大学物理_振动和波习题课
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振动和波总结 1. 简谐振动的定义式 x( t ) A cos( t )
2. 圆频率与周期之间的关系 2 t ) vm cos( t ) 3.简谐振动速度 v A sin(
速度的位相比位移超前 速度振幅vm A 2 2 2 A cos( t ) a x 4. 加速度
能形成驻波的两列波，其振幅相同，传播方 向相反，若已知其中一列波的波动方程为
y1 A cos( t ＋
2
2
x
4
)
则另一列波的波动方程必可设为
2 则＝2 x 4
若X＝L处是波节
若X＝L处是波腹
y 2 A cos( t－
x )
则＝2
2
x 2 )
2k
（2）波节即为干涉相消处。
2 2
x 2 1
（2k＋ 1 ）
相邻两个波腹或相邻两个波节之间的 距离为半个波长。
20、半波损失 当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界 面上反射时，在反射点，入射波和反射波的 位相相反（即有半波损失）, 形成波节。 当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界 面上反射时，在反射点，入射波和反射波的 位相相同（即无半波损失）, 形成波腹。
2
* 加速度的位相比位移超前或落后 (或加速度
与位移反相)
5、简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法）
# 逆时针旋 转为正角。
O
A
O
t A0
X
x
# 顺时针旋 转为负角。
A2
’
旋转矢量的端点在X轴上的投影点作简谐振动 1、2象限 v<0 ; 3、4象限 v>0
A1
O
A1
2
y a O b u x
[A]
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π) 其合成运动的运动方程为 0x= _____ ． 12. 一简谐波沿 x轴负方向传播，波速为1 m/s，在 x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t =0 时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点 的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达 式． 结果 : y 0.01 cos 2π (t x) (SI) 13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大 变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大 位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2 A / 2 )处 (A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处． 1 [C] (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处.
4. 一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) 2.62 s． (B) 2.40 s． x (cm) (C) 2.20 s． (D) 2.00 s． 4 t (s) 2
O 1
[B]
5. 一系统作简谐振动，周期为T，以余弦函数
1 表达振动时，初相位为零。在 0 t T 范围 2
T/8或3T/8 内，系统在t = _________ 解： 用旋转矢量法解
9.同频同方向谐振动合成后仍然是同频率的简谐 A sin A sin 振动 x A cos( t ) tg
1 1 2
A1 cos 1 A 2 cos 2
2
A
2 A1
2 A2
2 A1A2 cos
k 0,1,2,
( 必在1、 2 之间 )
O
X
x 0.05cos(7t 0.64) (SI)
8.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右 运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后 质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经 过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速 x 率，且AB = 10 cm. 求 (1)质点的振动 A B v 方程; (2) 质点在A点处的速率． t= 4 s 解： t 2 - 2 2 ,
t ) 例:如图，已知P点的振动方程：yP Acos( y x
y A cos[ (t u ) ]
u
或 y A cos[ t
2
( x ） ]
p
O
X
x
12、t 时刻的波形图
y
O
u t
u
x1 x2
•波线上两质点之间的位 X 相差 2 ( x x ) 1 2 2 1
m k f X o x
2
动能和势能的变化频率是振动频率的两倍 8. 已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求A和
1 2 1 2 1 2 E mv0 kx0 kA 2 2 2
V02
2 0
A
2 mV 2 0 x0 k
2 x0
求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出旋转矢 量的位置而求出初位相
1 2 kA ．(C)(1/4)kA2． 2
[ D ] (D)0．
例3. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形 图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反 射波在t时刻的波形图为 ［ ］
y B P O -A x C
O -A
y
y
P (A)
x
O -A
P x
y
O -A (C) P
y
O
(B)
[B]
x
T
11、平面简谐波的波动方程的推导 将 t 理解为已知点振动了的时间，求出任一点
实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的t 就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。 照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前 于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点 的振动方程，即为波动方程。（超前就“＋”， 落后就 “ －” 。）
A A1－A2 减弱。
19. 驻波 A、产生驻波的条件：振幅相等的两列波除了
满足相干条件外，还必须在同一直线上沿相反 方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。
B. 求出驻波的表达式：
y 2 A cos( 2
( cos cos 2 cos cos 2 2 C. 位相：相邻两个波节之间的
P (D)
-A
x
1. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T， 其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1)振子在负的最大位移处，则初相为_____; -/2 (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为____ (3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相 /3 ． 为______ 2.两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、 周期相同．第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡 位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正 在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 1 1 (A) x2 A cos( t π ) (B) x2 A cos( t π )
2
2
(C)
3 x2 A cos( t π ) 2
t π ) [B] (D)x2 A cos(
3. 一质点作简谐振动，其振动方程为 1 1 x = 0.24 cos( t ) (SI)，试用旋转矢量法求出质 2 3 点由初始状态运动到x = -0.12 m，v < 0的状态所需 最短时间t． 结果: t / 0.667 ( s )
2 1 2 2
S2 S1
r2
p
( 2 1 )＋
S1
2
r1
若波在两种不同介质中传播
( 2 1 ) ( 2
( r1 r2 )
极值条件
1
r1
2
r1 1
2
r2 )
S2
r2 2
2k
（2k＋1）
A A1 A2 加强。 k 0, 1, 2, ...
