初中数学知识点精讲精析 三角形内角和定理

7.5 三角形内角和定理

学习目标

1. 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力。

2.掌握三角形内角和定理的证明方法。

知识详解

1．三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.

符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.

变式：∠A＝180°－∠B－∠C.

三角形内角和解读

（1）三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；

（2）三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；

（3）利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；

（4）三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．

2．三角形的外角

（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．

如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．

（2）三角形外角的特征

三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．

（3）三角形外角的实质

是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.

3．三角形内角和定理的证法

在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新

的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．

证明三角形内角和定理的基本思路：

想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．

在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：

（1）构造平角：利用平行线的性质进行转化（作平行线），让三个内角组成一个平角．如图①和图②.

（2）构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．4．三角形内角和定理的运用

（1）利用定理求角的度数或证明

生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．

三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．

（2）利用定理判断三角形的形状

根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．

辅助线的作用：辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．

5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明

（1）三角形内角和定理的推论1

推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.

三角形的外角：

①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；

②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．

（2）三角形内角和定理的推论2

推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.

灵活使用三角形的外角：

①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；

②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．

6．三角形内角和定理的实际应用

三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．

灵活运用三角形的内角和：

①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；

②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；

③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．

【典型例题】

例1. 在一个三角形中，下列说法错误的是( )．

A．可以有一个锐角和一个钝角

B．可以有两个锐角

C．可以有一个锐角和一个直角

D．可以有两个钝角

【答案】D

【解析】如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误

例2. 已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为( )．A．60° B．75° C．90° D．120°

【答案】C

【解析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°.根据三角形的内角和等于180°，列方程k＋5k＋6k＝180，解得k＝15.所以最大内角为6k°＝90°，应选C.

例3. 如图所示，∠1为三角形的外角的是( )．

【答案】D

【解析】由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D.

【误区警示】