常数函数与幂函数的导数及导数公式表(20210318202610)教学内容
人教B版高中数学选修高二~常数与幂函数的导数和导数公式表课件
()
2．若函数 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
A．0
B．－13
C．3
1 D.3
[答案] D
()
[解析] ∵f(x)＝3 x＝x31，∴f′(x)＝13x－23， ∴f′(1)＝13.
3．已知直线 y＝kx 是 y＝lnx 的切线，则 k 的值为( )
1 A.2
B．－12
1 C.e [答案] C
∴y′|x＝π3＝－sin3π＝－
3 2.
5 ． 曲 线 y ＝ xn 在 x ＝ 2 处 的 导 数 为 12 ， 则 n 等 于 ____________．
[答案] 3 [解析] ∵y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.
三、解答题 6．求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程．
f′(x)等于
(
)
1 A. x3
B．－21 x
1 C.2x [误解] B
D．－2
1 x3
[辨析] 对于(xa)′＝axa－1 公式记忆不清，( 1x)′＝(x －12)′＝－12x－12，没有在指数上减去 1.
[正解] ( 1x)′＝(x－21)′＝－12x－23＝－2 1x3，故选 D.
一、选择题 1．函数f(x)＝0的导数是 A．0 B．1 C．不存在 D．不确定 [答案] A [解析] 常数函数的导数为0.
本节重点：常数函数、幂函数的导数． 本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到 幂函数的求导公式．
利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的 导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真 观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问 题的本质，把解题思路放开．
4．(sinx)′＝ cosx . (cosx)′＝ .－sinx
课件6：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
基本初等函数的导数公式:
序号
y=f(x)
y'=f'(x)
1
y=C
y'=0
2
y=xn
y'=nxn-1,n 为自然数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
y=xμ(x>0,μ≠0)
y'=μxμ-1,μ 为有理数
4
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln a
5
y=ex
y'=ex
6
y=logax(a>0,a≠1,x>0)
y'=x a
7
直线 l 的方程.
【解析】由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切
点为(a,b),则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出
切线方程.
解:设切点为(a,b).
因为 y'=3x2,
所以 kl=y'|x=a=3a2.
又因为直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,
所以 3a2=3,所以 a=±1.
式求导,应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式
的形式.
解:(1)y'=7x6;
3
3 1
2,所以 y'= 2
3
= 2 ;
(2)因为 y=x =
2
1
(3)y'=
;
ln3
(4)因为 y=2sin2·cos2=sin x,所以 y'=cos x;
1 -2
2
-3
(5)因为 y= 2=x ,所以 y'=-2x =- 3.
课件5：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝34
1
x4
3 ＝4
4
； x
(4)y′＝(lg x)′＝xln110.
一点通：用导数公式求导，可以简化运算过 程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征， 将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导 公式．
2．注意区分幂函数的求导公式 (xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
考点1：运用导数公式求函数导数
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝x13；(3)y＝4 x3；(4)y＝lg x.
【解析】先将解析式化为基本初等函源自的形式， 再利用公式求导．3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2. 问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？ 答：y′＝nxn－1.
问题
2：当
n＝12时，(
x
1 2
)′＝12
1
x2
(x>0)成立吗？
x
答：由Δy＝ x＋Δx－ x＝ x x x x
题组集训
1．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
()
A．0
B．－13
C．3
1 D.3
题组集训
【解析】∵f′(x)＝(
1
x3
)′＝13
2
x3
＝13·x123
＝1，
3 3
x2
∴f′(1)＝13.
【答案】D
2．求下列函数的导数． (1)y＝x6； (2)y＝cos x； (3)y＝x2 x； (4)y＝2sinx2cosx2.
18-19 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
合 作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预 习
4．过曲线 y＝sin x 上的点 Pπ6，12的切线方程为________.
堂 达 标
•
•
探
固
新 知
6 3x－12y－ 3π＋6＝0 [曲线 y＝sin x 在点 Pπ6，12处的切线斜率为 k
双 基
合 作 探
＝y′|x＝6π＝cosπ6＝
3 D. 2
• 固 双
知
基
合
作 探 究 •
A
[∵f′(x)＝21
x，∴f′(3)＝2
1
＝ 3
3 6 .]
