半群 （独异点、群）。 证：以群为例进行证明。 因f是同态， 所以f(A)B。对任意b1,b2f(A),有 a1,a2A,使得 f(a1)=b1, f(a2)=b2, 那么 b1*b2 =f(a1)* f(a2)=f(a1a2)f(A)。 所以*运算在f(A)上封闭。 对任意b1,b2 ,b3 f(A),有a1,a2 ,a3 A,使得f(a1)=b1, f(a2)=b2, f(a3)=b3, 那么
定理1 设f是代数系统<A,>到<B,*>一个同态，如果 <A,>是群，则同态象<f(A),*>也是群。 证(续)：设e是<A,>的幺元，对任意bf(A),有aA,使 得f(a)=b, 那么 b*f(e)=f(a)*f(e)=f(ae)=f(a)=b。 同时， b*f(e)=f(ae)=f(ea)=f(e)*f(a)=f(e)*b 所以，f(e)是<f(A),*>的幺元。 对任意bf(A),有aA,使得f(a)=b, 因<A,>是群，则 a有逆元a-1，且f(a-1)f(A), 那么
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6、同余关系（2）
例3 给定代数系统<A,*>，A={a,b,c,d},运算*定义如下表， 说明A上的等价关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>, <b,a>,<c,d>,<d,c>}，分析R是否为A上关于运算*的同余 关系。
证：<a,b>,<c,d>R, 但<a*c,b*d>=<d,a>R 按定义，R不是同余关系。
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第5-5讲 作业
P221 2，4 ，11
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b1*(b2*b3)=f(a1)*(f(a2)*f(a3))=f(a1)*f(a2a3)=f(a1(a2a3)) =f((a1a2)a3)=f(a1a2)*f(a3)=(f(a1)*f(a2))*f(a3)=(b1*b2)*b3
所以*运算在f(A)上可结合。
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4、同态(同构)代数系统间的关系(2)