不确定关系的物理表述及物理意义

德布罗意提出：把原子定态与驻波联系起来，即把能量 量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子 绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整
数倍。 2r n
再根据德布罗意关系 h
p
得出角动量量子化条件
p h n
2r
L rp h n n
2
电子驻波
E mc2
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。
电子不仅在反射时有衍射现象， 汤姆逊实验证明了电子在穿过 金属片后也象X 射线一样产生 衍射现象。
戴维逊和汤姆逊因验证 电子的波动性分享1937 年的物理学诺贝尔奖金
关证电 系明子 的了的 正德衍 确布射 性罗实 。意验
由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级， 从而可大大提高电子显微镜的分辨率。
的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可
用不确定关系具体说明。
例如：在示波管中电子的x10-4米，V107米则：
Vx
2mex
0.6m /
s
可见 Vx V ,
Vx 108 V
这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。
• 电子单缝衍射
电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 并验证了不确定关系。
h
p
k
p
称它为在坐标表象中动量为 p的本征态。
• 波函数的统计解释
用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一
波函数模的平方| (r, t) |2 代表时刻 t ，在r处
粒子出现的几率密度。
时刻 t 粒子出现在 r附近d体积内的几率为： | (r,t) |2 d
电子衍射表明的波粒两象性，可用波函数解释。
提纲 18-5 物质波（复习）
• 物质波的提出 • 物质波的实验验证 18-6 不确定关系 •不确定关系的物理表述及物理意义
• 电子单缝衍射
•不确定关系的应用
18-7 波函数 • 自由粒子的波函数
• 波函数的统计解释
• 态的叠加原理 18-8 薛定谔方程
作业：18-23、25、27
• 自由粒子的薛定谔方程
x=10-6米，则：
px
2x
5.281029 kg m
/
s
Vx 5.28 10 26 m / s
因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的 不确定性远在实验的测量精度之内。
例如：电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的
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x10-10米，则：
Vx
2mex
0.6106 m /
s
结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身
范围，其乘积不得小于一个常数。
t E 2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间为 无限长， t= 。
1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的 客观规律不是测量技术和主观能力的问题。是量 子理论中的一个重要概念。
例如：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅 （几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态
波函数必须满足以下几个条件：
单值、连续、有限、归一化
18-5 物质波(复习上讲）
• 物质波的提出
h
h
p
在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s 对应的德布罗意波长为：
太小测不到！
h 1.31025 nm
2mEk
在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：
1.4102 nm
p
a
x
y
p
pSin
X
根据单缝衍射公式半角宽： sin
a
a
电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：
p sin py p sin
py
2 p
a
电子通过单缝位置的不确定范围 y a
代入德布罗意关系： h 得出：
p
y py 2h
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的 量值关系。量子力学严格证明给出：
•• 解释谱线的自然宽度
原子中某激发态的平均寿命为 t 108 s
普朗克 能量子假说
E h
不确定关系
t E
2
h
2
谱线的 自然宽度
它能解释谱线的自然宽度
18-7 波函数
• 自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意
波具有频率和波长：
E
h
或者用角频率和波矢量表示：
单色平面波的复数形式为：
光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。
• 物质波的实验验证 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。
A
d G
M
asin(2) k, k 1,2,3,
当加速电压U=54伏，加速电子的能量eU=mv2/2，
2 2mer 2
e2
4 or
基态能应满足：dE 0
dt
2 me r 3
e2
4 or 2
0
由此得出基态氢原子半径：ro
oh2 e2me
0.531010 m
基态氢原子的能量： Emin
与波尔理论结果一致。
e4me
8 o 2 h 2
13.6eV
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。
因为若束缚态动能为零，即速度的不确定 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 即不被束缚。这与事实相左。
电子的德布罗意波长： h h 16.7nm
p 2meU
再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数 a 21.5nm
求得满足相干条件的角度：
sin(2 ) 1.67 k
2.15
2 arcsin0.777 51o
k 1,2,
理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引， 在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经 修正后，理论值与实验结果完全符合。
y py / 2
•不确定关系的应用
在原子尺度内，y
是个良好的近似。
py
,
E t
•• 估算氢原子可能具有的最低能量
电子束缚在半径为r 的球内，所以x r
按不确定关系 p ~ / r p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
E p2 e2
2me 4 or
代入上式得：
E
FPCAI
我国已制成80万倍的电子显微镜， 分辨率为14.4nm.n， 能分辨大个 分子有着广泛的应用前景。
1993年，观测到“量子围栏”。见FPCAI软件
18-6 不确定关系 •不确定关系的物理表述及物理意义
h
2
x px 2
x表示粒子在x方向上的位置的不确定 范围，px表示在x方向上动量的不确定