2
4 2 则＝2 L ＝0 4
L
＝
例1. 如图所示，质量为m的物体由劲度系数 为 k1 和 k2 的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨 上作微小振动，则系统的振动频率为
k1 m
提示:等效并联弹簧 k=k1+k2
1 k1 k2 结果 2π m
k2
例2.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时， 弹性力在半个周期内所作的功为 (A)kA2． (B)
Y
能量极 小
X
能量极 大
能量极大
能量极 小
16、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射 子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络 面就是新的波阵面。
17、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，
频率相同，位相差恒定。
18、波的干涉 在P点引起的合振动的振幅为：
A A A 2 A1 A2 cos
X O
A1
A2
O
振动2比振动1超前
X
X
A2
反相 同相
6.谐振动的动力学特征:f=-kx * 无阻尼自由振动的弹簧振子作简 谐振动,其固有圆频率为 ＝ k m 7.简谐振动的能量 1 1 2 2 E mv 动能: k 2 势能: E p kx 简谐振动能量:
1 E E k E p kA2 2
x 1 ) cos( t 2 )
)
各点是同位相的；一个波节两 侧的对应点是反相的。
y o
x
D. 波腹与波节位置
2 y1 A cos(t x 1 ) 2 x 2 1
y 2 A cos(t 2
（1）波腹即为干涉相长处
A
A1
（1 ） 2k
A A1 A2
A2
振动加强; 此时有= 1= 2
A2
X
（2） (2k 1) k 0,1,2, A | A1 A2 | 振动减弱
Biblioteka Baidu A1
A
X
与振幅大的分振动的初相相同 y
u
X
10. 描述波动的几个物理量 λ 0 1 2 3 4 56 (波长;波的周期T;波速u) u
4
4
B x A O t= 0 t= 2 s
9. 一平面简谐波的表达式为 t x / u) y A cos ( t x / u) A cos( 其中x /u表示 波从坐标原点传至x处所需时间 ； x/ u表示 x处质点比原点处质点滞后的振动相位 ； y表示 t 时刻x处质点的振动位移 ．
时动能和势能相等。
6. 用余弦函数描述一谐振子的振动，若其速度--时间关系曲线如图所示，求振动的初相位。 v(m/s)
-0.5vm 0
由速度的旋转矢量图 得
-vm
t(s)
6
7. 在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100g砝码时，弹簧伸 长8 cm．现在这根弹簧下端悬挂 m =250g的物体， 构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm， 并给以向上的21 cm/s的初速度（令这时t =0)选x 轴向下, 求振动方程的数值式．
解：k = m0g / l )
12.25 1 k/m s 7 s 1 0.25 21 2 2 2 2 2 A x0 v 0 / 4 ( ) cm 5 cm 7 4 cos = 0.64 rad
5
0.1 9.8 12.25 0.08
O x
A 5 / cos 5 2 cm
2
t 3 (1) x 5 2 10 cos( )( SI ) 4 4 3 2 (2) v A s i n 5 2 10 s i n ( ) 4 4 3.93 10 2 m / s
3 ( ) 4
y
O
y
t+ t 时 13、x一定时的振动曲线 14. 速度的旋转矢量
t时刻
t
u
例:如图,画出该时刻 V~X之间 A 的关系图
V
y(v)
0 V 0
1 1
2
X
2
X
15.波形图上能量极值点 波形图上任意一点的动能与势能值时刻相等，在
平衡位置动能与势能同时达到最大，而在谷峰位 置动能与势能同时达到最小值（为零）。
b u π (B) y a cos[ ( t t ) ] b 2 (C) u π y a cos[ π (t t ) ] b 2 u π (D) y a cos[2π b ( t t ) 2 ]
10.一平面简谐波以速度 u沿x轴正方向传播，在t = t＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振 u π 动方程为(A) y a cos[ π (t t ) ]
2. 圆频率与周期之间的关系 2 t ) vm cos( t ) 3.简谐振动速度 v A sin(
速度的位相比位移超前 速度振幅vm A 2 2 2 A cos( t ) a x 4. 加速度
能形成驻波的两列波，其振幅相同，传播方 向相反，若已知其中一列波的波动方程为
y1 A cos( t ＋
2
2
x
4
)
则另一列波的波动方程必可设为
2 则＝2 x 4
若X＝L处是波节
若X＝L处是波腹
y 2 A cos( t－
x )
则＝2
2
x 2 )
2k
（2）波节即为干涉相消处。
2 2
x 2 1
（2k＋ 1 ）
相邻两个波腹或相邻两个波节之间的 距离为半个波长。
20、半波损失 当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界 面上反射时，在反射点，入射波和反射波的 位相相反（即有半波损失）, 形成波节。 当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界 面上反射时，在反射点，入射波和反射波的 位相相同（即无半波损失）, 形成波腹。
2
* 加速度的位相比位移超前或落后 (或加速度
与位移反相)
5、简谐振动的矢量图表示法（旋转矢量法）
# 逆时针旋 转为正角。
O
A
O
t A0
X
x
# 顺时针旋 转为负角。
A2
’
旋转矢量的端点在X轴上的投影点作简谐振动 1、2象限 v<0 ; 3、4象限 v>0
A1
O
A1
2
y a O b u x
[A]
