万有引力与天体运动专题复习

万有引力与天体运动专题复习

一、天体运动问题的处理方法

处理天体的运动问题时，一般来说建立这样的物理模型：中心天体不动，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到的中心天体的万有引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力，结合牛顿第二定律与圆周运动规律进行分析，一般来说有两个思路：一是环绕天体绕中心天体在较高轨道上做匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，即

222r v m r Mm G ==m ω2r=m 224T

πr=ma n ，二是物体绕中心天体在中心天体表面附近作近地运动，物体受到的重力近似等于万有引力，2

R Mm G mg =(R 为中心天体的半径)。 例题：（2011天津）质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的

A ．线速度

B ．角速度

C ．运行周期

．向心加速度 解析：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，222,,R

MG a R GM v ma R v m R Mm G ==== 航天器在接近月球表面的轨道上飞行,R T

m R m R Mm G mg 22

224πϖ===代入相关公式即可，正确答案为AC 。 针对练习1：（2011浙江）为了探测X 星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2则

A. X 星球的质量为

B. X 星球表面的重力加速度为

C. 登陆舱在与轨道上运动是的速度大小之比为

D. 登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为 解析：根据、，可得、，故A 、D 正确；登陆舱在半径为的圆轨道上运动的向心加速度，此加速度与X 星球表面的重力加速度并不相等，故C

错误；根据，得，则，故C 错误。 点评：天体作圆周运动时向心力由万有引力提供，即222r v m r Mm G ==m ω2r=m 224T πr=ma n 。式中的r 为两天

v =ω=2T π=2GM a R =211

24GT r M π=211

24T r g X π=1r 2r 1

22121r m r m v v =2r 31

32

12r r T T =2111211

2M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T r m r m G π22

222222M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T r m r m G π21124GT r M π=31

3

212r r T T =1r 211

22114T r r a πω==r v m r m 22G M =r GM v =1

221r r v v =

体中心之间的距离，V 为环绕线速度，T 为环绕周期。 由22

2r

v m r Mm G =可得：r

GM v = r 越大，V 越小；由r m r Mm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小；由r T m r Mm G 222⎪⎭

⎫ ⎝⎛=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。由向ma r Mm G =2可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。由此可见，卫星运行轨道半径r 与该轨道上的线速度v 、角速度ω、周期T 、向心加速度a 存在着一一对应的关系，若r 、v 、ω、T 、a 中有一个确定，则其余皆确定，与卫星的质量无关。

针对练习2：（湖南省2012年十二校联考）我国和欧盟合作正式启动伽利略卫星导航定位系统计划，这将结束美国全球卫星定位系统（GPS) —统天下的局面.据悉，“伽利略”卫星定位系统将由30颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为2.4X104km ，倾角为56°，分布在3个轨道面上，每个轨道面部署9颗工作卫星和1颗在轨备份卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作.若某颗替补卫星处在略低于工作卫星的轨道上，则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中正确的是（Ｃ）

A 、替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度

B 、替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度

C 、 替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度

D 、替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度

二、中心天体质量和密度的估算 天体作圆周运动时向心力由万有引力提供，即222r v m r Mm G ==m ω2r=m 22

4T

πr=ma n 。由上式知，若能测出行星绕中心天体运动的某些物理量，则可求出中心天体的质量，一般情况下是通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。当卫星沿中心天体表面绕天体运行时，中心天体的密度为：ρ＝2

3GT π。 例题：（06北京卷）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量

A.飞船的轨道半径

B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期

D.行星的质量 解析：本题涉及万有引力定律的应用，主要考查灵活选用公式解决物理问题的能力。万有引力提供向心力，则

2224T

r m r Mm G π=，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r 近似等于行星半径，所以满足M ＝ρπ43•3r ，联立得：ρ＝23GT

π。 针对练习1：（2005年广东物理）已知万有引力常量为G ，地球半径为R ，月球与地球之间的距离为r ，同步卫星距离地面高度h,月球绕地球运动的周期T 1，地球自转周期T 2，地球表面的重力加速度g ，某学生根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由2h Mm G =m 2224T πh 得M=22

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2GT h 4π （1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法与结果。

（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。