中考数学常考易错点 圆 专题练习试题合集(含答案解析)

中考数学常考易错点圆专题练习试题合集（含答案解析）

易错清单

1.考虑问题不全面,缺乏分类讨论而导致错误.

【例1】已知:☉O的直径为14cm,弦AB=10cm,点P为AB上一点,OP=5cm,则AP的长为cm.

【解析】学生画图造成思维定势,画出了一种,因此答案就写一种.没有真正理解“点P为AB上一点,OP=5cm”的含义,即点P是以O为圆心,5cm为半径的弧与AB的交点,这样的点P有两个.

【答案】4或6

【误区纠错】学生在画图的时候,没有分类的意识,这里的点P是靠近点A还是点B不清楚,因此需要分类.

2.切线的判定

【例2】(2014·山东临沂)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的☉O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E.

(1)证明:DE为☉O的切线;

(2)连接OE,若BC=4,求△OEC的面积.

【解析】(1)首先连接OD,CD,由以BC为直径的☉O,可得CD⊥AB,又由等腰三角形ABC的底角为30°,可得AD=BD,即可证得OD∥AC,继而可证得结论;

(2)首先根据三角函数的性质,求得BD,DE,AE的长,然后求得△BOD,△ODE,△ADE以及△ABC的面积,继而求得答案.

【解答】(1)连接OD,CD,

∵BC为☉O直径,

∴∠BCD=90°.

即CD⊥AB,

∵△ABC是等腰三角形,

∴AD=BD.

∵OB=OC,

∴OD是△ABC的中位线.

∴OD∥AC.

∵DE⊥AC,

∴OD⊥DE.

∵点D在☉O上,

∴DE为☉O的切线.

【误区纠错】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

3.圆和圆的位置关系.

【例3】(2014·江苏徐州)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆与小圆的半径分别为3cm和1cm,若圆P与这两个圆都相切,则圆P的半径为cm.

【解析】如解答图所示,符合条件的圆P有两种情形,需要分类讨论.

【答案】由题意,圆P与这两个圆都相切若圆P与两圆均外切,如图(1)所示,此时圆P的半径

若圆P与两圆均内切,如图(2)所示,此时圆P的半径

(1)

(2)

综上所述,圆P的半径为1cm或2cm.

故答案为1或2.

【误区纠错】本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是确定如何与两圆都相切,要注意分类讨论.

名师点拨

1.熟练掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化.

2.理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定,会根据条件解决圆中的动态问题.

3.掌握由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来判定两圆的位置关系,对中考试题中出现的阅读理解题、探索题,要灵活运用圆的有关性质,进行合理推理与计算.

提分策略

1.利用垂径定理进行证明或计算.

通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形求解.由于圆中一条弦对应的弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况,所以利用垂径定理计算时,不要漏解.

【例1】(2014·湖南张家界)如图,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为.

【答案】7

2.圆心角、弧、弦之间的关系的应用.

圆心角、弧、弦之间的关系要巧记.同圆或等圆中,有些关系要搞清:等弧对的弦相等,圆心角相等,等弦所对圆心角相等,反之亦成立.

【例2】如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.

(1)求证:BD=CD;

(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.

【解析】(1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明;(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB=DE=DC.

【答案】(1)∵AD为直径,AD⊥BC,

∴BD=CD.

(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由如下:

由(1)知:BD=CD,

∴∠BAD=∠CBD.

∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,

∴∠DBE=∠DEB.

∴DB=DE.

由(1)知:BD=CD,

∴DB=DE=DC.

∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.

3.切线的判定与性质的应用.

【例3】(2014·甘肃白银)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆☉O交AC于点D,点E为BC 的中点,连接DE.

(1)求证:DE是半圆☉O的切线.

(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.

【解析】(1)连接OD,OE,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形,再由E为斜边BC的中点,得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE为公共边,利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等,由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直,即可得证.

(2)在直角三角形ABC中,由∠BAC=30°,得到BC为AC的一半,根据BC=2DE求出BC的长,确定出AC的长,再由∠C=60°,DE=EC得到三角形EDC为等边三角形,可得出DC的长,由AC-CD即可求出AD的长.

【答案】(1)连接OD,OE,

∵AB为圆O的直径,

∴∠ADB=∠BDC=90°.

在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,

∴DE=BE.

在△OBE和△ODE中,

∴△OBE≌△ODE(SSS).

∴∠ODE=∠ABC=90°.

则DE为圆O的切线.