马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版

马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版

文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

【摘要】随着我国经济的持续发展，大众对于股票投资、外汇投资、基金投资等的热情也日益高涨。但是如股票等投资产品，其短期价格是市场供求所决定，因此股票的价格变得难以把握。特别是从去年年末股市从熊市转为牛市，今年六月份又发生的大规模的股灾。这时我们需要一种科学而简便的方法来预测股价，为我们投资进行指导。小组选择了相对简单的马尔科夫过程来对这些金融投资产品的价格进行分析。马尔科夫过程是一类随机过程，它的原始模型马尔科夫链表明事物状态由过去到现在、由现在到将来，一环接一环，像一根链条。在预测领域，人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究，描述状态的变化趋势，并由此来预测未来。

【关键字】马尔科夫过程股票基金汇率投资分析

（一）马尔科夫过程的理论简介

1.马尔科夫链

若随机变量序列{x n,n=0,1,2……}的参数为非负整数，且具有马尔科夫性，则称这一过程为马尔科夫链。马尔科夫链是参数t只取离散值的马尔科夫过程，也是最简单的一种马氏过程。

2.状态和状态转移概率矩阵

状态是指客观事物可能出现或存在的状况，假如客观事物有X1,X2, …,Xn共n种状态，且每次只能处于一种状态，则每一种状态之间都有n个转向(包括自身)，即：将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。记{0,1,2,…}为该过程的状态空间，记为S。将事物n个状态的状态的转移概率依次排列，可以得到一个n行n列的矩阵≥0 (i,j∈S)

(i∈S)

称P为状态转移概率矩阵。若一步转移概率矩阵为P，则k步转移概率矩阵为p(k): p(k)= p(k-1)p=ppp…p.(k个p相乘)

3.预测模型

s(k+1)= s(k)p

s(k)是预测对象t=k时的状态向量；p为一步转移概率矩阵；s(k+1)是预测对象在

t=k+1时的状态向量，也就是预测结果。

4.马氏链的稳定状态

稳定状态：经过较长一段时间后。马氏链将逐渐趋于一种状态，它与初始状态无关，在n+1期的状态概率与前一期的状态概率相等，也就是s(n+1)= s(n)成立。

马氏链达到稳定状态时的状态概率称为稳定状态概率，也称为稳定概率。它表示在稳定状态下，预测对象处于各个状态的概率。

5.马尔科夫链预测模型所需满足的条件

（1）过程的随机性。即在系统内部中从一个状态转移到另一个状态是随机的。

（2）过程的无后效性。即转移概率只与当前的状态有关，与过去的状态无关。

（3）转移概率矩阵稳定保持不变。即一个时期向下一个时期转移状态的转移概率矩阵是不变的，均为一步转移概率矩阵。

（4）预测对象的状态是有限的或可列的，而且必须在可列个时间发生状态转移。

（5)在预测过程中对预测对象用同一标准划分的各状态应相互独立。

（6）划分的状态应该包括预测对象全部可能出现的状况。

（二）案列分析

一．.利用马尔科夫过程预测当前股票走势

（之所以使用马尔科夫过程来预测当前并不明朗的股票价格走势，主要是基于我国目前股票市场的现实情况考虑的。首先，我国股市95%由中小散户组成，受外部信息的影响较大，而且我假定以上外部信息是随机的，因此股价变化的前后联系性不强。）1．分析数据

在马尔科夫模型的建立中，我们小组选取了最近三个月的上证指数，共有60个数据，具体数值如下：

其中，表格中的第二列以及第六列是上证指数，第三列以及第七列是上证指数的增长率(%)。于是我们根据增长率把上证指数分成了三个状态，即价格波动在正负1%以内为持平，大于正1%为上升，小于负1%为下降。

2．计算转移矩阵

在转移矩阵中2代表“上升”，1代表“持平”，0代表“下降”，比如z 20表示的就是如果前一天为上涨状态那在今天股价下降的概率，从而我们得出状态转移矩阵：

2015年12月10日的上证指数为，是处于持平状态，根据上面的一步转移概率矩阵，经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系

11p =>10p =>12p =

由此我们可以得到，下一日平价的概率最大，事实上12月11日的上证指数为，增长率为%,处于平价状态。所以利用马尔科夫过程来预测股价是具有实际意义的。 3．计算平稳状态

若马尔科夫过程满足⎪⎩⎪⎨

⎧≥==∑∑∈∈I

j j j ij

I i i i p 0,1ππππ则称概率分布{}I j j ∈,π为马尔科夫链的平稳分布。

因此我们通过求马尔科夫过程在稳态条件下的解以得到我国A 股指数在未来变化的稳定概率。根据方程组

我们求得马尔科夫过程稳态条件下的解为：z 0=%；z 1=%；z 2=%。

通过对马尔科夫过程稳态的求解，我们得出的结论是我国A 股股价在2016年未来的变化趋势中，有%的概率A 股股价增长会高于1%，同时有%的概率股价会在-1%~1%之间小范围徘徊，还会有%的概率股价会下跌1%以上。

不仅如此，考虑到目前我国经济增速放缓的现状，以及在后金融危机时代贸易出口的困境，我觉得上述结论还是是比较准确的。2015年末我国沪市指数在历史较低点徘徊，所以我个人认为未来下跌的空间并不是很大，此外由于经济增长乏力，导致大部分投资者看空未来经济，这会直接反映在未来股票市场的价格上，因此在2016年预计A 股指数不会有太大的涨幅。

二．基于人民币汇率下的马尔科夫链预测模型的构建

1.分析数据

以人民币兑美元每日的中间价数据为例，数据期间为2015-09-01至2015-12-08,绘制时序图如图一。

图一人民币汇率时序图

从原始数据时序图可以看出在考察期内，汇率价在短期内有随机波动性，但从整个期间来看有明显上升的趋势，不太平稳。一阶差分difx t=x t-x t-1(t=1,2,…),它表示t时的值与t-1时值的差。从图二知，做一阶差分可以消除长期趋势，得到短期随机波动。

图二人民币汇率一阶差分后曲线图

从差分后的图形来看，差分后序列无明显的趋势变动，可以将其看作一随机平稳序列，时刻t的状态只与其前一期t-1的状态有关，而与t-1以前的状态无关，序列又是离散的，所以可以考虑采用马尔科夫法对后期的变动进行预测。以下为利用sas软件对差分序列进行模型的相关检验过程：

上图为序列的白噪声(随机性)检验。延迟6阶、12阶及18阶的P值均小于,表明差分后序列值间蕴含着相关关系，为非白噪声序列。有值得进一步分析的价值。

将汇率价分为跌、平、涨三种状态进行分析。根据序列数值的大小的以往经验，把跌、平、涨所对应的数值区间划分如下：

difx

t

< (汇率价处于下跌状态1)

>difx

t

> (汇率价处于下跌状态2)

difx

t

> (汇率价处于下跌状态3)

2.计算转移矩阵

根据以上划分，计算各状态的初始概率p i列表如下：

状态下跌状态平价状态上升状态

状态界限difx

t >difx

t

>difx

t