基本不等式与最大最小值

【变式练习】
求f (x) 2x 1 1(x 0)的最大值. x
所以f(x)=
2x
+
1 x
-
1
-2
2 - 1.
当且仅当- 2x = - 1 ,即x = - 2 时,取等号.
x
2
f(x)的最大值为- 2 2 - 1.
关注因式是 负数
特别提醒： 如果所求因式都是负数，通常
采用添负号变为正数的处理方法.
(2)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由“每间虎笼面积 为 24m2”,得xy=24. 设钢筋网总长l=4x+6y=2(2x+3y)，
当且仅当2x=3y时，等号成立.
答：每间虎笼设计长、宽分别为6m和4m时，可使围 成四间虎笼的钢筋网总长最小.
思考.除了应用基本不等式求实际应用问题的最值 外，还有哪种方法可用？ 提示：除了用基本不等式求实际应用问题的最值外， 还可用函数的单调性等方法求解.
也就是a＋4 b<1 可得)，所以 a＋b>a＋2 b> ab.而 y＝
log 1 x 为减函数，故 Q>P>M.
2
【变式练习】
若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( D )
【解题提示】利用基本不等式求解.
y
6
4 3
2 1
-5
-1 01 2 3 5
x
-2
-4 -6
【特别提醒】利用基本不等式求最值应注意的三点： (1)x,y一定要是非负数. (2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y 的最小值时, 看积xy是否为定值. (3)等号是否能够取到.
低总造价是 （ C ）
A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元
【解析】选 C.由容器体积为 4，高为 1 可知，容器的
底面积为 4．
设底面长为 x，则宽为 4 ，总造价为 W．由题意，
x
W =(2 x 1+2 4 1) 10+4 20=20(x+ 4 )+80 20 2
x
2b
时取等号,结合
a
0, b
0,
ab
8,
可得 a 4,b 2.
36
4.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积 最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为
20 m.
x
40m
40m
6.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积 为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为 150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水 池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？
D．M>Q>P
【解析】因为 P＝log1 a＋2 b， 2
Q＝12(log 1 a＋log 1 b)＝log 1 ab，
2
2
2
M＝12log 1 (a＋b)＝log 1 a＋b，
2
2
所以只需比较a＋2 b， ab， a＋b的大小．
显然a＋2 b> ab，又因为a＋2 b< a＋b，(由 a＋b>a＋4 b2
3.2 基本不等式与最大（小）值
张先生打算建造一个面积为6 000平方米的矩形饲 养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建设， 经过计算，他的儿子 说建成正方形的院墙 最省，而他认为建成 长300米、宽200米的 矩形的院墙最省，你 认为谁说的对？要解 决这个问题，可用基 本不等式，这一节我们就学习基本不等式的相关应用.
B． q r p
D． p r q
【解析】 p f (
ab) ln
ab
，q
f
(a b) 2
ln
a
b 2
，
r 1 ( f (a) f (b)) 1 ln ab ln
2
2
ab ，函数 f (x) ln x 在 0,
上单调递增，因为
a
2
b
ab
，所以
f
(ab) 2
f
(
ab) ，所
提示：不一定.要看这两个正数能否相等，
例如
因sin α≠2,即
以
不可能取到4.
中的等号不能取到，所
【即时练习】
如果 0<a<b<1，P＝log12a＋2 b，Q＝21(log12a＋log12b)，M
＝21log12(a＋b)，那么 P，Q，M 的大小顺序是
(B )
A．P>Q>M
B．Q>P>M
C．Q>M>P
x
4 +80=160 ，
当
x=
4 x
，即
x=2
时取ห้องสมุดไป่ตู้=”．
1. （ 2015 · 陕 西 高 考 ） 设 f (x) ln x, 0 a b ， 若
p f(
ab )
，q
f
(a b) 2
，r
1( 2
f
(a)
f
(b)) ，则下列关
系式中正确的是（ C ）
A． q r p C． p r q
1.进一步掌握基本不等式. 2.会应用基本不等式求有关函数的最值,并能够解 决一些简单的实际问题.(重点、难点)
探究点 基本不等式在求最大（小）值中的应用 想一想：你可以把一段16 cm长的细铁丝弯成形状 不同的矩形，怎样弯面积最大？
思考1.若x+y=s(和为定值)，则积xy的最大值是多
少？取得最大值的条件是什么？
提示：由基本不等式
x,y∈R+可知，
故xy的最大值为 当且仅当x=y
＝
s 2
时等号成立.
思考2.若xy=p(积为定值)，其中p＞0，则和x+y能
取得最小值还是最大值？并求出相应的最值.
提示：因为
所以当xy=p(积为定值)时x+y
有最小值 当且仅当
时等号成立.
思考3.若两正数的积是定值4，那么这两个正数的和 的最小值是4吗？
以 q>p=r，故选 C．
2.（2015·天津高考）已知 a 0,b 0, ab 8, 则当 a 的值
为 4 时 log2 a log2 2b 取得最大值.
【解析】
log2
a
log2
2b
log2
a
log2 2
2b
2
1 4
log2
2ab 2
1 4
log2 162
4, 当
a
【变式练习】
解：设使用x年平均费用最少. 由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增
0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为 首项，0.2万元为公差的等差数列.因此，汽车使用x 年总的维修费用为 0万.2 元0.2x. x
2
【变式练习】
（2014·福建高考）要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最
答：当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造 价是297 600元．
一是 a，b 均为正数； 二是 a＋b 与 ab 有一个是定值；
三是等号必须能取到．三者缺一不可．