北师大版高中数学选修1-13.2.1导数的概念

§2 导数的概念及其几何意义

2.1 导数的概念

课时目标

1.了解导数的概念及实际背景.

2.会

求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．

设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关

于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导

数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0

＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx .

一、选择题

1．已知f(x)＝－x 2

＋10，则f(x)在x ＝32

处的瞬时变化率是( )

A ．3

B ．－3

C ．2

D ．－2

2．下列各式正确的是( )

A.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)

x

B.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0－Δx )＋f (x 0)

Δx

C.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

D.f ′(x 0)＝0

lim x ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)

Δx

3.设f(x)在x=x 0处可导，则0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx 等于( )

A ．－f ′(x 0)

B ．f ′(－x 0)

C ．f ′(x 0)

D ．2f ′(x 0)

4．函数y ＝x 2

－1在x ＝1处的导数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对

5．曲线y ＝－1

x

在点(1，－1)处的导数值为( )

A ．1

B ．2

C ．－2

D ．－1

6．设函数f(x)＝ax 3

＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )

A ．－1

B .12

C .1

3

D ．1

二、填空题

7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2

，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．

8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx ＝________

9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.

三、解答题

10．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1

x

在x＝1处的导数．

11.心理学家研究发现，学生的接受能力G和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x2＋2.6x＋43，计算G′(10)．

能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，

有f(x)≥0，则

f(1)

f′(0)

的最小值为________．

13．设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s＝4t2＋2t－3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．

§2 导数的概念及其几何意义

2.1 导数的概念

作业设计

1．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，

∴0lim x ∆→Δy

Δx

＝－3.] 2．C [直接对照并理解导数定义．]

3.A [0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

=0

lim x ∆→－f (x 0)－f (x 0－Δx )

Δx

=－0

lim x ∆→f (x 0)－f (x 0－Δx )

Δx ＝－f ′(x 0)．]

4．C

5.A [f ′(1)=0

lim x ∆→－11＋Δx

＋1Δx

=0lim x ∆→1

1＋Δx

＝1.] 6．D [f ′(－1)＝0

lim x ∆→f (－1＋Δx )－f (－1)

Δx ＝3a.

∴a ＝1.] 7．4m /s

解析 s ′(2)

=0

lim x ∆→2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22

)Δt ＝4.

8．－11

解析 0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

=－0

lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)

－Δx

→0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx

＝－f ′(x 0)＝－11. 9．2

解析 ∵f ′(1)=0

lim x ∆→a (1＋Δx )－a

Δx ＝a ＝2.

∴a ＝2.

10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx －1

1

＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx

1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，

∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴0lim

x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )=－11＋0·(1＋1＋0)

＝－1

2，

∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－1

2

.