中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法

摘要小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,哪些类型的问题适用于反证法,以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。

关键词反证法命题反设归谬结论

０引言

反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。

在中学数学中，反证法是一个难点。在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。加之，现在课本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用。但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果。论文中通过几个例子表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

１反证法的由来

反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广

泛应用。欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。

２什么是反证法

反证法是从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。它是反设后通过归谬使命题得到证明的方法，所以，反证法又称“归谬法”。英国数学家哈代对于这种证法给过一个很有意思的评论，在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略，棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整盘棋。反证法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。

３反证法的一般步骤

应用反证法证题，首先应分清命题的条件和结论，再按“反设→归谬→结论”三步进行：

3.1反设

作出与原命题结论相反的假设。反设是应用反证法的第一步，也是关键的一步。反设的结论将是下一步归谬的一个已知条件。反设是否正确、全面，直接影响下一步的证明。作为反设其含义是：假设所要证明的命题的结论不成立，而讨论的反面成立故应准确找到命题的结论，抓住关键的字句进行分析、引导、示范、训练，体会怎样对命题的结论进行正确、全面的否定。在训练时，主要做以下工作：（1）正确分清题设和结论。（2）对结论实施正确否定。一般而言，一种情形是直接在结论前加“不”或去掉“不”。例如：是→不是，有→没有，能→不

能，成立→不成立，存在→不存在，大于等于→不大于等于（即小于）等等，此类问题的否定较为简单。另一种情形是不能简单地加“不”，例如，A ：只有一个，A ：至少有两个；A ：至少有一个，A ：一个都没有；A ：至多有一个，A ：有两个或两个以上；A :都在，A :都不在或不都在等等。这些应多做分析理解。（3）对结论否定后，应找出其所有的情况。例如，A ：大于，A ：不大于。不大于即小于或等于。对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立。

3.2归谬以及肯定结论

反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设（即把反

设作为一个新的已知条件）及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果[1]。“肯定结论”其含义是：判断产生矛盾的原因在于反设是假，从而肯定原命题是真。在教学中应通过适当的例题，由浅入深地去引导学生如何寻找和探求矛盾，矛盾产生常有以下几种可能。

3.2.1由假设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾

例1、已知3p +3q 2=，求证：p +q 2≤。

分析：这是一个不等式问题

（1）反设。结论是“p +q 2≤”，则应假设为2>+q p ，那么2>+q p 将作为下一步“归谬”的已知条件。

（2）归谬。2>+q p 是一个已知条件，结合题设分析p 、q 均为三次方，故由

2>+q p ,

得

p ＞2-q ,

所以

,6128)2(3233q q q q p -+-=->

,22)1(661282233≥+-=+->+q q q q p

233>+q p .

这个结论与已知3p +3q =2矛盾，而推理正确，故而假设错误，

（3）肯定结论。肯定结论p +q 2≤正确，命题得证。

3.2.2由假设或已知推出的结果与已学定理相矛盾

例2、已知:如图1，设点A 、B 、C 在同一直线上，求证：过A 、B 、C 三点不能

作圆.

分析：命题的结论是一个否定性结论。

（1）反设。不能→能，假设过A 、B 、C 三点能作圆，那么这个结论将作为下一步“归谬”的一个已知条件。

（2）归谬。由上述假设过A 、B 、C 三点能作圆出发，设此圆圆心为O ，则A 、

B 、

C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦，由垂径定理：O 既在AB 的中垂线 OM 上，又在BC 的中垂线ON 上，从而过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直，这个结论就与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。推理正确，故而假设错误。

（3）肯定结论。即过同一直线上三点A 、B 、C 不能作圆。

（图1）

3.2.3由假设或已知推出的结果与已学性质相矛盾