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主 预
3．设函数 f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则 a＝________.
堂 达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
基
1 e
[∵f′(x)＝xln1 a，∴f′(1)＝ln1a＝－1，∴a＝1e.]
[基础自测]
自
1．思考辨析
当
主
堂
预 习 •
(1)若函数 f(x)＝log2π，则 f′(x)＝πl1n 2.(
)
达 标 •
探
固
新 知
(2)若函数 f(x)＝3x，则 f′(x)＝x·3x－1.( )
双 基
合 作
(3)若函数 f(x)＝4x，则 f′(x)＝x42.(
)
探
究 •
[提示] (1)× π 为常数．
双 基
合 作 探
PPT教学课件常数函数与幂函数的导数
Background
Paper-cutting is one of China’s most popular forms of visual Art .Paper and scissors are the usual materials utilized,but sometimes
an engraving knife is also used. Paper-cutting has been a traditional art form for hundreds of years . It can be traced back to
Complete the following sentences:
1 I can’t r_e_la_t_e_____what he doesto_______(联系，涉
及) what he says. 2. All things a_r_e___ _r_e_la_t_e_d ________(和……有联系)
other thingtos. 3. 我到那儿去是为了跟我的父母呆在一起。
I went therefo_r_____ th_e____ pu_r_p_o_se_____ staying with mofy parents. 4. 我们下个月将试验新的机器。
We’ll _tr_y__ _o_u_t__ the new machine next mopressions from the text: 1.a paper cutting expert (whom) I interviewed 2.something (that) he learned 3.a young farmer who wanted a wife 4.paper cuts which show the Chinese
高中数学 同步教学 常数与幂函数的导数 导数公式表
y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速
度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数?
剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x
的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的
度始终为0,即一直处于静止状态.
π
y=sin
【做一做1】 函数
.
2 的导数为
答案:0
2.几种特殊的幂函数的导数
(1)函数y=x的导数:x'=1.
(2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.
1
(3)函数 y= 的导数:
此式也可写成
1
1
1
'=- 2.
'=(x-1)'=-x-2.
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
2
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该点处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
π
2
解 ∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|=π =cos =0.
2
∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的
1
5
(1)y= 5;(2)y=
x 3 ;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
导数的基本公式表
导数的基本公式表导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
导数的基本公式是求导的重要工具，下面是导数的基本公式表及其相关参考内容。
1. 基本导数公式：(1) 常数函数导数公式：f(x) = c ，其中 c 为常数，导数为 f'(x) = 0 。
(2) 幂函数导数公式：f(x) = x^n ，其中 n 为常数，导数为 f'(x) = nx^(n-1) 。
(3) 指数函数导数公式：f(x) = a^x ，其中 a 为常数，导数为f'(x) = ln(a)·a^x 。
(4) 对数函数导数公式：f(x) = log_a(x) ，其中 a 为常数，导数为 f'(x) = 1/(ln(a)·x) 。
(5) 三角函数导数公式：正弦函数导数公式：f(x) = sin(x) ，导数为 f'(x) = cos(x) 。
余弦函数导数公式：f(x) = cos(x) ，导数为 f'(x) = -sin(x) 。
正切函数导数公式：f(x) = tan(x) ，导数为 f'(x) = sec^2(x) 。
2. 基本导数法则：(1) 基本求导法则：常数倍法则：[c·f(x)]' = c·f'(x) ，其中 c 为常数。
和差法则：[f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x) 。
乘法法则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) 。
除法法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/g^2(x) ，其中g(x) ≠ 0 。
(2) 链式法则：若 y = f(g(x)) ，则 y' = f'(g(x))·g'(x) 。
课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
2
2x
f′(x)＝___
f(x)＝x
原函数
1
f(x)＝x
f(x)＝ x
导函数
1
－x2
f′(x)＝_____
1
f′(x)＝_______
2 x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
0
y′＝____
y＝xn(n∈N＋)
nx
y′＝______
y＝xμ(x>0，μ≠0 且 μ∈Q)
y′＝_______
1
4 3
x
(1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3；(4)y＝ x ；(5)y＝log3x.
