中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法
摘要小结在解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾,哪些类型的问题适用于反证法,以及在学习反证法的过程中应注意的两方面。

关键词反证法命题反设归谬结论
０引言
反证法是数学的一种极其重要的方法，特别是遇到的一些直接证明难于入手，甚至无法入手的问题，反证法可使证明变得轻而易举。

它和分析法、综合法一样，有着悠久的历史，应用也相当广泛。

在中学数学中，反证法是一个难点。

在学习反证法之前，学生在学习平行线、相交线、三角形等各章中，证题用的都是直接证法，突然学习反证法，与已有的证题习惯不同，所以学生初学反证法，会有排斥的心理。

加之，现在课本要求不高，例题很少，学生与老师不重视，知识不巩固，使学生无法深刻理解反证法的作用。

但是，中学生好奇心强，对新鲜事物兴趣浓，抓住这一特点，从浅显的、学生熟知的事实入手说明“反证法”，再引导其抽象概括，就能收到很好的教学效果。

论文中通过几个例子表现反证法的思维方式，说明反证法在解题中的重要作用，并总结哪些类型的问题适用于反证法。

深刻理解反证法的实质，切实掌握它的解题要领，能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

１反证法的由来
反证法是数学中的一种证明方法，它是与直接证法相对的间接证法的一种。

法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

反证法作为一种最重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广
泛应用。

欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。

２什么是反证法
反证法是从原命题结论的反面出发，通过正确的逻辑推理过程，导致矛盾的结果，从而肯定原命题结论正确的证明方法。

它是反设后通过归谬使命题得到证明的方法，所以，反证法又称“归谬法”。

英国数学家哈代对于这种证法给过一个很有意思的评论，在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势。

哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略，棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整盘棋。

反证法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。

３反证法的一般步骤
应用反证法证题，首先应分清命题的条件和结论，再按“反设→归谬→结论”三步进行：
3.1反设
作出与原命题结论相反的假设。

反设是应用反证法的第一步，也是关键的一步。

反设的结论将是下一步归谬的一个已知条件。

反设是否正确、全面，直接影响下一步的证明。

作为反设其含义是：假设所要证明的命题的结论不成立，而讨论的反面成立故应准确找到命题的结论，抓住关键的字句进行分析、引导、示范、训练，体会怎样对命题的结论进行正确、全面的否定。

在训练时，主要做以下工作：（1）正确分清题设和结论。

（2）对结论实施正确否定。

一般而言，一种情形是直接在结论前加“不”或去掉“不”。

例如：是→不是，有→没有，能→不
能，成立→不成立，存在→不存在，大于等于→不大于等于（即小于）等等，此类问题的否定较为简单。

另一种情形是不能简单地加“不”，例如，A ：只有一个，A ：至少有两个；A ：至少有一个，A ：一个都没有；A ：至多有一个，A ：有两个或两个以上；A :都在，A :都不在或不都在等等。

这些应多做分析理解。

（3）对结论否定后，应找出其所有的情况。

例如，A ：大于，A ：不大于。

不大于即小于或等于。

对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立。

3.2归谬以及肯定结论
反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设（即把反
设作为一个新的已知条件）及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果[1]。

“肯定结论”其含义是：判断产生矛盾的原因在于反设是假，从而肯定原命题是真。

在教学中应通过适当的例题，由浅入深地去引导学生如何寻找和探求矛盾，矛盾产生常有以下几种可能。

3.2.1由假设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾
例1、已知3p +3q 2=，求证：p +q 2≤。

分析：这是一个不等式问题
（1）反设。

结论是“p +q 2≤”，则应假设为2>+q p ，那么2>+q p 将作为下一步“归谬”的已知条件。

（2）归谬。

2>+q p 是一个已知条件，结合题设分析p 、q 均为三次方，故由
2>+q p ,
得
p ＞2-q ,
所以
,6128)2(3233q q q q p -+-=->
,22)1(661282233≥+-=+->+q q q q p
233>+q p .
这个结论与已知3p +3q =2矛盾，而推理正确，故而假设错误，
（3）肯定结论。

肯定结论p +q 2≤正确，命题得证。

3.2.2由假设或已知推出的结果与已学定理相矛盾
例2、已知:如图1，设点A 、B 、C 在同一直线上，求证：过A 、B 、C 三点不能
作圆.
分析：命题的结论是一个否定性结论。

（1）反设。

不能→能，假设过A 、B 、C 三点能作圆，那么这个结论将作为下一步“归谬”的一个已知条件。

（2）归谬。

由上述假设过A 、B 、C 三点能作圆出发，设此圆圆心为O ，则A 、
B 、
C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦，由垂径定理：O 既在AB 的中垂线 OM 上，又在BC 的中垂线ON 上，从而过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直，这个结论就与定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。

