结构力学第4章静 定 拱汇编

(4-2)
还与拱的轴线形状有关。
q=10kN/m
例4-1 试作图4-6(a)所示三铰拱的内
力图。拱轴线方程为：
(a) y A
0 2 1 3 4
C
5 f=4m x
F=40kN
6 7 8
B FH=60kN FBV=50kN
FH=60kN FAV=70kN
8m l=16m 4m 4m
4f y 2 (l x ) x l
FAV=70kN
5
0
FBV=50kN
0
(c)
15 0 20 15 20
解： 1. 反力计算。 由式(4-1)可知 FAV = F0AV = (40×4+10×8×12)/16 = 70 kN(↑) FBV = F0BV = (10×8×4+40×12)/16 = 50 kN(↑) FH = M0C/f = (50×8-40×4)/4 = 60 kN
(b)
10kN/m 40kN A B
与中间铰C相应的截面C的弯矩M0C。所以，(a)、(b)、(d)式又可 写为
FAV = F0AV
FBV = F0BV FH = M0C/f 式(4-1)表明，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的相同，而 其推力等于相应简支梁截面C的弯矩M0C 除以拱高f。推力FH与拱 (4-1)
的轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。当荷载与跨度
FBV
ΣFx = 0, FAH = FBH = FH
Fi ai l
l
l
(b)
(c)
(d)
其次，取左半拱为隔离体，由ΣMC = 0，
F l F1 (l1 a1 ) FH AV 1 f
考察(a)、(b)两式的右边，恰好等于相应简支梁(如图4-4(b)
所示)的支座反力F0AV和F0BV，而式(d)的右边分子等于相应简梁上
(b )
FAV F1 M
FN
l2
FBV
K FH FAV A
FS
(b) A
F1
C
F2 B
(c ) A F1 K C
F2
B
F0 AV
F
0 BV
F
0 AV
F
0 BV
图4-4
图4-5
2．内力的计算
反力求出后，可用截面法求出拱内任一截面的内力。任一截面 K的位置可由其形心坐标、和该处拱轴线的倾角确定，如图4-5(a)所 示。截面内力正负号规定如下：因拱常受压，故轴力以使拱截面受 压为正，剪力以绕隔离体有顺时针转动趋势者为正，弯矩以使拱内 侧受拉为正。 截取截面K左部分为隔离体，为便于计算，沿FNK及FSK方向建 立辅助坐标系ξKη。如图4-5(b)所示。 由ΣMK=0， 得: M=[FAV x-F1(x-a1)-FHy] 由于FAV = F0AV，上式方括号内的数值等于相应简支梁截面K的弯矩 M0，故上式可写为 M = M0 -FH y (e) 由ΣFξ= 0，得 FS = (FAV-F1) cosf-FH sinf
第4章 静 定 拱
本章内容
三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内 力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。
目的要求
1. 熟练掌握三铰拱的反力和内力计算。
2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。
3. 掌握三铰拱合理拱轴线的形状及其特征。
§4-1 概 述
1．拱的组成及受力性能
杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(推力)的结 构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无铰拱，分别如 图4-1(a)、(b)、(c)所示。前一种是静定拱，后两种是超静定拱。 本节仅讨论静定拱的内力计算。
上式中(FAV-F1)等于相应简支梁截面K的剪力FS0，故又可写为： FS = FS0 cosf- FH sinf (f)
由ΣFη=0， 得： FN = FS0sinf+ FH cosf 取负。 综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算公式为 M = M0 -H y FS = FS 0cosf- FH sinf FN = FS 0sinf+ FH cosf 由式(4-2)可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置有关，而且 (g) 在式(f)及(g)中，f的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半拱
F (a) C (b) (c)
E FAH
B FBH FAV FBV
图4-1
如果杆轴线虽然是曲线，但在竖向荷载作用下不产生水平支座 反力的结构不是拱，而称为曲梁。在竖向荷载作用下，是否产生水 平推力，是拱与梁的基本区别。 拱与梁相比，由于推力的存在，减小了各截面的弯矩。这就有 可能使处于压弯组合应力状态的拱截面，只承受压应力，从而可采 用抗压性能好的廉价材料，如砖、石及混凝土等来建造。但是，推 力的存在又反过来作用于基础，因而要求比梁具有更坚固的地基或 支承结构。
一定时，M0C 为定值，推力FH与拱高f成反比。f愈小，拱愈平坦， 推力FH则愈大。若f = 0，则FH = ∞，此时三铰位于同一直线上，
拱成为瞬变体系。
y
a2 a1 (a) C b1
b2
(a ) A
a1
F1 K y x x
C
F2
B FH FBV
F1
F2 f
FH
A FAH FAV l1 l
B FBH
§4-2 三铰拱的计算
下面以竖向荷载作用下的三铰拱为例，讨论其反力及内力的计 算方法。
1．支座反力的计算
三铰拱共有四个支座反力，如图4-4(a)所示。除了取全拱为隔 离体可建立三个整体平衡方程外，还可利用中间铰C处弯矩为零 (MC = 0)的条件建立一个补充方程，从而可求出所有支座反力。 首先考虑整体平衡 F1b1 F2b2 Fi bi F ΣMB = 0, (a) AV ΣMA = 0,
(a) C A B
拱轴线 拱趾
拱顶
拱高
拱趾
(b)
跨度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图4-2
图4-3
所以作屋盖承重用的拱，一般要加拉杆，以承担拱对墙的水平 推力。如图4-2(a)所示，称为带拉杆的三铰拱。为了获得较大的净 空，有时也将拉杆做成折线形状，如图4-2(b)所示。
2．名词解释
拱的各部分名称如图4-3所示。拱身各截面形心的联线称为拱轴 线。拱与基础联结处称为拱趾(或拱脚)。两拱趾间的水平距离称为 跨度。两拱趾的联线称为起拱线。拱轴上距起拱线最远的一点称为 拱顶。三铰拱通常在拱顶处设有中间铰(或称为顶铰)。拱顶至起拱 线之间的竖直距离称为拱高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比。两拱 趾在同一水平线上的叫平拱，不在同一水平线上的叫斜拱。本节只 讨论平拱的计算。