二次根式及其运算

二次根式及其运算

［课标要求］

1、 准确、熟练地掌握二次根式的定义和性质.

2、 能根据二次根式的性质熟练地化简二次根式.

3、 能准确、熟练地辨别哪些二次根式是同类二次根式. 4 、掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，并能熟练运算. 5、会化去分母中的根号. ［基础训练］

1、若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x ≥

3

4 B 、x ＞

3

4 C 、x ≥

4

3 D 、x ＞

4

3

2、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简||2b a a +-的结果为（ ）

A 、2a ＋b

B 、－2a ＋b

C 、b

D 、2a －b

31a =-，则a 的取值范围是（ ） A 、1a >

B 、1a ≥

C 、1a <

D 、1a ≤

4、计算 ）

A 、3

B 、3-

C 、3±

D 、9 5、已知m 是2的小数部分，则2

12

2

-+

m

m ＝＿＿＿＿＿＿＿

［要点梳理］

1、二次根式：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿的式子叫做二次根式

2、二次根式的化简就要使二次根式满足：（1）被开方数中不含＿＿＿＿＿＿＿，（2）被开方数中＿＿＿＿＿＿＿，（3）分母中不含有＿＿＿＿＿＿＿.

3、同类二次根式：n 个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数＿＿＿＿＿＿＿，这几个二次根式叫做同类二次根式

4、二次根式的性质：（1）a ＿＿＿＿0（a ≥0），（2）（a ）2＝＿＿＿＿＿（a

≥0），

（3）2

a ＝＿＿＿＿＿，（4）a

b ＝＿＿＿＿＿＿＿＿（a ≥0，b ≥0），

（5）

b

a ＝＿＿＿＿＿＿＿（a ≥0，

b ＞0）

5、二次根式的加减法实质就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

6、二次根式的乘法法则：a ·b ＝＿＿＿＿＿＿＿＿（a ≥0，b ≥0）

7、二次根式的除法法则：a ÷b ＝＿＿＿＿＿＿＿＿（a ≥0，b ＞0） ［问题研讨］

.com 例1、下列二次根式中与3是同类二次根式的是（ ）

A 、18

B 、3.0

C 、30

D 、300

例2、有下列计算：①（m 2）3＝m 6；②121442

-=+-a a a ；③m 6÷m 2＝m 3；④

65027÷

⨯

＝15；⑤31448332122=+-，其中正确的运算有＿＿＿＿＿（填

序号）

（2）若x 、y 为实数，且满足3|3|++

-y x ＝0，则2012

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛y x 的值是＿＿＿＿

（3）已知(

)

3-

a a ＜0，若

b ＝2－a ，则b 的取值范围是＿＿＿＿＿

（4）（2011芜湖）已知a 、b 为两个连续的整数，

且a b <

<，则a b += ．

例3、（1）已知a ＜b ，化简二次根式b a 3

-正确的结果是（ ） A 、－a ab - B 、－a ab C 、a ab D 、a ab - （2）化简（a －1）

1

1--

a 的结果是＿＿＿＿＿＿＿

例4、观察下列各式：

===请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)

的等式表示出来__________________________

例5、阅读下列材料，然后回答问题。 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如3

5，

3

2，

1

32+一样的式子，其实我

们还可以将其进一步化简：

33

5333535=⨯

⨯=

（一）

3

63

3323

2=

⨯⨯=

（二）

131

)3()13(2)

13)(13()13(21

322

2

-=--=

-+-⨯=

+（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化。 132+还可以用以下方法化简：

1

32+＝

131

313131313131

32

2

-+-++-+-＝））（（＝）（＝；（四） （1）请用不同的方法化简

3

52+

.

①参照（三）式得

3

52+＝______________________________________________；

②参照（四）式得352+

＝________________________________________.

（2）化简：

1

2121 (5)

713

511

31-+

++

++

+

+

+

+n n .

［规律总结］

1、判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.

2、二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分，再化简二次根式，而不一定