推理正确，故而假设错误。

（3）肯定结论。

即过同一直线上三点A 、B 、C 不能作圆。

（图1）
3.2.3由假设或已知推出的结果与已学性质相矛盾
例3、已知0,0a b >>，求证：
12（a +b ）≥ab 分析：（1）反设。

结论是“≥，则应假设12（a +b ）<ab ． （2）归谬。

∵12（a +b ）<ab , ∴a +b <2ab
∴a -2ab +b <0．
（与已知结合）又∵0,0a b >>， ∴（a -b ）2<0．
此结论与实数平方的非负性质矛盾，说明假设错误．
（3）肯定结论。

∴12
（a +b ）≥ab ． 3.2.4由假设或已知所推出的结果与已学公理相矛盾
例4、在同一平面内，若1l ，2l 是垂直于直线l 的两条不同的直线，则直线1l ，2l 不相交。

分析：这是一个几何问题，涉及到直线的垂直问题。

（1）反设。

假设1l ，2l 相交
（2）归谬。

因为1l ，2l 相交，所以从直线l 外一点（1l ，2l 交点）引两条直线1l ，2l 同它垂直，又由平面几何知识可知，从直线l 外一点不可能引两条不同直线1l ，2l 同它垂直，这显然与公理相矛盾，所以假设不成立。

（3）肯定结论。

命题成立，即若直线1l 与直线2l 同时垂直于直线l ，则1l ，2l 不相交。

3.2.5由已知所推出的结果与假设相矛盾
例5、已知a <a +2，求证：a >-1
分析：（1）反设。

假设a ≤-1．
（2）归谬。

因为a ≤-1，所以a ＝-a ， 又2+<a a 所以-2a ＜2．故a >-1．这与假设相矛盾，所以假设不成立．
（3）肯定结论。

所以a >-1。

总结：从假设出发，结合已知条件，利用已学知识进行恰当地推理，常常可得出与已学性质、定理、已知条件或假设矛盾。

４ 用反证法解题的几种类型
在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。

４.1“至多、至少”型命题[2]
通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。

例6、设1111x y z x y z
++=++=，求证：x ,y ,z 中至少有一个等于１。

证明：假设x ,y ,z 中没有一个等于１，则1x -≠0，10y -≠, 10z -≠。

因而
(1)(1)(1)0x y z ---≠，
即
()()10xyz xy yz xz x y z -+++++-≠ (*)
因为
1111x y z
++=， 所以
xy yz xz xyz ++=,
代入(*)式，有
10x y z ++-≠。

这和已知1x y z ++=相矛盾，故,,x y z 中至少有一个等于１。

4.2唯一型命题
以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，
从而肯定结论。

例7、求证：两条直线相交只有一个交点。

证明：假设两条直线l 1,l 2相交有两个交点（设为A 、B 两点），则过A 、B 两点有两条不同直线l 1, l 2，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。

4.3无限型命题
待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的
反面事项是有限的、肯定的，这时宜用反证法。

例8、证明方程510x x +=的正根是无理数。

证明：当0x >时，函数510y x x =+-单调上升；又当 1.5x =时，510y x x =+-0<；当 1.6x =时，510y x x =+-0>。

所以方程510x x +=的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数q p (,p q 是互质的自然数),则(q p )5+q p =10，即54510p pq q +=，445()10p p q q +=，由于,p q 是自然数，所以44p q +为整数，则5
10q p
是整数。

又因为,p q 互质，所以,p q 只有公因数１，上式说明p 只能是10的因数，但是p 取1，2，5，10的既约分数时，
q p 都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。

4.4肯定型命题[3]
以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化
为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。

例9、已知,,a b c 均为正整数，且满足222a b c +=,又a 为质数，求证：b 与c 两数必为一奇一偶。

证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得2()()c b c b a +-=,根据奇偶数性质知c b +和c b -同为偶数，则2a 必为偶数，a 也为偶数，但a 是质数，所以a =2，即有()()4c b c b +-=,所以
⎩⎨⎧=-=+22b c b c 或⎩
⎨⎧=-=+14b c b c ， 可得
⎩⎨⎧==20c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==25
23c b ， 这与b 、c 均为正整数相矛盾，所以b 与c 必为一奇一偶。

