平面向量学案

第一课时

1．向量的概念

(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．

(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．

(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．

思考1两个向量可以比较大小吗？

提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．

2．向量的表示法

(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的长度(或称模)，如向量AB的长度记作|AB|.

(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量．书写时，可写成带箭头的小写字母a，b，c，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.

特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a；

(2)向量的起点、终点要搞清，如AB与BA的起点与终点正好相反．

3．有关概念

思考2单位向量都相等吗？

提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．

思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？

提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．

思考4共线向量与相等向量有什么关系？

提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．

特别提醒(1)零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．

(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．

第二课时

1．向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．

2．向量加法的三角形法则

如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

3．向量加法的平行四边形法则

如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？

提示：(1)两个法则的使用条件不同．

三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．

(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．

如图所示，AC＝AB＋AD (平行四边形法则)．

又∵BC＝AD，∴AC＝AB＋BC (三角形法则)．

(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同．

思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？

提示：能．向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则的实质是三角形法则的连续应用．4．向量加法的运算律

思考3

提示：对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝0＋a＝a.

思考4 ||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|之间的大小关系是怎样的？

提示：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a＋b|＝|a|＋|b|；

当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||＝|a＋b|.

第三课时

1．相反向量 如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量 (2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量． 2．向量的减法 ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量OA ＝a ，OB ＝b ，则向量BA .如图所示

的起点放在一起，则a －b 可以表示为从向量b 的终点指

向向量a 的终点的向量思考1若OA ＝a ，

OB ＝b ，则AB ，BA 如何用a ，b 表示？ 提示：AB ＝OB －OA ＝b －a ，BA ＝OA －OB ＝a －b .

思考2若a 与b 是两个不共线的向量，则|a ＋b |和|a －b |的几何意义是什么？ 提示：如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b ，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .

∵四边形OACB 是平行四边形，∴|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．

思考3向量加法与减法的几何表示的区别？

提示：向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．

第四课时

1．向量的数乘 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa

|λ||a |

的方向与a 的方向相同

提示：向量数乘与原向量是共线向量． 思考2 向量数乘λa 的几何意义是什么？

提示：(1)当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长了|λ|倍．

(2)当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短了|λ|倍．

思考3向量

||

a

a 的大小与方向如何？ 提示：向量||

a

a 的大小为1，方向与a 的方向相同，所以该向量是向量a 方向上的单位向量．

2．向量数乘的运算律

向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .

特别地，(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .