第16章恒定电流 清华大学版大学物理

上式中第一项由于热运动的无规性为零， 上式中第一项由于热运动的无规性为零， 第二项中的
∑t
i =1
n
i
= nτ τ为平均自由飞行时间
r e2 r 和 J = Enτ m2 可得到电导率公式 σ = ne τ m 此结果在一定范围内和实验近似符合。 此结果在一定范围内和实验近似符合。
r r 根据 J = σ E
r E
I
I (t)
∫
L
r r E ⋅ dl = 0
+
+q
r FK R
r 存在， 必须 有非静电力 FK 存在，
才能在闭合电路中形成稳 恒电流。 恒电流。非静电力包括电 磁力，化学力等等， 磁力，化学力等等，…
-
r Fe
2. 电源电动势 在电源内， 在电源内，单位正电荷 q 经电源内部由负极 移向正极过程中, 非静电力所作的功A 移向正极过程中 非静电力所作的功 ne。 3. 非静电场强：非静电力Fne 非静电场强：非静电力 与受到该力的电荷 q 的比值 电池内的电源电动势 当非静电力存在于 整个电流回路中时
两同轴金属圆筒长a，内外半径R 例16.1 两同轴金属圆筒长 ，内外半径 1和R2，两 均匀材料，求内外筒间电阻。 筒之间充满电阻率ρ均匀材料，求内外筒间电阻。 解 : 两金属圆筒之间的电流 沿着径向流动， 沿着径向流动，横截面积变 R1 取一柱壳体积元， 化，取一柱壳体积元，半径 r，厚度 ，其电阻为 ，厚度dr，
如图示电路, 例16.2 如图示电路 ε1 =12V,r1 =1Ω, ε2 =8V, Ω r2 =0.5Ω, R1 =3Ω, R2 =1.5Ω, R3 =4Ω,试求每个电 Ω Ω Ω Ω 试求每个电 阻的电流。 阻的电流。 I1 R1 R2 I2 a 解: 节点a有电流方程 节点 有电流方程 ε r II 2 2 R2 - I1+ I2+ I3 = 0 I ε r 回路 I 有电压方程 - ε1+ I1 r1 + I1 R1 + I3 R3 = 0
第16章 恒定电流 章
16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 电流和电流密度 恒定电流与恒定电场 欧姆定律和电阻 电动势 有电动势的电路 电容器的充电与放电 电流的一种经典微观图像
1
16.1 电流和电流密度
1. 电流 传导电流是带电粒子(载流子 的定向运动， 载流子)的定向运动 传导电流是带电粒子 载流子 的定向运动， 载流子有电子，离子和半导体中的空穴。 载流子有电子，离子和半导体中的空穴。 电流强度： 时间内通过导线横截面的电量 时间内通过导线横截面的电量∆ 电流强度：∆t时间内通过导线横截面的电量∆q
1 1
I2
b
回路 II有电压方程 有电压方程 ε2+ I2 r2 + I2 R2 - I3 R3 = 0 求解方程组带入已知数据可得 I1 = 1.25A，I2 = -0.5A， I3 = 1.75A ， ，
电势差计电路如图， 是一个较稳定的电源， 例16.3 电势差计电路如图，ε 0是一个较稳定的电源， AB是电阻丝， ε s是标准电池， ε x是待测电源。 是电阻丝， 是标准电池， 是待测电源。 是电阻丝
RAB + R + r
K1
1. 电容器充电
16.6 电容器的充电与放电
ε
i K a R +q C -q b
微分方程在起始条件 t = 0时，q = 0 的解 时
q = C ε (1 − e
− t RC
dq q 充电电流 i = 电容器电压 u = dt C 电压方程 R dq + q = ε dt C q
∑
i
16.3 欧姆定律和电阻
1. 欧姆定律：经过一个电阻沿电流的方向电势 欧姆定律： 降低的数值等于电流与电阻的乘积 U = I R 。 2. 电阻定律：导体的电阻 R 与导体的长度 l 、横 电阻定律：导体的电阻 与导体的长度 和材料的电阻率 截面积 S 和材料的电阻率 ρ 的关系为
l R= ρ S
的单位： 姆 米 Ω⋅ Ω⋅m)； 电阻率 ρ 的单位：欧(姆)米 (Ω⋅ ； 电阻率的倒数为电导率 电阻率的倒数为电导率σ， σ =1/ρ， σ单位：西(门子 每米 (S/m) 单位： 门子 门子)每米
