【全国百强校】浙江省慈溪中学人教版高中数学选修2-3课件：1.3.1 二项式定理1(共21张PPT)

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnk an-kbk：二项展开式的通项，记作Tk+1 Cnk ： 二项式系数
注 ①二项展开式共有n+1项 ②各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2+ … +Cnr xr +…+ xn
①项数： 共4项; ②次数: 齐3次; 按a的降幂,b的升幂排列
③系数: C30 C31 C32 C33
思考: 你能分析一下“ a 2 b” 这项的
系数“C
1 3
”是怎么来的吗?
利用情境分析: a a b , a b a , b a a
a b a b a b
(a b)3 (a b ) (a b ) ( a b )
(a b )n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b
Cnk ankbk
百度文库
CnnbnnN*
( 2 ) 请 分 析 ( a b ) n 的 运 算 ， 验 证 猜 想 。
( a b ) n ( a b ) ( a b )( a b )
项
a b n a n 1 b a n 2 b 2 … a nk b k … n
a4 a3b a2b2 ab3
b4
系数
都取 取 不一 两 取个 个
bb b
C40 C41 C42
取取 三四 个个
bb
C43 C44
结果：( a b ) 4 C 4 0 a 4 C 4 1 a 3 b C 4 2 a 2 b 2 C 4 3 a b 3 C 4 4 b 4
(1 )猜 想 (a b )n , n N * 的 展 开 式 ；
慈溪中学 应勤俭
从前有座山，。。。,两个和尚没水喝,为 了解决吃水问题,他们协议,每人每天下山挑一 担水。若下山既可以走前山，
也可以走后山，前山有2条 路，后山有3条路，假定他 们下山的选择相互独立， 问两个和尚共有多少不同 下山的方法？
改为“三个和尚，前山a条路， 后山b条路”,问:共有多少不同下山 的方法 ？
二项展开式定理
abnC n 0anC n 1an 1bC n kankbk C n nbnn N*
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0
恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1
恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn
Cnkankbk Cnnbn
两种方法： 1.多项式乘法一项一项乘开来
2.用计数原理分析项和系数
善于观察，善于归纳，善于应用
课本P37:ex1,2,3
猜想 ( a b ) 4 的展开式,并
加以分析验证。
( a b ) 4 C 4 0 a 4 C 4 1 a 3 b C 4 2 a 2 b 2 C 4 3 a b 3 C 4 4 b 4
( a b ) 4 ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
项
都取 不1 取个 bb
取
取
取
2 … k …n
个
个
个
b
b
b
系数 Cn0 Cn1 Cn2 … Cnk … Cnn
二项式定理
(a b )n
Cn0anCn1an1bCnkankbk
CnnbnnN*
二项展开式的规律:
①项数： 共n＋1项
②次数: 齐n次,a按降幂排列，b按升幂排列
③③系 二数项:式系数 Cn k,(k0,1,2,...,n)
(a b)3
(ab)2(ab)
(ab)(ab)(ab)
(a22abb2)(ab)
a 3 a 2 b 2 a 2 b 2 a b 2 b 2 a b 3
a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3
分析: ( a b ) 3 C 3 0 a 3 C 3 1 a 2 b C 3 2 a b 2 C 3 3 b 3
a ab ab a b a a
C3
a1
3
2b
因此, (a b )3 的 运 算 也 可 以 这 样 展 开 ： (a b )3 (a b )(a b )(a b )
项
a3 a2b ab2 b3
都取 取 取
不一 两 三
取个 个 个
bb
b
b
系数
C30 C31 C32
C33
结果：( a b ) 3 C 3 0 a 3 C 3 1 a 2 b C 3 2 a b 2 C 3 3 b 3
(上标与b的次数一致)
通项: T k 1 C n k a n k b k,(k 0 ,1 ,2 ,...,n )
对定理的再认识
(a b) =n C n 0 n 0an n(C n 11 a)n C 1 n 1(a nb 1)b C ( n ka 1)nk k C (n k a bn ) kkbk
(C n n 1() nC b)n nnbn
例1 求 (2 x 1)6的 展 开 式 . x
小结
1）注意二项式定理中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系 数及项
练1 化 简 ： （ 1 +x ） 4 （ 1 -x ） 4
一个公式： (ab)n Cn0anCn 1an1b