分段函数的几个问题-人教版整理

分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：

1、分段函数的含义

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：

(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

2、求分段函数的函数值

2x(x 0)

例1 已知函数f(x) , 3(0 x 1),求f{f[f(a)]} (a<0)的值。

log i x(x 1)

3

分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。f(x)是分段函数，要求f{f[f(a)]}，需要确定f[f(a)]的取值范围，为此又需确定f(a)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。

解T a vO,

f(a) 2a,

•.O< 2a<1,

二f[f(a)]= f(2a)= .3,

T、3>1,

二f{f[f(a)]} = f(、3)= log^.3=—.

3 2

3、求分段函数的解析式

例2 已知奇函数f(x)(x R),当x>0时，f(x)=x(5 —x)+1.求f (x)在R上的表达式。

解T f(x)是定义域在R上的奇函数,

二 f (0) =0.

又当x V 0时，一x >0,

故有 f ( x) =—x [5 —(—x)]+1= —x(5+x)+1。再由f (x)是奇函数,

x x(5 x) 1(x

0) f(x)二一f(x)=x (5+x ) — 1. A f (x) 0(x 0)

x(5 x) 1(x 0)

例3 求函数 f (x) = x 2+(2 — 6a )x +3a 2(0W x <1)的最小值 解 f(x) =[x — (3 a — 1)]2 — 6a 2+6a — 1

•gx <1,

当3a — 1<0时，f(x)的最小值为f(0)=3a 2,

当 0<3a — 1 <1 时，f(x)的最小值为 f(3a — 1)=— 6a 2+6a — 1; 当 3a — 1>1 时，f(x)的最小值为 f(1)=3a 2 — 6a +3。 因此函数f (x)的最小值可表示成关系于a 的分段函数.

3a 2(a 1)

3a 2 6a 3(a I 4、求分段函数的最值 2x 3(x

0) 例4求函数y x 3(0 x 1)的最小值

x 5(x 1) 方法1先求每个分段区间上的最值，后比较求值 当 x <0 时,y =f(x)=2x +3，此时显然有 y maX 二 f (0) =3； 当 0< X <1 时，y = f (X )二 x +3，此时 y max = f (1)=4 当x >1时，y = f(x) = — x +5，此时y 无最大值•比较可得当x =1时,y max =4. 方法2利用函数的单调性

由函数解析式可知，f(x)在x € (x ,0)上是单调递增的，在x € (0,1)上也是递增 的，而在x € (1,+ X )上是递减的，

由f(x)的连续性可知f (x)当x =1时有最大值4 方法3利用图像，数形结合求得 作函数y = f(x)的图像(图1),

显然当x =1时 y max =4.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求

g(a) 1 2

6a 2 6a 1(3 a 3)

Y