两点间距离公式

2
2
特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OP |
x y
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
2
解： （1） AB = （2） CD = （3） PQ = （4） MN
问题2：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
唯一解 l1 , l2相交 直线l1 , l2解方程组 无解 l , l 平行 1 2
例题分析
例、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标
l1 : x y 0 (1) l 2 : 3x 3 y 10 0 l1 : 3x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0
y
D (b ,c) C(a+b ,c) C、D两点横 坐标之差为a
o A(0,0)
B (a,0) x
y来自百度文库
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
2 2 2
B (a,0) x
2
| AB | a , | CD| a | AD |2 b2 c2 , | BC|2 b2 c2 | AC |2 (a b)2 c2 , | BD|2 (b - a)2 c2 | AB |2 | CD|2 | AD |2 | BC|2 | AC |2 | BD|2
-2
-1 -1
1
2
3
x
|P 1P 2 || y2 y1 |
-2
B
思考：求两点A（—2，0），B（3，0）
间的距离
y 3
2
x1≠x2, y1=y2
B
1
A
-2
-1 -1
1
2
3
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
-2
两点间距离公式推导
y y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
直线的交点坐标与两 点间的距离
问题1：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
l1与l2平行 l1与l2相交
A1 B1 A2 B2
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和。
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
题型二
两点间距离公式的应用
【例 5】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建 1 立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝ |BC|. 2
x
P2 x2，y2 当y1=y2时， PP | x x | 1 2 2 1
当x1=x2时， PP 1 2 | y2 y1 |
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1， y1 )和P2(x2，y2)， 利用上述方法求点P1和P2的距离为
| PP ( x2 x1 ) ( y2 y 1 ) 1 2 |
y1
P1(x1,y1) x1
Q(x2,y1)
x2 x
O
| PQ 1 || x2 x1 |
P ，y1 和 P2 x2，y2 ， 已知： 1 x1
试求：两点间的距离
y
P ，y1 1 x1

PP ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1 2
2
2
o
Qx1，y2
l1 : 3x 4 y 5 0 (3) l2 : 6 x 8 y 10 0
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
当变化时, 方程 3x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 如何点P1和P2的距离|P1P2|？
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
思考：求两点A（0，2），B（0，-2）间
的距离
y 3
2
A
1
x1 = x2, y1 ≠ y2
解 以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为斜边BC的中点为M，
b c 0b 0c , ) ，即 ( , ) 所以点M的坐标为 ( 2 2 2 2
.
由两点间距离公式得， |BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2， |AM|＝
2 2 |PA| (1 1) (0 2) 2 2
例4:证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
点C的纵坐标等于 点D的纵坐标
b2 c 2 1 0－ ＋0－ ＝ 2 2 2
b2＋c2，
1 所以 |AM|＝ |BC|. 2
练习1：x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和 的最小值是( )． A. 2 B．2＋ 2 C. 10 D.
5 ＋1
解析 作点(1,1)关于x轴的对称点(1，－1)，则距 离之和最小值为 12 (1 2) 2 10 .
解：设所求点为P(x,0)，于是有
2 2 |PA| (x 1) (0 2) x2 2x 5 2 |PB| (x 2) (0 7 )2 x2 4x 11
由|PA||PB|得 x 2x 5 x 4x 11
2 2
解得x=1，所以所求点P(1,0)
答案 C
2．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到 原点的最小值是________．
解析 由距离公式得 =
1 2 1 ， 2( x ) 2 2
1 2 ＝ . 2 2
x (1 x )
2
2
=
2x 2x 1
2
∴最小值为
2 2
答案
-2-6 + 0-0 =8 2 2 0-0 + -1+4 =3 2 2 0-6 + -2-0 =2
2
10
5 2 1 1
2
2
13
例3 :已知点A(1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA || PB |, 并求 | PA | 的值.