离散数学第11讲的关系2共25页

4
二元关系的闭包
2020/4/10
0 1 0
1 1 0
MR 0 1 1, Mr(R) 0 1 1,
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
Ms(R) 1 1 1, Mt(R) 0 1 1
0 1 0
0 0 0
5
二元关系的闭包
2020/4/10
❖例
❖ 求下列关系的r(R)、s(R)、t(R)：
i1
❖ 当i＝1时，因Rt(R),显然成立。
❖ 设i＝k时，有Rkt(R)成立。
❖ 当i＝k+1时，对任意<a,b>∈Rk+1，则存在c∈A，使得<a,c>∈Rk， <c,b>∈R，由归纳假设有：<a,c>∈t(R)，<c,b>∈t(R)，由t(R)可 传递，所以<a,b>∈t(R)，
❖ 即有：Rk+1t(R)。
❖ 因RR2，所以
❖
<a,c1>∈R2,<c1,c2>∈R2,<c2,c3>∈R2,…,<cj-
1,b>∈R2。
❖ 由R2是传递的，有：
❖
<a,c2>∈R2,<c2,c3>∈R2,<c3,c4>∈R2,…,<cj-
1,b>∈R2。
❖ 一直下去，最终有：<a,b>∈R2。
❖ 所以，R1R2。 ❖ 由(1),(2),(3)知：R1是R的传递闭包，即t(R)
11
利用关系运算求闭包
2020/4/10
❖ 由归纳法知，对任意有的i∈N+,有Rit(R)。所以
❖
Ri
t(R)。
i1
❖ 由(1)、(2)知：t(R) R i 。 i1
12
Warshall算法
2020/4/10
❖ 定理4-4.2
❖ 设A是n个元素的集合，R是集合A上的二元关系，则正
整数k，k≤n，使t(R)＝
❖ (1)整数集Z上的“<”关系
❖ (2)整数集Z上的“=”关系
❖ 解:
❖ (1)Z上的“<”关系的r(R)为“≤”；s(R)为“ ≠”；
❖
t(R)为“＜”
❖ (2)Z上的“=”关系的r(R)为“=”；s(R)为“ =”；
❖
t(R)为“=”
6
2020/4/10
利用关系图和关系矩阵求闭包
求一个关系的自反闭包，即将图中的所有无环的节点加上环； 关系矩阵中对角线上的值rij 全变为“1”。
3
二元关系的闭包
2020/4/10
❖ 例4.14 ❖ 设集合A＝{a,b,c},R＝{<a,b>,<b,b>,<b,c>}是定义在A
上的二元关系，求r(R),s(R),t(R),并画出R,r(R),s(R),t(R) 的关系图和求出相应的关系矩阵。 ❖ 解： ❖ r(R)＝{<a,b>,<b,b>,<b,c>,<a,a>,<c,c>}； ❖ s(R)＝{<a,b>,<b,b>,<b,c>,<b,a>,<c,b>}； ❖ t(R)＝{<a,b>,<b,b>,<b,c>,<a,c>}。
2
二元关系的闭包
2020/4/10
❖ 定义4-4.1 设R是定义在A上的二元关系，若存在A上 的关系R′满足： 1) R′是自反的(或对称的、或可传递的)， 2) R R′， 3) 对A上任何其它满足1）和2）的关系R〞，则： R′ R〞。（表明R′的最小性）
❖ 则称R′为R的自反闭包(或对称闭包、或传递闭包)。 R的 自反闭包、对称闭包、传递闭包分别记为r(R)、s(R)和 t(R)。
Ri
i1
10
利用关系运算求闭包
2020/4/10
❖ 方法二、设t(R)是R的传递闭包，证明t(R) R i 。
i1
❖ (1)证明t(R) R i
i1
❖
∵ R i 是可传递，同时R R i
❖ ❖ (2)
i1
i1
∴
由传递闭包的定义知： t(R) R i 。
Ri
i1
t(R)。只需证对任意的i∈N+,有Rit(R)。
主要内容
❖ 二元关系的闭包
2020/4/10
1
二元关系的闭包
2020/4/10
❖ 设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比 如自反性、对称性、传递性等。如果R不具有这些性质， 可以通过在R中添加一些有序对来改造R，得到新关系R′， 使R′具有上述性质，但又不希望R′与R相差太多，即添加 的有序对要尽可能的少，满足这些要求的R′就称为R的闭 包。
求一个关系的对称闭包，则在图中，任何一对节点之间，若 仅存在一条边，则加一条方向相反的另一条边；关系矩阵 中则为：若有rij＝1(i≠j)，则令rji＝1(若rji≠1),即Ms(R)＝ MR∨MR-1。
求一个关系的传递闭包，则在图中，对任意节点a,b,c,若a到 b有一条边，同时b到c也有一条边，则从a到c必增加一条 边(当a到c无边时)；在关系矩阵中，若rij＝1，rjk＝1,则 令rik＝1(若rik≠1)。
7
利用关系运算求闭包
2020/4/10
❖ 定理4-4.1
❖ 设R是集合A上的二元关系，则：
1) r(R)＝R∪IA。 2) s(R)＝R∪R-1。
3) t(R) R i i1
❖ 证明 3 （按定义证明）；一种是直接证明 t(R) 的方法）。
Ri
i 1
R
i
(书上采用
i1
8利用关系运算求闭包202 Nhomakorabea/4/10
k
U
Ri
。
i1
❖ 用矩阵计算传递闭包--Warshall(1962)算法
❖ (为计算机解决此类问题奠定了基础)
❖ 设R是集合上的二元关系,Mr是R的关系矩阵
❖
(1)置新矩阵A:=Mr
❖
(2)置(列) i:=1
13
Warshall算法
2020/4/10
❖ (3) 对所有的j(1≤j≤n)
❖ 如A(j,i)=1,则对k=1,2,…,n
＝i R1，即R1是传递的。
(3)设R2是R的任何一个关系，且有RR2A×A，R2是传递
的。对任意<a,b>∈R1，存在Rj(1≤j≤)，使得
<a,b>∈Rj，所以存在c1,c2,c3,…,cj-1∈A，使得：
9
利用关系运算求闭包
2020/4/10
❖ <a,c1>∈R,<c1,c2>∈R,<c2,c3>∈R,....,<cj-1,b>∈R。
❖ 方法一、设R1
Ri
i1
(1)显然R
i 1
R
i=R1
。
(2)对任意a,b,c∈A，若<a,b>∈R1，<b,c>∈R1,
则由R1
Ri
i 1
Rj,Rk(1≤j,k≤)，使得<a,b>∈Rj，
<b,c>∈Rk，即<a,c>∈Rj+k(1≤j+k≤), ∵Rj+k R1,
所以<a,c>∈
i 1
R
❖
A(j,k):=A(j,k) A(i,k)
❖ (即将A的第j行与A的第i行进行逻辑加后送回A的第j行)