11.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动 1 5 方程分别为 x1 A cos( t π ) x2 A cos( t π) 其合成运动的运动方程为 0x= _____ ． 12. 一简谐波沿 x轴负方向传播，波速为1 m/s，在 x轴上某质点的振动频率为1 Hz、振幅为0.01 m．t =0 时该质点恰好在正向最大位移处．若以该质点 的平衡位置为x轴的原点．求此一维简谐波的表达 式． 结果 : y 0.01 cos 2π (t x) (SI) 13. 当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大 变形量发生在 : (A) 媒质质元离开其平衡位置最大 位移处． (B) 媒质质元离开其平衡位置( 2 A / 2 )处 (A是振动振幅)． (C) 媒质质元在其平衡位置处． 1 [C] (D) 媒质质元离开其平衡位置 2 A 处.
4. 一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 (A) 2.62 s． (B) 2.40 s． x (cm) (C) 2.20 s． (D) 2.00 s． 4 t (s) 2
O 1
[B]
5. 一系统作简谐振动，周期为T，以余弦函数
1 表达振动时，初相位为零。在 0 t T 范围 2
T/8或3T/8 内，系统在t = _________ 解： 用旋转矢量法解
9.同频同方向谐振动合成后仍然是同频率的简谐 A sin A sin 振动 x A cos( t ) tg
1 1 2
A1 cos 1 A 2 cos 2
2
A
2 A1
2 A2
2 A1A2 cos
k 0,1,2,
( 必在1、 2 之间 )
O
X
x 0.05cos(7t 0.64) (SI)
8.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右 运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后 质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经 过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速 x 率，且AB = 10 cm. 求 (1)质点的振动 A B v 方程; (2) 质点在A点处的速率． t= 4 s 解： t 2 - 2 2 ,
t ) 例:如图，已知P点的振动方程：yP Acos( y x
y A cos[ (t u ) ]
u
或 y A cos[ t
2
( x ） ]
p
O
X
x
12、t 时刻的波形图
y
O
u t
u
x1 x2
•波线上两质点之间的位 X 相差 2 ( x x ) 1 2 2 1
m k f X o x
2
动能和势能的变化频率是振动频率的两倍 8. 已知简谐振动的初始条件(x0 、v0)，求A和
1 2 1 2 1 2 E mv0 kx0 kA 2 2 2
V02
2 0
A
2 mV 2 0 x0 k
2 x0
求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出旋转矢 量的位置而求出初位相
1 2 kA ．(C)(1/4)kA2． 2
[ D ] (D)0．
例3. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形 图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反 射波在t时刻的波形图为 ［ ］
y B P O -A x C
O -A
y
y
P (A)
x
O -A
P x
y
O -A (C) P
y
O
(B)
[B]
x
T
11、平面简谐波的波动方程的推导 将 t 理解为已知点振动了的时间，求出任一点
实际振动的时间，以此代替已知点振动方程中的t 就可得到任一点的振动方程，即为波动方程。 照抄已知点的振动方程，再将任一点振动超前 于或落后于已知点振动的位相补上，就得任一点 的振动方程，即为波动方程。（超前就“＋”， 落后就 “ －” 。）
A A1－A2 减弱。
19. 驻波 A、产生驻波的条件：振幅相等的两列波除了
满足相干条件外，还必须在同一直线上沿相反 方向传播，叠加后所形成的波叫驻波。
B. 求出驻波的表达式：
y 2 A cos( 2
( cos cos 2 cos cos 2 2 C. 位相：相邻两个波节之间的
P (D)
-A
x
1. 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T， 其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1)振子在负的最大位移处，则初相为_____; -/2 (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为____ (3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相 /3 ． 为______ 2.两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、 周期相同．第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡 位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正 在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 1 1 (A) x2 A cos( t π ) (B) x2 A cos( t π )
2
2
(C)
3 x2 A cos( t π ) 2
t π ) [B] (D)x2 A cos(
3. 一质点作简谐振动，其振动方程为 1 1 x = 0.24 cos( t ) (SI)，试用旋转矢量法求出质 2 3 点由初始状态运动到x = -0.12 m，v < 0的状态所需 最短时间t． 结果: t / 0.667 ( s )
2 1 2 2
S2 S1
r2
p
( 2 1 )＋
S1
2
r1
若波在两种不同介质中传播
( 2 1 ) ( 2
( r1 r2 )
极值条件
1
r1
2
r1 1
2
r2 )
S2
r2 2
2k
（2k＋1）
A A1 A2 加强。 k 0, 1, 2, ...
