初中数学知识点精讲精析 三角形内角和定理

7.5 三角形内角和定理
学习目标
1. 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力。

2.掌握三角形内角和定理的证明方法。

知识详解
1．三角形内角和定理
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
变式：∠A＝180°－∠B－∠C.
三角形内角和解读
（1）三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；
（2）三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；
（3）利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；
（4）三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．
2．三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．
（2）三角形外角的特征
三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．
（3）三角形外角的实质
是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.
3．三角形内角和定理的证法
在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新
的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．
证明三角形内角和定理的基本思路：
想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．
在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：
（1）构造平角：利用平行线的性质进行转化（作平行线），让三个内角组成一个平角．如图①和图②.
（2）构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．4．三角形内角和定理的运用
（1）利用定理求角的度数或证明
生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．
三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．
（2）利用定理判断三角形的形状
根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．
辅助线的作用：辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．
5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明
（1）三角形内角和定理的推论1
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.
三角形的外角：
①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；
②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．
（2）三角形内角和定理的推论2
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.
灵活使用三角形的外角：
①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；
②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．
6．三角形内角和定理的实际应用
三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．
灵活运用三角形的内角和：
①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；
②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；
③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．
【典型例题】
例1. 在一个三角形中，下列说法错误的是( )．
A．可以有一个锐角和一个钝角
B．可以有两个锐角
C．可以有一个锐角和一个直角
D．可以有两个钝角
【答案】D
【解析】如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误
例2. 已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为( )．A．60° B．75° C．90° D．120°
【答案】C
【解析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°.根据三角形的内角和等于180°，列方程k＋5k＋6k＝180，解得k＝15.所以最大内角为6k°＝90°，应选C.
例3. 如图所示，∠1为三角形的外角的是( )．
【答案】D
【解析】由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D.
【误区警示】
易错点1：三角形内角和定理的证明
1. 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD 证明三角形内角和定理？
【答案】连接BD.
∵四边形ABCD 是平行四边形(已知)，
∴AD ∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠A ＋∠ABC ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)． ∴∠A ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．
同理可证∠3＋∠4＋∠C ＝180°，即三角形的内角和为180°.
【解析】三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．
易错点2：运用三角形内角和定理
2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )．
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】B
【解析】∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，∴三个内角分别是
180°×29
＝40°，180°×39＝60°，180°×4
9＝80°.∴该三角形是锐角三角形．故选B.
【综合提升】
针对训练
1. 如图，△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD 等于( )．
A ．100°
B ．120°
C ．130°
D ．150°
2. 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为( )．
A．∠2＞∠1＞∠3
B．∠1＞∠3＞∠2
C．∠3＞∠2＞∠1
D．∠1＞∠2＞∠3
3. 已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
1.【答案】C
【解析】所求的角恰好是△ABC的外角，根据外角推论1可求得．∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋60°＝130°.故选C
2.【答案】D
【解析】由于∠2是△ABF的外角，∠1是△AEF的外角，所以∠2＞∠3，∠1＞∠4；又由于∠4和∠2是对顶角，故∠4＝∠2，所以∠1＞∠2.∠1，∠2，∠3的大小关系为∠1＞∠2＞∠3.故选D.
3.【答案】∵∠BAC＝120°，∴∠2＋∠3＝60°.①
∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.②
把②代入①，得3∠2＝60°，∴∠2＝20°.
∴∠DAC＝120°－20°＝100°.
【解析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．
课外拓展
斐波那契数的一个性质
斐波那契数列是这样的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。

从1，1以后的各项是前面两项的数的和组成。

在18世纪时法国大数学家和物理学家拉格朗日（J．L．La-grange）发现这斐波那契数有这样有趣的性质：
如果你用2来除各项，并写下它的余数，你会看到这样的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…
如果用3来除各项，写下它的余数，你就得到
1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…
如果用4来除各项，写下它的余数，你就会得到
1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
现在观察用2除所得的数列，从开头算起每隔三段，后面的数列就重复前面的数列。

用3除所得的数列，从开头算起每隔八段，后面的数列就重复前面的数列样子。

对于以4除所
得的余数数列也有同样的情况：每隔六段，后面的数列就重复前面的数列样子。

拉格朗日发现不管你用什么数字去除，余数数列会出现有规律的重复现象。

为什么会有这样的现象呢？
如果我们用一个整数K来除斐波那契数列的数，它可能的余数是0，1，2，…，K－1。

由于在斐波那契数的每一项是前面两项的和，它被K除后的余数是等于前两项被K除余数的和。

（注意：如果这和是大过K，我们取它被K除后的余数）只要有一对相邻的余数重复出现，那么以后的数列从那对数开始就会重复出现了。

不同对相邻余数可能的数目有K2个，因此由鸽笼原理，我们知道只要适当大的项数，一定会有一对相邻余数重复。

因此斐波那契数列的余数数列会有周期重复现象。