4.5否定型命题
通过否定结论给出命题，将原来的否定命题转化为肯定命题，再利用该肯定
命题找出矛盾。

例10、设A 、B 、C 为不相等的实数，求证：３个二次方程20Ax Bx C ++=, 20Bx Cx A ++=,20Cx Ax B ++=不可能有等根.
证明：设３个二次方程都有等根，则显然应有
20B AC -=, 20C AB -=, 20A BC -=,
将该３式相加，得
2220A B C BC AC AB ++---=,
即
222()()()0A B B C C A -+-+-=,
由此可推得A B C ==，这和已知矛盾，所以３个二次方程不可能都有等根。

4.6不等型命题
根据不等命题的否定得到另一个不等命题，再利用已知条件找出矛盾，使命
题获证。

例11、在△ABC 中，2cos cos cos 2A B C ++=,求证：3A π≤。

证明：假设3π>
A ,
由已知条件得
22(12sin )2cos cos 2222A B C B C +--+=,
即
2sin (cos 2sin )0222
A B C A --=, 因为sin 2A ≠0,故 2sin
2A ＝cos 2C B -， 又
A ＜π，3π>
A 所以2π＞2A ＞6π。

则sin 2A ＞21，所以cos 2
C B -＞1。

这与cos
2C B -≤1矛盾，故假设不成立，所以A ≤3π。

4.7其它类型命题
除了以上几种常见题型宜用反证法，还有以下几种情形的命题可用反证法：
①基本定理、公理以及一些定理的逆定理；
②条件较少，且又无公理、定理可用；
③直接证法较难，命题结论的反面更易于反驳。

总之，当从已知条件出发要证出结论较困难时，而此时结论的反面又比结论本身更明确、更具体、更简单、更易判断时就可考虑用反证法。

在学习和解决实际问题的过程中须注意命题的结论中如有“能”、“有”、“一定”等肯定性词语时，或有“不能”、“不是”、“不存在”、“不可得”等否定语句时，或命题结论中有“至多”、“至少”、“无穷”等词语时常可考虑用反证法，另外不等关系的证明，当结论的反面容易否定时，也可用反证法。

只要不断地进行探索和总结，就能切实掌握如何应用反证法。

5 应用反证法证题应注意的两方面
在反证法的学习中，学生往往由于对反证法的认识不够、理解不深，缺乏证明命题必要的逻辑推理能力，以致于常出现不少问题
5.1“反证法”与直接证法的等效性[4]
反证法作为一种间接证法，尽管在表现形式上和直接证法有所区别，且作为
一种证明方法，它有时又是独一无二的，但实质上它和直接证法是等效的，是可以相互转换的，它遵循的推理格式是（A B →C C ∧）⇒(A →B)。

例12：已知，如图2，AC 、BD 分别是AB 的垂线、斜线且三线共面，求证：BD 与AC 相交。

1、用直接证法：因为BD 与AB 斜交，而AC ⊥AB ，所以BD 与AC 不平行，又因为AC 、BD 共面，可知它们分别交直线AB 于A 、B 两点，所以，AC 、BC 不重合，即AC 与BD 相交（同一平面内的两直线不是平行，就是相交）。

2、用反证法：假设BD 与AC 不相交，则由题意可知BD ∥AC ，又因为AC ⊥AB,所以BD ⊥AB,这与已知BD 与AB 斜交相矛盾，所以BD 与AC 相交。

（图2）
5.2“反证法”与举反例不等同
举反例是说明一个命题是假命题时一种常用的方法，例如，要说明假命题“大于2π的角是钝角”，只要随便举一个大于或等于л的角，如2
3π角，根据钝角的定义，它大于л但却不是钝角。

反证法则是直接证明比较困难时而采用的一种间接证法，且常应用于证明真命题，其证明的步骤分为反设归谬肯定原结论三段，因此与举反例相比，反证法在格式上更严格、规范，要求更高一些。

6 结束语
数学是一门逻辑性很强的科学，通过学习数学不仅能够解决许多实际问题，还可以在学习的过程中培养人的思维能力。

反证法作为一种重要的数学证明方法，其独特的证明方法和思维方式能使学生的思路开阔，推理严密，对发展学生的智力、培养学生逻辑思维能力和创造性思维也是大有裨益的。

从数学中最基本的性质、定理到某些难度较大的世界名题，若运用反证法进行证明，也能够收到最佳效果。

参考文献
[1] 乔罩琴，鲍云林．“反证法”问答．江苏：中学生数学.2004,5月下.
[2] 徐加生，纪健．浅谈用反证法证题的常见题型.江苏:数学通报.2007,第46卷.
[3] 廉蒙．巧用反证法证明代数题．北京:思路·方法·技巧.2004.
[4] 王兰卿．反证法的一般步骤与形式．大同：大同高专学报.1998,第12卷第1期.。