x
x
(2)y′＝(5
)′＝5
ln 5；
解：(1)y′＝0；
1
(3)y′＝x3′＝(x－3)′＝－3x－4；
x
4 3
(4)y′＝( x )′＝
3
4
1
3x 4
3
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧
上
的一点，
因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点，
由图知点 P 在 x 轴上方，y＝ x，y′＝
1
由题意知 kAB＝2.
1
1
∴kl＝
y＝ln x
1
y′＝______
x
问题探究
探究点一
问题1
求导函数
怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
Δy
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
公式3: (x2 ) 2x
设y f x x2, x2 lim f xx f x
x0
x
x x2
lim
x2
lim2xx
2x
x0
x
x0
即x2 2x
公式4: x3 3 x 2
设y f x x3, x3 lim f xx f x
(A)y=x3+sinx (C)y=xsinx
(B)y=x2-cosx (D)y= x +cosx
(2)若(A f)1 (x x) (B x12), 则x fx (x1 )可(能C ) 是 2 下x 式3中(D 的) ( B2 1 x 3 )
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的
sin
x 2
x 0
x
sin x
lim sin x x lim
x 0
x 0
2 x
lim sin x 1 x0 x
2
Hale Waihona Puke sin x证 明 ： ln x lim ln x x ln x
x 0
x
ln lim
x 0
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
x0
则 lim f x g x A B x0
lim f x g x A B
x0
lim f x A x0 g x B
2、 若 yfxxx0,0,Q，
则 yx1,为 有 理 数
证 明 ： s i n x li m s i n x x s i n x
3.2.1(2)常数与幂函数的导数,导数公式表
3.2.1 3.2.2 常数与幂函数的导数
● 学习目标：
1、 能够由定义根据求导的步骤，推导常数函数与幂函数的导数。
2、 培养学生归纳推理、探究规律的能力。
● 学习重点、难点：
重点：利用已学的求导方法对常数函数与幂函数进行探究； 难点：从特殊到一般的规律探究公式。
● 前情回顾：
1、导数公式：=)(0'x f ；
2、导数的几何意义：)(0'x f 表示： ；
● 学习过程：
（一）自主学习：
（二）强化训练：
1、试用上节学习的导数公式推导以下函数的导数:并加以记忆： （1）C C x f ,)(=为常数 （2）x x f =)(
（3）2)(x x f = （4）x
x f 1
)(=
2、试说明0'
=c 及1'
=x 的几何意义；
3、求下列函数的导数：
5
)(x x f = 12
)(x x f = .3
0)(x
x f = 108
)(x
x f =
3
)(-=x x f π=)(x f x x f sin )(= x x f cos )(=
x x f 2)(= x e x f =)( x x f ln )(= x x f 3log )(= 4求下列函数在给定点处的切线方程：
（1）2)(x x f = （2,4） （2）2
)(x x f = 1=x 2=x
(3) x x f cos )(= 2
π
=x (4) x x f =)( 3=x
● 小结：你记住这些公式了吗？
● 思考：多项式765432)(2345+-+-+=x x x x x x f 的导数如何求解？。
常数与幂函数的导数、导数公式表
3.2.1-3.2.2常数与幂函数的导数、导数公式表教学过程：创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 新课讲授一、函数()y f x c ==的导数根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.二、函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.三、函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像(图3.2-3)上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 四、函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y∆→∆→∆'==-=-∆ 课本练习A 、B 五、基本初等函数的导数公式表：课本练习A 、B 1.2.()3.4.5.ln 6.7.8.n R a ∈'n 'n-1''x 'x x 'x 'a '若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx 若f(x)=sinx，则f(x)=cosx 若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx 若f(x)=a ，则f(x)=a 若f(x)=e ，则f(x)=e 1若f(x)=log x，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x。
常数与幂函数的导数、导数公式表PPT教学课件
3．指数函数的导数 (ax)′＝axlna，特别地(ex)′＝exlne＝ex. 4．对数函数的导数 f(x)＝logax 的导数 f′(x)＝xl1na. 特别地，自然对数函数 f(x)＝lnx 的导数为(lnx)′＝1x.
曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．e [答案] A
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
注意：(1)y＝xn 中，x 为自变量，n 为常数．
(2)公式中 n∈Q，对于 n∈R 公式也成立．
(3)特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错，如(1x)′＝
－x12，(
x)′＝21
等． x
• 函数f(x)＝0的导数是( ) • A．0 B．1 • C．不存在 D．不确定 • [答案] A • [解析线方程．
[解析]
4
3
y′＝( x3)′＝(x4
)′＝34·x－14
＝
3
4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝
3
4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
•导数公式的应用
求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处 的切线垂直的直线方程．
[答案]
－
3 2
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴y′|x＝π3＝－sinπ3＝－
3 2.
基本初等函数的导数公式总结如下： (1)若 y＝C，则 y′＝0； (2)若 y＝xn(n∈N)，则 y′＝nxn－1； (3)若 y＝xu(x>0，μ∈Q，μ≠0)，则 y′＝μxμ－1； (4)若 y＝ax(a>0，a≠1)，则 y′＝axlna； (5)若 y＝ex，则 y′＝ex；
常数与幂函数的导数、导数公式表
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在 点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某点可导，则该函数 在该点必定连续。
连续不一定可导
即使函数在某点连续，也不一定 在该点可导。例如，函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若$f(x) = c$（$c$为常 数），则$f^{prime}(x) = 0$。
若$f(x) = x^n$（$n$为 实数），则$f^{prime}(x) = nx^{n-1}$。
若$f(x) = a^x$（$a > 0, a neq 1$），则 $f^{prime}(x) = a^x ln a$。
导函数。
如果$u = g(x)$在点$x$可导，且$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，则复合 函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，
且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或
写作$y' = f'(u) cdot g'(x)$。
限为-1/6。
练习
求解极限lim(x->∞) (x^2 - 2x + 1) / (3x^2 + 4x + 1)，并说明求解过程中洛必达法则 的应用。
06
泰勒公式与泰勒级数
泰勒公式简介
泰勒公式定义
泰勒公式的意义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法， 通过在某点的各阶导数值来构造一个多项式， 以此多项式来近似表示该函数在该点附近的 性态。
课件3 ：1.2.1常数函数与幂函数的导数
(5)y′＝
1 5 x2
′＝(x－25)′＝－25x－25－
1＝－25x－75.
【解题心得】 求函数的导数,一般不用定义, 而主要应用导数公式.这就要求必须熟记常见 函数的导数公式.应用公式时,一定要遵循“先 化简,再求导”的基本原则.在实施化简时,首 先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失 误.
题型三 求曲线的切线方程
例 3 已知曲线 y＝ x.求: (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程.
【方法总结】 对于(1),由 y＝ x对 x 求导,可得到曲线 y ＝ x的切线的斜率,进而可得相应切点的坐标,易求得切线 方程;对于(2),设出切点坐标,利用切点在对应切线上,求得 切点坐标和相应切线的斜率,进而求得切线的方程.
例 2 求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数. 3 x2
【解】
∵f′(x)＝(x－23)′＝－23x－53＝－23·
1, 3 x5
∴f′(1)＝－23.
【名师点评】 求函数在某一点处的导数需 要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函 数求解.
变式训练
2.已知 f(x)＝1x,g(x)＝mx,且 g(2)＝f′（1 2）,则 m＝__－__2____. 解析:f′(x)＝－x12, ∴f′(2)＝－14,g(2)＝2m. 又∵g(2)＝f′（1 2）, ∴2m＝－4, ∴m＝－2.
2t
名师微博 对 P 不作验证，误认为 P 在 曲线上是易错点.
又∵切线斜率为u－t 1,∴21 t＝u－t 1＝