3. 电阻率与温度的关系 温度不太低的时候， 与温度t 温度不太低的时候，电阻率ρ与温度 ( oC)有线性 有线性 关系 电阻率与材料的种类有关，而且与温度有关， 电阻率与材料的种类有关，而且与温度有关，当
K 电位差计测量原理 1. 将K1和K2打向ε s ，调整可变 I 电阻R，使得电流计G中无电流 a 中无电流， 电阻 ，使得电流计 中无电流， A 此时标准电池的电动势为 R
ε0 r
D X G K2 B
εs =
ε0 RAD
εs εx
2. 将K1和K2打向ε x ，调整可变 ε0 RAx 电阻R，使得电流计G中无电流 ε 中无电流， 电阻 ，使得电流计 中无电流， x = RAB + R + r 此时待测电池的电动势为 对照两式，并考虑到电阻丝的电 ε = RAx ε = lAx ε 对照两式， x s s 正比于电阻丝长度l 阻R 正比于电阻丝长度 ，故 RAD lAD
Q Q/e t
i
I I/e O
)
t
电容器充电曲线 电路的时间常量τ 充电电量达到1/e时所需时间 电路的时间常量τ：充电电量达到 时所需时间
R
充电电流
i=
ε
e
t − RC
O
τ
τ
2. 电容器放电
q dq 放电电流 i = − dt 电容器电压 u = C dq q 电压方程 R + = 0 dt C q
Q Q/e t
t − RC
i K
ε
a R
b
+q C -q
微分方程在起始条件 t = 0时，q = 0 的解 时
q = Qe
− t RC
i
I I/e O
t
Q 放电电流 i = e RC
O
τ
电容器放电曲线
τ
充放电过程中的电场变化缓慢， 充放电过程中的电场变化缓慢，称为似 稳电场，基尔霍夫电压方程仍可应用。 稳电场，基尔霍夫电压方程仍可应用。
2. 含有多个回路的复杂电路 根据恒定电场的保守性， 根据恒定电场的保守性， 对于复杂电路中的每一个回 路，可写出普遍欧姆定律
(基尔霍夫第二方程式的普遍形式)
ε1 r1 I 1
R2 L I3 b
R1 c R3
ε2 r2
∑(mεi ) + ∑(±Ii Ri ) = 0
ε3 r3
续：含有多个回路的复杂电路
∆q I= ∆t
r 2. 电流密度 J
单位：安(A) 1A=1C/s 单位：
电流密度是矢量， 电流密度是矢量，定义为电流中正载流子的 运动方向， 运动方向，其大小等于通过垂直与载流子运动 方向的单位面积的电流。单位： 方向的单位面积的电流。单位：A/m2
dI J= dS ⊥
电流密度微观定义推导* 电流密度微观定义推导
16.7 电流的一种经典微观图像
ne2τ 1. 电导率公式 σ = 说明如下 m
r r 金属或电解液中电流密度和场强的关系 J = σ E e r r r 电子两次碰撞间的运动速度 υ i = υ 0 i + Et i m n n r r e2 r n r 微观上电流密度 J = ∑ eυ i = e ∑ υ 0 i + E ∑ t i m i =1 i =1 i =1
R2
dl dr dR = ρ = ρ S 2π ra
因各个薄层电阻串联，总电阻为 因各个薄层电阻串联，
a
R= ∫
R2
R 1
R2 ρ dR = ln 2π a R1
5. 欧姆定律的微分形式 证明： 证明：对一段导体体元运用欧姆定律
r r J =σE
dU = ϕ − (ϕ + dϕ ) = −dϕ
1 dϕ J =− =σ ⋅E ρ dl r r r
a I2 r2 b
∑(mε ) + ∑(±I R ) = 0
i i i
ε1 r1 I 1
R2 L I3
R1 c R3
一个回路中可有多个电 ε 2 且各部分电流可不相同； 源，且各部分电流可不相同； 上式中每一项前面的正负号 的选取规则： 的选取规则：
ε3 r3
电动势方向和回路L方向相同的ε取负号， 电动势方向和回路 方向相同的ε取负号，相 方向相同的 反的取正号； 反的取正号； 电流方向和回路L方向相同 取正号， 电流方向和回路 方向相同 的 I 取正号，相 反的取负号。 反的取负号。
dI
r dS
v J
定义：电流密度 定义：
r r J = qnυ
∴
dS⊥ r r dI = J ⋅ dS