2
4 2 则＝2 L ＝0 4
L
＝
例1. 如图所示，质量为m的物体由劲度系数 为 k1 和 k2 的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨 上作微小振动，则系统的振动频率为
k1 m
提示:等效并联弹簧 k=k1+k2
1 k1 k2 结果 2π m
k2
例2.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时， 弹性力在半个周期内所作的功为 (A)kA2． (B)
Y
能量极 小
X
能量极 大
能量极大
能量极 小
16、惠更斯原理：波阵面上的每一点，都是发射 子波的新波源，其后任意时刻，这些子波的包络 面就是新的波阵面。
17、相干条件：两波源应满足：振动方向相同，
频率相同，位相差恒定。
18、波的干涉 在P点引起的合振动的振幅为：
A A A 2 A1 A2 cos
X O
A1
A2
O
振动2比振动1超前
X
X
A2
反相 同相
6.谐振动的动力学特征:f=-kx * 无阻尼自由振动的弹簧振子作简 谐振动,其固有圆频率为 ＝ k m 7.简谐振动的能量 1 1 2 2 E mv 动能: k 2 势能: E p kx 简谐振动能量:
1 E E k E p kA2 2
x 1 ) cos( t 2 )
)
各点是同位相的；一个波节两 侧的对应点是反相的。
y o
x
D. 波腹与波节位置
2 y1 A cos(t x 1 ) 2 x 2 1
y 2 A cos(t 2
（1）波腹即为干涉相长处
A
A1
（1 ） 2k
A A1 A2
A2
振动加强; 此时有= 1= 2
A2
X
（2） (2k 1) k 0,1,2, A | A1 A2 | 振动减弱
Biblioteka Baidu A1
A
X
与振幅大的分振动的初相相同 y
u
X
10. 描述波动的几个物理量 λ 0 1 2 3 4 56 (波长;波的周期T;波速u) u
4
4
B x A O t= 0 t= 2 s
9. 一平面简谐波的表达式为 t x / u) y A cos ( t x / u) A cos( 其中x /u表示 波从坐标原点传至x处所需时间 ； x/ u表示 x处质点比原点处质点滞后的振动相位 ； y表示 t 时刻x处质点的振动位移 ．
时动能和势能相等。
6. 用余弦函数描述一谐振子的振动，若其速度--时间关系曲线如图所示，求振动的初相位。 v(m/s)
-0.5vm 0
由速度的旋转矢量图 得
-vm
t(s)
6
7. 在一轻弹簧下端悬挂m0 = 100g砝码时，弹簧伸 长8 cm．现在这根弹簧下端悬挂 m =250g的物体， 构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm， 并给以向上的21 cm/s的初速度（令这时t =0)选x 轴向下, 求振动方程的数值式．
解：k = m0g / l )
12.25 1 k/m s 7 s 1 0.25 21 2 2 2 2 2 A x0 v 0 / 4 ( ) cm 5 cm 7 4 cos = 0.64 rad
5
0.1 9.8 12.25 0.08
O x
A 5 / cos 5 2 cm
2
t 3 (1) x 5 2 10 cos( )( SI ) 4 4 3 2 (2) v A s i n 5 2 10 s i n ( ) 4 4 3.93 10 2 m / s
3 ( ) 4
y
O
y
t+ t 时 13、x一定时的振动曲线 14. 速度的旋转矢量
t时刻
t
u
例:如图,画出该时刻 V~X之间 A 的关系图
V
y(v)
0 V 0
1 1
2
X
2
X
15.波形图上能量极值点 波形图上任意一点的动能与势能值时刻相等，在
平衡位置动能与势能同时达到最大，而在谷峰位 置动能与势能同时达到最小值（为零）。
b u π (B) y a cos[ ( t t ) ] b 2 (C) u π y a cos[ π (t t ) ] b 2 u π (D) y a cos[2π b ( t t ) 2 ]
10.一平面简谐波以速度 u沿x轴正方向传播，在t = t＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振 u π 动方程为(A) y a cos[ π (t t ) ]