3. 电流密度与载流子的电量 ，速度 和粒子数 电流密度与载流子的电量q，速度v和粒子数 r r 密度n的关系 密度 的关系 J = qnυ 4. 任意曲面 上电流强度的计算 I = 任意曲面S上电流强度的计算 5. 电流的连续性方程 根据电荷守恒定律， 根据电荷守恒定律，单位时间内流出封闭曲 面的电量应当等于封闭面内电荷的减少率
ρt = ρ0 (1 + αt )
式中ρt和ρ0分别是 ( oC)和0 ( oC)时的电阻率， 分别是t 时的电阻率 和 时的电阻率， α是电阻温度系数，α单位： (K−1) 是电阻温度系数， 单位： 4. 超导现象：有些材料在温度降低到接近绝对零 超导现象： 度时，它们的电阻率会突然减小到零 率会突然减小到零。 度时，它们的电阻率会突然减小到零。
J∥E
ϕ
ϕ + dϕ
dU
dl − dϕ = JdS ρ dS
vபைடு நூலகம்J
dS
r J =σE
dI
6. 非欧姆特性材料：气体和半导体等材料导电 非欧姆特性材料： 时，电流与电压的伏安特性曲线不是直线
16.4 电动势
1. 非静电力
I
-q (t) • q (t) 一段不闭合电路 q (t)
要维持稳恒电流， 要维持稳恒电流， 电路必须闭合。 电路必须闭合。 而
Ane ε= q
单位： V 单位：
r r Fne Ene = q
(+)
4. 用非静电场强的积分表示电源电动势
ε =∫
(−)
r r Ene ⋅ dr
ε = ∫L
r r Ene ⋅ dr
16.5 有电动势的电路
1. 全电路欧姆定律 −ε + I ( r + R ) =0 ，
ε
r
I=
ε
R+ r
a I2 I R
r 载流子定向 定向移动速度 υ 载流子定向移动速度
q 载流子电荷 dt 通过 的电量为体积 通过dS 的带电粒子电量和
qnυ d t cos θ d S dI = dt r r = qnυ cos θ d S = qnυ ⋅ d S
n 带电粒子数密度
dI
I dS ⊥
ˆ eυ
dS
υ
r
υ dt cos θ dS
∫
S
r r J ⋅ dS
如果曲面是封闭的，曲面微元的方向向外。 如果曲面是封闭的，曲面微元的方向向外。
r r dqin ∫ S J ⋅ dS = − dt
16.2 恒定电流与恒定电场
恒定电流：导体内各处电流密度不随时间变化。 恒定电流：导体内各处电流密度不随时间变化。 1. 恒定电流的连续性：通过任 恒定电流的连续性： 一封闭曲面的恒定电流为零。 一封闭曲面的恒定电流为零。 2. 恒定电流电路的节点电流方程 (基尔霍夫第一方程 基尔霍夫第一方程) 基尔霍夫第一方程 对于几根导线相交的节点， 对于几根导线相交的节点， 流出的电流(为正 为正)与流入的电 流出的电流 为正 与流入的电 为负)的代数和为零 流(为负 的代数和为零。 为负 的代数和为零。
I1 I3
r r ∫ J ⋅ dS = 0
S
S
I4
∑I
i
=0
I2
3. 导体内的恒定电场 在恒定电流条件下，导体内的电荷分布不 在恒定电流条件下， 随时间变化，导体内形成恒定电场 恒定电场， 随时间变化，导体内形成恒定电场，该电场 r r 的环路积分为零
∫ E ⋅ dr = 0
L
注意：通电导体内的恒定电场的场强不为零； 注意：通电导体内的恒定电场的场强不为零； 而静电平衡导体内的场强为零。 而静电平衡导体内的场强为零。 4. 恒定电流电路的回路电压方程 (基尔霍夫第二方程 基尔霍夫第二方程) 基尔霍夫第二方程 在恒定电流电路中， 在恒定电流电路中，沿任何闭合回路一周的 电势降落的代数和总等于零。 电势降落的代数和总等于零。 ∆ϕ = 0
2. 焦耳定律的微分形式 单位时间内导体单位体积 内的电能转换为的焦耳热
p =σE
2
由上式可得到： 的导体， 由上式可得到：长 l 横截面 S 的导体，通过电 导体的发热功率 流 I 时，导体的发热功率 J =σE l P = plS = σ E 2 lS P = I 2R R= σS
的论证* 焦耳定律的微分形式 p = σ E 的论证 e 电子两次碰撞间的运动速度 υ = at = Et m 2 2 1 e E 2 2 相应的动能 mυ = t 2 2m 1 e2 E 2 2 大量电子的动能平均值 mυ 2 = t 2 2m 2m